2022-2023学年山东省重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知t是虚数单位，复数Z=+，则2是（）

A1+iR1_1r_1+4,1UD----

A.2十22222'22

2.“治国之道，富民为始”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，

是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的

生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识

加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）

A.平均数小，方差大B.平均数小，方差小C.平均数大，方差大

D.平均数大，方差小

3.下列命题正确的是（）

A.a//b,buana〃aB.a//a,buana//b

C.a/la,a〃bnb〃aD.aCa,a//b,6ua=a〃a

4.已知向量日=（1,2）,b=（-2,2），c=（4,/c）,若m+B）〃3则上=（）

A.-1B.1C.-16D.16

5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

6.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6,现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2

次击中目标的概率p.先由计算器产生。到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2,3,4,5表

示击中目标，6,7,8,9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次

射击的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：

169966151525271937592408569683

471257333027554488730863537039

据此估计p的值为（）

A.0.6B.0.65C.0.7D.0.75

7.如图，用K、A1、々三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且公、/至少有一个

正常工作时，系统正常工作，已知K、4、&正常工作的概率依次是09、08、0.8,则系统

正常工作的概率为（）

A.0.960B,0.864C.0.720D,0.576

8.已知四面体ABCD满足4BJ_BC,BCLCD,AB=BC=CD=2A/-3,且该四面体的体积

为6,则异面直线4。与BC所成角的大小为（）

A.45°B,60°C.45°或60°D.60°或30°

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知i为虚数单位，复数z=^,则下列命题为真命题的是（）

A.z的共轨复数为"|iB.z的虚部为|

C.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第四象限

10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正

面朝上”，下列结论中正确的是（）

A.该试验样本空间共有4个样本点B.PG4B）=；

C.4与E为互斥事件D.A与8为相互独立事件

11.下列命题中是真命题的有（）

A.有4B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的4个体数为9,则样本容

量为30

B.一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同

C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲

D.某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数

据落在区间［114.5,124.5］内的频率为0.4

12.已知三棱柱48。-48道1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球。的表面上，侧面

BCGBi的面积为4/至则正确的结论是（）

A.若BiG的中点为E,则AC1〃平面&BE

B.若三棱柱48C-&B1G的体积为4/耳，则①到平面BCCiBi的距离为3

C.若△力BC是边长为2的等边三角形，则4G与平面A41B1B所成的角为方

D.若AB=AC=BC,则球。体积的最小值为竽

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率

是.

14.我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数(上年同月=100)分别为100.7,101.5,

102.3,101.5,100,9,100.9,101.5,则这组数据的第20百分位数是.

15.已知4D是AABC的中线，若〃=120。，AB-AC=-2,则|而|的最小值是.

16.在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=1,将△AC。沿AC折起，连接BO,

得到三棱锥。-ABC,则三棱锥D-4BC体积的最大值为,此时该三棱锥的外接球的表

面积为•

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知非零向量优B满足m=4|瓦，且伍一2历1人

(1)求江与3的夹角；

(2)若恒+山=1五，求同的值.

18.(本小题12.0分)

为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试.根据测试

成绩,将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,其

频率分布直方图如图所示.

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异)的学生进

行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？

19.(本小题12.0分)

在如图所示的四棱锥F-4BC。中，四边形4BCD是等腰梯形，AB//CD,Z.ABC=60°,FC1

面ABC。，CB=CD=CF=1.

(1)求证：AC1BF；

(2)若E为CF的中点，问线段ZB上是否存在点G,使得EG〃面ADF?若存在，求出4G的长；

若不存在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发

球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24,要继续比赛至某队领先2分

才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率

为|,乙队发球时甲队获胜的概率为|,且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方X：

X平后，甲队拥有发球权.

(1)当X=24时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；

(2)当X=22时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率.

21.(本小题12.0分)

如图所示，在三棱柱力BC-中，侧棱力遇，底面4BC,且底面是边长为2的正三角形,

侧棱长为1,。是4C的中点.

(I)求证：B1C〃平面&BD；

(n)求直线4B1与平面&BD所成角的正弦值;

(HI)求二面角A-BD-&的大小.

22.(本小题12.0分)

在A4BC中，acsinB=b2—(a-c)2.

(1)求sinB的值；

(2)求上的取值范围.

az+c2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=±=/氏)、=4=H，

l+i(l+i)(l-i)222

故选：A.

根据复数代数形式的除法运算化筒即可.

本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，

平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均

数大，方差小.

故选：D.

根据平均数与方差的含义即可求解.

本题考查了平均数与方差的概念，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于4,a//b,6<2。=(1£201或(1〃处故A错误；

对于B,a//a,bua=a〃b或a与b异面，故B错误；

对于C,a//a,a〃/?=b〃a或bua,故C错误；

对于D,aa,a//b,bua=a〃a,故。正确.

故选：D.

由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基

础题.

4.【答案】C

【解析】解：•••日=(1,2),3=(—2,2)，c=(4,/c),

五+b=(1,2)+(—2,2)—(—1,4)>

又0+石)〃小二一lxk=4x4,解得k=-16.

故选：C.

首先求出a+3的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可.

本题考查平面向量的坐标运算，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：对于选项4,“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”为互斥而不对立的两个事

件，即选项A正确；

对于选项8,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”两个事件不为互斥事件，两事件中都有

“一个红球一个黑球”这一事件，即选项B错误；

对于选项C,“至少有一个黑球”与“都是黑球”两个事件不为互斥事件，两事件中都有“都是

黑球”这一事件，即选项C错误；

对于选项D,“至少有一个黑球”与“都是红球”为对立事件，即选项。错误，

故选：A.

由互斥事件及对立事件的关系求解即可.

本题考查了互斥事件及对立事件，属基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查古典概率，考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题.

首先列举出至少击中两次的数据，进一步利用古典概率的关系式的应用求出结果.

【解答】

解：由题意：射击中击中至少两次的为：

151,525,271,592,408,471,257,333,027,554,730,537,039,

一共有13组，

故至少击中两次的概率为2(4)=蔡=0.65.

故选：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析

事件之间的关系.

首先记K、4、4正常工作分别为事件人B、C,易得当K正常工作与久、&至少有一个正常工

作为相互独立事件，而“4、4至少有一个正常工作”与“4、&都不正常工作”为对立事件,

易得4、4至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，记K、4、&正常工作分别为事件4、B、C；

则P(4)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.8,

①、&至少有一个正常工作的概率为1一p(B)尸(C)=1-0,2x0,2=0,96：

则系统正常工作的概率为0.9x0.96=0.864；

故选：B.

8.【答案】C

【解析】解：如图所示：将四面体放入长方体中,

V=xgx2<3x2cxCE=6,解得CE=3,

故DE=VCD2-CE2=V12-9=

以凡4,FC,FG为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

8(2/3,2<3,0)，。(0,2「,0)，D(0,<3,3)或。(0,3/3,3)，

4(2/3,0,0)，

AD=(-2c3c,3)或而=(-2V~3,C3)>BC=(-2c0,0).

设异面直线AD与BC所成的角的大小为0,0<0<90°,

小。_।通的-12_1

C°S"~\AD\-\BC\~2/3x4<3一2’9=60°;

座也=__12__£2则

或COS®==45°;

\AD\-\BC\~2cx2A_2，

综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为45。或60。.

故选：C.

将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到CE=3,建立空间直角坐标系，得到各点坐标,

根据向量的夹角公式计算得到答案.

本题考查异面直线所成的角，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：因为z=爱=(称：工一?=•岁2=：_7

24-1(2+i)(2-i)2-r55

所以z的共扼复数为"+故A正确；

复数z的虚部为-"故B错误；

|Z|=J(扔+(_|)2=宰，故C错误；

复数Z在复平面内对应的点为号,-§,位于第四象限，故。正确.

故选：AD.

根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据共血复数的定义判断4根据复数的概念判断B,

根据复数的模判断C,根据复数的几何意义判断，

本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4,分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有｛(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反,

反)｝四个样本点，故A正确，

对于B,事件4与事件B相互独立，贝i」P(AB)=%故8正确，

对于C,D,事件4与事件8相互独立，故A与B为相互独立事件不为互斥事件，故C错误，。正确,

故选：ABD.

根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式可解.

本题考查相互独立事件的定义以及概率乘法公式，属于基础题.

11.【答案】BD

9

【解析】解：对于4由分层抽样原理知，样本容量为n=二3二=18,所以选项A错误;

3+1+2

对于B,数据1,2,3,3,4,5的平均数为3=2x(1+2+3+3+4+5)=3,

众数为6,中位数也是3,所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B正确;

对于C,甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5；

它的平均数是3=卷x(5+6+9+10+5)=7,

方差为s2=|x[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=4.4,

这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C错误；

对于D,由题意知样本容量为10,样本数据落在区间口14.5,124.5]内的频数是4,

所以频率为0.4,选项。正确.

故选：BD.

A中，由分层抽样原理求出样本容量的值；

B中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；

C中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；

。中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可.

本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：取BC的中点心连接4尸，QF,BE,&B,ArE,

则4/7/4E,BE//C#,又4FC平面&BE,&Eu平面&BE,5P

•••4/7/平面&BE,同理GF〃平面々BE,V

而4尸、GFu平面AGF,且AFnCiF=F,

二平面4BE〃平面AC/,匕

AC】//平面力iBE,故A正确；

设&到直线BiG的距离为m,则V=|m-BjQ-CQ=4，W,

又S矩形BCC1B1=B】Cl,"1=m=2,

•••平面AiBiG1平面BCG/,平面n平面BCGBi=Bg,

•••占到平面BCC/i的距离为2,故B错误；

若4ABC是边长为2的等边三角形，

取中点G,连接QG,则GG1平面A&B1B,，「二

连接AG,则4GAG为4G与平面4AB1B所成的角,

在RtZiGG4中，由已知可得CG=C，=则AC】=22+(2/-3)2=4>

sinzAAG=梨=?，

14cl4

则4cl与平面4必当8所成的角为arcsin?，故C错误；

若AB=AC=BC,三棱柱的底面为等边三角形，

设M,N分别是AABC,AABIG的中心，连接MN,

则球心。为MN的中点，设三棱柱底面边长为a,高为九，则ah=4/3，

•；BiN=为避=?a，ON=。,

•••外接球的半径为R=0/=Jy+Y=J亨+苣2J2c=2，

当且仅当a=，石时上式等号成立，

・••球。的体积7=1兀/?3之券，故。正确.

故选：AD.

取8c的中点F,通过证明平面4BE〃平面AGF,得出4G〃平面4BE判断4：根据棱柱的体积公

式，得出△&B1G的边BiG上的高，得出4到平面BCG/的距离判断B；由题意找出线面角，求

解即可判断C；球心在棱柱上下底面中心连线的中点，根据基本不等式计算球的最小半径，即可

得出球。的最小体积判定0.

本题考查了棱柱与外接球的位置关系，考查球的体积与表面积计算，属于中档题.

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题.

分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值.

【解答】

解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6X6=36种，

而点数和为5的事件为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种，

则点数和为5的概率为P=白=

故答案为:

14.【答案】100.9

【解析】解：将这组数据按从小到大排列为100.7,100.9,100.9,101.5,101.5,101.5,102.3,

由20%x7=1.4,可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，EP100.9.

故答案为：100.9.

将这组数据按从小到大排列，利用I百分位数的求解方法，计算结果即可.

本题考查百分位数的应用，是基础题.

15.【答案】1

【解析】解：-：AB-AC=-2=\AB\\AC\cosA，=120。，

\AB\\AC\=4

■.■\AD\=^(AB+AC),

.-.\AD\2=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC)=^\AB\2+\AC\2-4)

2；(2|布||前4)=1

，|4DImin=1

故答案为：1.

利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求|而|的最小值.

本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题.

16.【答案】g

57r

【解析】

【分析】

本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题.

注意到三棱锥。-ABC体积最大时，平面4CD_L平面4BC,可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，

然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面力CD的距离、△4CD外接圆半径和球

的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.

【解答】

解：过点C作CE1AB,垂足为E,

**•BE=B=

由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BCcos1=3,即AC=R,

AB2=BC2+AC2,

・•・BC1AC,

易知，当平面AC。_L平面ABC时，三棱锥0-ABC体积最大，

此时，BCJL平面4CD,

易知，NO=y,

••S&ACD=\AD•CDsin^-=

VD-ABC=g*1=泉；

记。为外接球球心，半径为R,

平面4c0,OB=OC,

■.。到平面4C。的距菌d=5

AC«

又R4CD的外接圆半径r=高而=1,

・•・/?2=r2+d2=7»

4

・•・S=4兀/?2=5〃,

图2

故答案为：黑为兀.

17.【答案】解：设向量入族夹角为仇

(1)由0-2&)1E得伍—2b)-6=0，••db—2b2=0»A\a\\b\cos0—2\b\2=0

又；|a|=4|山，二cos®=2，9=§；

⑵由+山=两边平方得MF+|瓦2+2|a||h|cos^=21,

又•.,向=4|山，二21|石『=21,.•.曲=1.

【解析】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模的运算，属于中档题.

设向量G,B夹角为。，

⑴由伍-2b)1(得伍-2by-b=0可解决此问题;

(2)由|五+b\=两边平方,结合同=4|)可解决此问题.

18.【答案】解：(1)由(0.005+0.010+0.015x2+。+0.030)X10=1,解得a=0.025；

(2)45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,故本次防疫知识测

试成绩的平均分为71；

(3)设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为［80,90),［90,100］对应的频率分别为0.15,0.1,

所以(90-x)x0.015+0.1=0,13,解得x=88,

故受嘉奖的学生分数不低于88.

【解析】(1)由直方图区间频率和为1求a即可；(2)根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

(3)根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可.

本题考查频率分布直方图，属于基础题.

19.【答案】证明：（1）•；CB=CD,乙CDB=/.CBD,

又AB//CD,：.乙CDB=4ABD,

•••4CBD=AABD,又44BC=60。，

•••/.ABD=30°,又AD=BC,/.DAB=/.CBA,AB=BA,

ABD=.ti,BAC,乙CAB=乙ABD=30°,

乙4cB=90°,即AC1BC,

•••FC_L平面ABC。，FC1AC,AC_L平面BC产，

•••AC1BF；

（2）解：线段力B上存在点G,使得EG〃平面4OF,4G=\AB=

4Z

下面证明结论：

如图，取DF中点H,连接HE,HA,在线段AB上取点G,使得AG=,4B,连接EG,

由（1）知，在4ABC中，Z.ABC=60°,4CAB=30°,Z.ACB=90°,AB=2BC=2,

所以AG=^AB=I，

因为AB〃CD,AB=2BC=2DC=2,

所以4G〃CC,aG=goc=；,

因为以为DF中点，E为CF的中点，

所以HE〃CD,HE=g,

1

所以4G〃HE,AG=HE=}

所以四边形AGEH为平行四边形，

所以4H〃GE,

因为AHu平面力DF,GEC平面ZDF,

所以EG〃平面4DF,

所以线段AB上存在点G,

使得EG〃平面4DF,AG=/

【解析】(1)根据题意，结合几何关系证明AC1BC,在根据线面垂直证明FC1AC,进而证明4c1

平面FBC,再根据线面垂直得结论；

(2)取DF中点H,连接HE,HA,在线段4B上取点G,使得4G=；AB,连接EG,则证明四边形4GEH

为平行四边形，以证明EG〃平面ADF.

本题考查了线面垂直的证明和线面平行定理的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)根据题意，X=24后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分,

或均由乙队得分，且两者互斥.

记事件4="X=24后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，

所以P(A)=W(i-w)X=布.

即X=24后两队共发2次球就结束比赛的概率为第.

45

(2)X=22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利.

记事件B=”甲以25：22取得该局胜利"，C="甲以25：23取得该局胜利”，D="X=22时，

甲队得25分且取得该局比赛胜利”，

因为各次发球的胜负结果相互独立，且B,C互斥，

firmn/nx2228c/"、"2、222,2〃2、22,22“2、

所以P(B)=3X3X3=27，P(C)=(1-3)X5X3X3+3X(1-3)X5X3+3X3X(1-3)X

2_8

5=45，

P(D)=P(BUC)=P(B)+P(C)=捺8+.8=黑64.

【解析】(1)分析可得：x=24后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由

乙队得分，且两者互斥.由此结合互斥事件的概率计算公式计算可得答案；

(2)记事件B="甲以25：22取得该局胜利”，C="甲以25：23取得该局胜利”，D="X=22时，

甲队得25分且取得该局比赛胜利”，则P(C)=P(BUC),由互斥事件的概率计算公式计算可得答

案.

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题.

21.【答案】(I)证明：设=连接DM,

因为四边形为平行四边形，

所以M为AB1中点，又因为。为4c中点，

所以OM〃B]C,

因为DMu平面为BD,BiCC平面&BD,

所以&C〃平面&BD；