山东省泰安市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高二年级考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.经过"(0"T,%T)两点的直线的倾斜角为()

兀π2兀

A.-B.—C.—

633

【答案】D

【解析】

【分析】利用倾斜角与斜率关系即可求解.

【详解】因为直线经过A(O,G-1),B(3,-l),则直线斜率为k=占二j1=—且,设倾斜角为α,

一33

∕τ5元

则tana=----,α∈(0,万)，此时a=%".

故选：D

2.若a=(-2,4,1)与6=(2,m,一1)共线，则机=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得〃=4a，即可得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为a=(-2,4,1)与力=(2,加,—1)共线，

-2λ=2

所以6=而，即(2,m,一1)=2(—2,4,1),BPM2=m,解得J_

几=一1E=一

故选：A

3.已知圆M的方程为χ2+y2+2χ-4y+l=0,则圆心M的坐标为()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-4)D.(-2,4)

【答案】B

【解析】

【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.

【详解】∙.∙χ2+∕+2x-4γ+l=0.∙.(x+l)2+(γ-2)2=4,

因此圆心坐标为M(T,2).

故选：B.

4.两条平行直线小3x—4y+6=0与33x-4)，-9=0间的距离为()

13

A.-B.-C.3D.5

35

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可.

【详解】两条平行直线4：3x-4y+6=0与4：3x—4y—9=0

∣6~(~9)∣

所以两条平行线间的距离为—=3

√32+(-4)25

故选：C.

5.已知平面ɑ的一个法向量为〃=(—1,—2,2),点A(OJO)为α内一点，则点尸(1,0,1)到平面。的距离

为()

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量数量积以及点到面的距离向量求法即可求解.

【详解】因为AP=(I,—1,1),«=(-1,-2,2),

所以Ap.〃=一1+2+2=3,IU=Jl+4+4=3,

APn

W

故选：D

6.已知圆M：(x—2p+y2=4内有点尸(3,1),则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为()

A.x+y-2=0B.x-y-2=0C.x+y-4=0D.x-y+2=0

【答案】C

【解析】

【分析】由圆M的标准方程得出圆心和半径，连接PM,作PM的垂线，交圆M于A,B两点，以点P为

中点的圆M的弦即为A8,求出直线MP的斜率，利用两直线垂直关系，则可求出直线AB的斜率，用点斜

式方程即可求出直线4B.

【详解】由圆M的标准方程（X—2）2+丁=4,可知圆心M（2,0）,半径厂=2，

如图，连接MP,作MP的垂线，交圆M于A,B两点，

以点P为中点的圆仞的弦即为AB,

,1-0,

%===1，MPLAB

3-Z

所以直线AB的方程为：y-l=-l（x-3）,整理得x+y-4=0,

故选：C.

7.已知“，〃为两条异面直线，在直线。上取点A,E，在直线。上取点A,F，使A41L4,且

MLb（称AA为异面直线”，〃的公垂线）.已知AE=2,AF=3,EF=5,A41=3√2,则异面

直线4，》所成的角为（）

ATB.ɪC.空DW

6336

【答案】B

【解析】

【分析•】由题可设异面直线“，力所成的角为氏利用向量可得COSe的值，即求.

TT

【详解】设异面直线”，所成的角为9，θ∈（0,-]

2

Ea

Ai

____________________∖b

AF

且

∙.∙Λ4∣!.a,Λ41J.b,AiE=2,AF=3,EF=5,A41=3√2,

.∙.E户=E4,+AA+AF

2.2.22,.

.∙∙EF'^EA,'+AiA+AF'+2EAi-A,A+2AiA∙AF+2EAiAF

：.52=22+(3√2)2+32±2×2×3×COS^

1τι

.∙.cos6=±±,又θ∈(0,勺

22

3

故选：B.

8.若直线履+y+Z=0与曲线y=1+J2x-f仅有一个公共点,则实数Z的取值范围是()

A.-1,-0{0}B.f-l,-∣1u{0}

【答案】D

【解析】

【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数攵的取值范

围.

【详解】曲线y=ι+ʌ/2,x-x2即χ~+(y—1)~—2X=0(3,..1),

即(X-I)2+(y-l)2=l(y.l),表示M(1,1)为圆心，厂=1为半径的圆的上半部分,

直线依+y+左=0即y=-⅛(χ+D恒过定点(-1,0),

作出直线与半圆的图象，如图,

考查临界情况：

当直线过点(0,1)时，直线的斜率-4=1,此时直线与半圆有两个交点，

当直线过点(2,1)时，直线的斜率-%=g,此时直线与半圆有1个交点，

当直线与半圆相切时，圆心M(Ll)到直线"+>+〃=()的距离为1,且一攵>0,

IA：÷1+⅛I4

即/ʒ-=1，解得：k=一一，伏=0舍去）.

√⅛2+l3

据此可得，实数攵的取值范围是(-L-；IJ卜.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知A(l,2),3(—3,4),C(—2,0),则()

A.直线》一丁=0与线段AB有公共点

B.直线AB的倾斜角大于135°

C._ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0

D._ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为4x+y+8=()

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，画出图像即可看出有无交点；B选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与

135。的大小；C选项ABC的边BC上的高所在直线过点A,且斜率和直线BC的斜率乘积为T,用点斜

式写出边BC上的高所在直线；D选项一ABC的边BC上的中垂线经过8C的中点，且斜率和直线BC的

斜率乘积为-1,从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程；

【详解】如图所示：所以直线χ-y=o与线段AB无公共点，A错误;

4-21

因为ZAB=----=一一>-1>所以直线AB的倾斜角大于135°，B正确.

ab-3-12

4

因为ZBC=-----=-4,且边BC上的高所在直线过点4

-3+2

所以―ABC的边8C上的高所在直线的方程为y-2=L(X-I),

4

即x-4y+7=0,C正确,

，5、4-0

因为线段BC的中点为一7,2,且直线BC的斜率为------=-4,

I2J-3+2

所以BC上的中垂线所在直线的方程为y-2=；[x+g),

即2x—8y+21=0,故D错误.

故选：BC.

10.已知直线/：ax+by=∖,圆C：f+/=1，点时.,，)，则()

A.若M在圆上，直线/与圆C相切B.若M在圆内，直线/与圆C相离

C.若M在圆外，直线/与圆C相离D.若M在直线/上，直线/与圆C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据点与圆的位置关系，得〃的关系，即可确定直线/与圆C的关系来判断A,B,C选项；根据

点与直线的位置关系，得得。力的关系，即可确定直线/与圆C的关系来判断D选项.

【详解】解：圆C：x1+y2=l,圆心C(0,0),半径r=l

对于A,若M在圆上，则IMAl=Ja2+/=「=],圆心到直线/的距离为：d

则直线/与圆C相切，故A正确;

-1

对于B,若M在圆内，则IMq=Ja2+从<1,圆心到直线/的距离为：d=''>i=r,则直线/

^a2+b2

与圆C相离，故B正确;

1-11

对于C,若M在圆外，则IMq=Ja2+/>]圆心到直线/的距离为:d=,1<1=r,直线/与

√π2+Z72

圆C相交，故C错误；

1-111

对于D,若Λ/在直线/上，贝!14+/=1,圆心到直线/的距离为：d—,---—\—r,则直线/与

y∣a2+b2ɪ

圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

11.如图，四棱柱ABC。一AAGA的底面是正方形，O为底面中心，4。，平面ABCn

AB=AAi=2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）

A.OB1=（√2,0,√2）

B.AC，平面08月

C.平面。的一个法向量为〃=（0,1,—1）

D.点8到直线AC的距离为6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知条件及给定的儿何图形写出点A,B,C,4的坐标,再对各个选项逐一分析计算并判断作答.

【详解】依题意，ABc。是正方形，ACl5£）,AC与BD的交点。为原点,AB=A4l=2,

在给定的空间直角坐标系中，

B(√2,0,0),C(0,√2,0),A(0,-√2,0),A1(0,0,√2),

而Ag=AB=(√5,√Σ,O),

则点用(血,衣旬,。4=(√i√iC),故A错误；

Qβ=(√2,O,θ),C>B1=(√2,√2,√2),

设平面。B8∣的法向量〃=(x,y,z),

nOB=yplx=O

n∙0Bl=∖∣2x+∖[2y+V∑z=O

令y=l,得〃=((M1),故C正确；

AC=仅,√2,-√2)=&〃,即ACɪ平面OBBl,故B正确；

AC=(0,√2,-√2)MIB=(√2,0,-√2)∕=A∣4^=1,

ncl

22

B到AiC的距离h=y∣AιB-d=√4≡1=g，故D正确

故选:BCD

12.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262-前190)发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为

定值∕l(∕l≠l)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏

局ICAII直线/:

圆.在平面直角坐标系Xoy中，已知A(T0),5(2,0),动点C满足T

inx-y+〃?+1=O,贝IJ()

A.直线/过定点(Tl)

B.动点C的轨迹方程为(x+2j+y2=4

C.动点C到直线I的距离的最大值为√2+1

D.若直线/与动点C的轨迹交于P,。两点，且IPQl=2夜，KiJzn=-I

【答案】ABD

【解析】

【分析】设C(X,y),由题意求出点C的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次判断四个选项

即可.

x+l=OX=-I

【详解】对于A,直线/：mx-y+m+∖=(},∕n(x+l)-y+l=O,<,直线/过定

—y+l=Oy二ι

点故选项A正确;

八、∖CA∖IJ(X+I)?+/1

对于B,设C(X,y),因为动点。满足白=不所以I,ɔ--

ICBl2√(χ-2)2+/2

整理可得χ2+V+4X=O,即(χ+2)2+V=4,所以动点C的轨迹是以N(—2,0)为圆心，厂=2为半径的

圆，动点C的轨迹方程为(x+2)2+V=4,故选项B正确;

对于C,当直线/与MN垂直时，动点C到直线/的距离最大，且最大值为2+√Σ,故选项C错误;

对于D,记圆心N到直线/的距离为d,则d=左二,因为∣Pβ∣2=4(r2-J2),

I/71—11rτ

则4(/一1)=8,因为r=2,所以J=√2,即/,二友,解得tn=-∖,故选项D正确.

V/?!2+1

故选:ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线4：x+2y-l=0,Z2：2x+αy-I=0,若§〃υ，则〃的值是

【答案】4

【解析】

【分析】由两直线平行可得4%=4月，代入相关数据计算即可.

【详解】解：因为4〃4,

所以"=2x2=4.

故答案为：4.

14.写出过M(4,0),N(0,4)两点，且半径为4的圆的一个标准方程：

【答案】x2+y2=16(或(x—4)2+(y-4)2=16)

【解析】

【分析】设所求圆的标准方程为：(x—αp+(y-∕J)2=16,代入M,N两点的坐标求解即可.

【详解】解：设所求圆的标准方程为：(x—ap+(y—8)2=16,

(4-αf+/=16

则有《

a2+(4-⅛)2=16

Q=Oa=4

解得《或＜

h=0b=4f

所以所求圆的标准方程为：V+y?=16或(x—4)2+(y—4)2=16.

故答案为：x2+∕=16^(%-4)2+(y-4)2=16.

15.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖膈(bienao)是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在

直角AABC中，Ar)为斜边BC上的高，AB=3,AC=4,现将ZVWD沿AO翻折AAED,使得四面

体AB'CD为一个鳖嚅，则直线8'。与平面ADC所成角的余弦值是.

【解析】

【分析】作8'M，Cc)于交Co于M,可证明8'Λ∕J_平面ACDJiJZB'DM即为8Z>与平面AoC的夹

角.根据线段关系即可求解.

【详解】作B'M_LCD于交Cr)于M

因为ADLCADLDO'

且CDCor>'=。

所以Ar)J_平面DB'C

而ADU平面Aa)

所以平面48_L平面03'C

又因为平面AcD平面。3'C=OC,且3'M,8

所以平面ACo

则ZB,DM即为3'。与平面Aoc的夹角

因直角A46C中,A8=3,AC=4

所以3C=JΛB2+AC2=J9+I6=5

AB×AC3×412

AD

BC55

则DC=JAC2一A02=卜2_(同=/

169

所以。B'=BC-OC=5—二=三

55

9

在直角三角形C中,cos∕B'Z)M=cosZB'DC=^-5=2

DC1616

5

9

故答案为

16

【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和

计算能力要求较高,属于中档题.

-JL

16.已知α=(Al,y,zj,b=^x2,y2,z2),且忖=2,卜卜3,a-b=-6>则----

入2+%+Z?

【答案】-2

3

【解析】

【分析】由卜∣=2,W=3,a∙b=~6,可得向量”与6平行，且。=一|心从而可得结果.

【详解】∙.∙∣α=2,∣b∣=3,a∙b=-6,

所以2x3XCOS<a,h>=-6,<a,b>e,[0,π],∕.<6Z,/?>=π.

,.2

**•向量Q与平行，且。=-§〃，

2

所以（玉，凹，4）=一§（%2，%，22），

X.2

所以」=一彳.

X23

・%+4+Z]=XI=2

*x2+y2÷z2x23.

故答案为：—.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1

y--X

17.已知直线4：2I1：y=kx+b,且∕∣_L/,.

（1）求左的值;

(2)若直线4与4的交点的直线y=%上，求直线4的方程•

【答案】(I)k=-2

(2)y--2x-6

【解析】

【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解；

(2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线4的方程即可求解.

【小问1详解】

直线4的斜率为!，直线&的斜率为k.

因为4_L，2,所以gx%=-ι,

故A=—2.

【小问2详解】

1rC

y=-x-l%=-2

由题意可知：联立两直线方程可得：\2，解得V7

y=—2

y=xv

将点(-2,-2)代入I2的方程得一2=(-2)X(-2)+》，解得b=-6,

所以直线4的方程为y=-2x-6.

18.已知A(L3,4),B(T,5,4),C(-l,2,l).

(1)求(AB,8C);

(2)求AC在BC上的投影向量.

【答案】(1)—

3

(2)(0,-2,—2)

【解析】

【分析】(1)由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值.

(2)根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量BC的同方向单位向量,计算即可得到投

影向量.

【小问1详解】

解：因为AB=(-2,2,0),BC=(O,—3,—3),

所以AB∙BC=—6,I=2>∕5,1=3>∕Σ,

∕∙n"ABBC-61

所以W.，叫=国国=昕WrN

因为0≤(A8,3C)≤π,

zɔ

所以(AB,BC)=T.

【小问2详解】

因AC=(-2,-1,-3),BC=(0,-3,-3),

所以CoS(4C,8C)=-」2L

`/√14×3√2=R7Σ∙

所以AC在BC上的投影向量为

IAqCoS(AC,BC).向=旧X乎］θ,-当,-鼻

=(0,-2,-2)

19.如图，在平行六面体ABCD-AAGA中，AB=AD=4,AA=5,

o

NDAB=ZBAAt=ZDAAi=60,M,N分别为P1C1,Gg中点.

(1)求AG的长；

(2)证明：MN±AC1.

【答案】(I)AC1=√∏3;

(2)证明见解析.

【解析】

UUU

【分析】（I）设AB=",AD=b，AA=c,将AG用。,瓦C表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果.

UUUUUU

（2）将MN,AC∣,分别用α,6,c表示出来，根据MN∙AC∣=O,即可证明

【小问1详解】

卜|=5，α∙⅛=8>α∙c=8∙c=10,

设AB="，AD=b，A4l=C,则网=4=4,

uuιrUUiinUUir∣r∣r

MN^MCλ+CλN=-a--b

AG=AB+BC+CCl=Cl+b+C-

uu≡2Λrr、2

因为AC=∖^a+b+cj

rrrrrrrrr

=a2+b2+c2+2∖za∙b+b∙c+c∙a

=42+42+52+2(8+10+10)

=113,

所以AG=J诟

【小问2详解】

UuLrUUirCr

证明:因为MN∙AC=—a

112-戈

1Γ21，r1rɪrr

=-a+-C∙a——b2——b∙c

2222

=J∙x42+klθ-'X42-L10

2222

=0,

所以MNJ.AG.

20.已知圆M：(X—2)~+(y—1)~=25,圆N：X1+y2-14x-wj>,+52=0,过圆M的圆心M作圆N的

切线，切线长为5.

（1）求小的值，并判断圆M与圆N的位置关系；

（2）过圆N的圆心N作圆M的切线/,求/的方程.

【答案】（1）团=4,圆M与圆N相交

(2)χ=7或12x+5y-94=0,

【解

【分析】(1)先用配方法确定圆N的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出，〃的值，再根据圆心距和半

径之间的大小关系判断位置关系；(2)过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜

率是否存在进行讨论.

【小问1详解】

由题意知，M(2,1),TVp,圆N的半径小=J1>+J?4X52=如2二ɪg,

∖)22

由勾股定理得∣M∆f=4+52,

+52.

解得m=4.

所以IMM=J(7_2)"+(2_])--426，j=1,b+<v=6,3一ζv=4.

因为%一小<∣MN∣<%+为，所以圆M与圆N相交；

【小问2详解】

当/的斜率不存在时，/的方程为χ=7.检验知满足相切.

当/的斜率存在时，设/的方程为y—2=Mx—7),即玄一丁一7&+2=0,

∣2⅛-1-7Λ+2∣12

因为/与圆M相切，所以1——7=~L=5,解得Z=-一，

√1+F5

19

所以/的方程为y—2=—《(x—7),即12x+5y-94=0.

综上所述，/的方程为x=7或12x+5y-94=0,

21.如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O,O1,该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱ABc-AAa的

三条侧棱均为圆柱的母线，且AB=AC=我Oq,点尸在轴Oa上运动.

(1)证明：不论P在何处，总有BCJ.9；

（2）当P为。。的中点时，求平面APB与平面片PB夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

11

【解析】

【分析】（1）证明线面垂直，进而证明线线垂直；

（2）利用空间向量的坐标运算方法求面面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：连接A。并延长，交BC于M,交圆柱侧面于N.

因为AB=AC,OB=OC,所以aAOB^4AOC,所以ZCAM,

所以ABM^,ACM,所以例为BC中点，所以04LBC.

又在圆柱Oa中，AAj•平面4BC,BCU平面ABC,

AA1IBC,AOΛ4,=A,A0,Λ4lu平面AoaA，

所以BC1平面AoaA.

因为不论P在何处，总有PAu平面Aoqa,

所以BCLPA.

【小问2详解】

设Oa=Λ41=AN=α(α>0),则AB=AC=包~a.

6

在，ABC中,

则OM=-a.------Cl•

36

如图，建立空间直角坐标系-孙Z,

其中用G//X轴，y轴是BG的垂直平分线,

则A(O,fi,(-ɪɑ,ɪɑ,θ)>1,P(θ,θ1α

a,—a,a

3)

AP=(*αj),

所以AB(V■〃,，,〃),

BIB=(O,O,a),B]P=(-a,--cι,-cι)∙

设平面AlPB的一个法向量为机=(x,y,z),则

√5