2023-2024学年重庆市荣昌高二年级上册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年重庆市荣昌高二上册期中数学试题

一、单选题

1.已知向量α=(l,2,3),b=(/，0,1),贝∣Ja+2b=()

A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)

C.(1,2,5)D.(1,4,5)

【正确答案】A

【分析】结合空间向量的加法运算求解即可

【详解】α+28=(l,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),

故选：A.

2.已知向量”=(1,2,⅛=(-3,x,2),且启人则实数X等于()

【正确答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.

【详解】-3+2x+l=2x-2=0，得X=L

故选：A.

3.直线x+y+l=0的倾斜角是()

A.30B.60C.45D.135,

【正确答案】D

【分析】将直线的一般式化为斜截式，结合斜率与倾斜角的关系，求解即可.

【详解】解：直线χ+y+i=0,化为斜截式为y=-χT

设直线的倾斜角为α,则tana=T,

因为0≤α<180,所以α=135.

故选：D.

4.若直线x+y+4=O平分圆f+y2-2x+4y+l=0,则4的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

【正确答案】A

【分析】将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.

【详解】圆d+V-2x+4y+l=0,即（X-I）2+（y+2）2=4,圆心坐标为（1,-2）

由题可知：直线过圆心，所以l-2+α=0=>"=l

故选：A

5.直线/∕0x+y+l=O与/2：3x+（a-2）y+/-4=0平行，则实数”的值是

A.-1或3B.-1C.-3或1D.3

【正确答案】D

【详解】由两条直线平行的充要条件得到。（。-2）=3

Λa=—1,3

当a=-1时两条直线重合，舍去

Λa=3

故选D

点睛:本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系

的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两

种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）川1/20左=内,需检验不重合；（2）

∕l±∕2<^⅛,∙⅛2=-l,这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，

这一点一定不能掉以轻心.

6.直线/经过原点，且经过另两条直线2x+3y-1=0,x-4y-6=0的交点，则直线/的方

程为（）

A.2x+j=0B.x+2y=0

C.2x-y=0D.x-2y=0

【正确答案】B

【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.

[2x+3γ-l=0[x=2

【详解】联立方程,一么,解得：

[x-4y-6=0n[y=-l1

所以两直线的交点为（2,-1）,所以直线的斜率为-1士-£0=1,

则直线/的方程为：y=-→,即x+2y=0.

故选：B

7.己知棱长为1的正方体ABC。-AqGA的上底面ABCR的中心为。I,则4Q∙AC的值

为()

A.-1B.OC.1D.2

【正确答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算，将4«和AC用M、AB、Ao表示，再根据空间向量

的数量积运算可得解.

【详解】AO1=A4l+ΛlO∣=AA,+^(A,Bi+AtDt)=AAt+^AB+AD),AC=AB+AD，

则

AO〕∙AC-AA+万(48+4£))].(；48+?4。)=AiAt∙AB+AAt∙AD+-^AB+AO)=

^AB2+2ABAD+AD^

=∣(∣AB∣2+∣AD∣2)=1.

故选：C.

本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.

8.已知直线/：米-y+%=0,圆。:/+丁=2,则直线/与圆O的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

【正确答案】A

【分析】求圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断.

【详解】由圆0：1+回=2,可得圆心。(0,0),半径r=&,

因为圆心0(0,0)到直线/：h-y+A=O的距离d=-7liL=Jf-<1<&=r,

√F7TU2+1

所以直线/与圆。相交，

故选:A.

二、多选题

9.(多选)点(1,1)在圆(x-α)2+(y+α)2=4的内部，则。的取值不可能是()

A.—2B.—

2

C.ɪD.2

【正确答案】AD

【分析】求出实数。的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】由已知条件可得(l-4+(l+a)2<4,即2片+2<4,解得-l<α<l.

故选：AD.

10.过点(2,0)作圆*2+^一2》-6丫+9=0的切线/,则直线/的方程为()

A.3x+4y—6=0B.4x+3y-8=0C.x—2=()D.x+2=0

【正确答案】BC

【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线/的方程(注意讨论斜率不存在情况)，利用

圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果.

【详解】Qx2+y2-2x-6y+9=0:.(x-l)2+(y-3)2=1

圆心(1,3)到直线x=2距离等于1,所以直线/的方程可以为x=2

当直线/的斜率存在时，设Ly=Z(x-2)

I-4-3144

所以J=J=I∙∙M=-；.•/：y=-77(x-2).∙.4x+3y-8=0

y∣k2+∖33

故选：BC

本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

II.过点A(4,l)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=5B.x-y=5C.x-4y=0D.x+4y=0

【正确答案】AC

分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.

【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为x-4y=0;

当直线不过坐标原点时.，设直线方程为x+y=。，代入点44,1)可得a=5,

即x+y=5.

故选：AC.

直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为T.

12.若圆一+y―2χ-2y=0上至少有三个不同点到直线/：y="的距离为变，则直线/

2

的倾斜角的取值可能是()

A.15°B.45oC.60°D.75°

【正确答案】ABCD

求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径的关系列出不等式求出斜率女的范围,

再由四个选项的斜率得出答案.

【详解】解：圆/+/F-2y=0整理为(X-I)2+(y-l)2=2,

，圆心坐标为(U),半径为夜，要求圆上至少有三个不同的点到直线/：>=质的距离为日

当圆心到直线的距离是变时•恰好圆上存在3个点到直线的距离为正

22

则圆心到直线的距离应不大于等于立，∙∙.*⅛≤坐，.∙.2-6≤k42+百

2√l+⅛22

tan450-cos300

tan45°—1,tan60o=∖∣3，tan150=tan(45°-30°)==2-√3

1+tan45otan30o

rueAc。.∖tan30o+tan450Cc∙

tan75o=tan(30°+45cn°)=------------------------=2+√3

',l-tan30otant45o

故选：ABCD

三、填空题

13.两条平行线∕√3x+4γ-7=0⅛∕√3x+4y-12=0的距离为.

【正确答案】1

【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.

【详解1两条平行线4：3x+4y-7=0和4:3x+4y-12=0间的距离为d==1.

√32+42

故答案为∙1

14.已知圆Q:(x+iy+(y-2)2=1与圆Q：(X-3)2+(、+1)2=/(厂>0)外切，贝IJr=

【正确答案】4

【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出,

【详解】因为O∣(T,2),O2(3,-1),圆G(x+l)2+(y-2)2=l的半径为1,圆

22

O2:(ɪ-ɜ)+(y+l)=∕(r>0)的半径为小

所以Iqal=√(-1-3)2+(2+1)2=5，

因为两圆外切

所以l+r=5,得r=4.

故4

15.圆(x+iy+(y-2)2=4关于直线y=0对称的圆的标准方程为.

【正确答案】(x+iy+(y+2)2=4

【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.

【详解】•••圆(x+l)2+(>-2)2=4的圆心(-1,2),半径为「2,

则(-1,2)关于直线y=0对称的点为(-1,-2),

对称圆的圆心为(―1,—2),半径为4=4=2,

故对称圆的方程为∙(x+lp+(y+2)2=4

故答案为.(x+lf+(y+2)2=4

16.已知A(2,2,0)∖B(l,4,2)∖C(0,2,0),则原点O到平面ABC的距离为.

【正确答案】√2

【分析】计算出平面ABC的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得原点。到平面ABC

的距离.

UllIU

【详解】由已知可得AB=(T,2,2),AC=(-2,0,0),

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

In∙AB=-X+2y+2z=0

取可得"=

I]∖nAC=-2x=0y=l,(0,1,-1),

而OA=(2,2,0),所以，原点。到平面ABC的距离为d=

W一行

故答案为.√Σ

四、解答题

17.已知点42,2),直线3x+4y+2=0

(1)求A点到直线/距离；

(2)求过点A且与直线/平行的直线的方程.

【正确答案】(1)，

⑵3x+4y—14=0

【分析】(1)根据点到直线的距离公式计算即可；

(2)设过点A且与直线/平行的直线方程为3x+4y+C=0,再将A(2,2)代入即可.

【详解】⑴A点到直线/距离d=』：8+21=工

√9+165

(2)设过点A且与直线/平行的直线方程为3x+4y+C=0,

把点A的坐标代入可得：6+8+C=0,解得c=—14,

所以所求直线方程为3x+4y-14=0.

18.三角形的三个顶点分别是A(4,0),B(6,7),C(0,3).

(1)求AC边所在的直线方程；

(2)求AC边上的高所在的直线方程.

【正确答案】(l)3x+4y-12=0

(2)4x-3y-3=0

【分析】(1)用直线方程的截距式求方程；

(2)利用两直线垂直，斜率相乘等于-1求解.

【详解】(1)由44,0),C(0,3).可得AC边所在的直线方程是：→√=l-

43

即3x+4y-12=0.

3-03

(2)因为AC边上的高垂直于AC,(1)由已知心0=

0—44

・・•高所在的直线方程斜率为(4

又AC边上的高过点8(6,7),

4

故所求直线方程为y-7=§(x-6)

故AC边上的高所在的直线方程是4x-3y-3=0.

19.已知圆心为C的圆经过点。(0,0)和A(2,0),圆心在直线/:2x+y-l=0上，求圆C的方

程.

【正确答案】(x-iy+(y+l)2=2

【分析】首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值,

从而确定其方程：

【详解】设圆心C(a,b),则2α+A-l=0,

圆经过点O(OQ)和42,0),

:.r=y∣a2+b2=7(«-2)2+b2,

解可得，α=l,b=-∖,即圆心C(L-1),r=>∕2<

故圆C的方程为：(x-l)2+(y+l)2=2;

20.如图在边长是2的正方体ABa)-ABGA中，E,F分别为A8,AC的中点.

(1)求异面直线EF与CA所成角的大小.

(2)证明：EFl平面AC。.

【正确答案】(1)60”;(2)证明见解析.

,、JEFCD

【分析】(1)通过建立空间直角坐标系，利用cos(EFe)=W同可得解;

(2)利用EQ图=0和E/∙OC=0,可证得线线垂直，进而得线面垂直.

【详解】据题意，建立如图坐标系.于是:

O(0,0,0),Λt(2,0,2),C(0,2,0),£(2,1,0),F(l,l,l),A(0,0,2)

ΛEF=(-1,0,1),CDi=(0,-2,2),DAi=(2,0,2),DC=(0,2,0).

1012

(1)cos(EF,CD1)==-×÷θ×⅛÷×=ɪ

(1)∖'z∣fF∣∣CD,∣√2×2√22)

.∙.(EF,CD)=60°

异面直线EF和CQ所成的角为60.

(2)EFDAy=-l×2+0×0+l×2=0

/.EF±DA1,即EF_LDAt

EFZ)C=-l×0+0×2+l×0=0>

∙,∙EF1DC即EFA.DC.

又∙.∙OA∣,DCU平面QCA且OACOC=O

二EFJ,平面ACD.

21.已知点A(l,4),B(3,-2),以AB为直径的圆记为圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)若过点P(0,-2)的直线/与圆C交于M,N两点、,且IMM=2后，求直线/的方程.

【正确答案】(1)(x-2)2+(γ-l)2=10；(2)X=O或5x-12y-24=0.

【分析】(1)根据中点坐标公式求出圆心，然后利用两点间的距离公式求出半径，进而可求

出结果：

(2)根据几何性质求出弦心距，然后结合点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】(1)由41,4),8(3,-2),得A5的中点坐标为(2,1),即圆心坐标为(2,1),

半径r=g∣A8∣=√ΠJ,

・••圆C的方程为(x-2)2+(y-l)2=10

(2)⅛IM7√I=2√6,

可得弦心距为JlO-(G)2=2

当直线的斜率不存在时，直线/的方程为X=0,

圆心到直线/的距离为2,所以满足题意;

当直线/的斜率存在时，设直线方程为y+2=日

Bpfcv-y-2=0.