2023届高考数学试题一轮总复习题型练习第16讲　变化率与导数导数的计算讲义

第16讲变化率与导数、导数的计算

号点1：导数的运算

/

求切线方程

变化率与导数、导数的计算

考点2：导数的几何意义求曲线的切点坐标

求参数的值(范围)

埠I

走进教材・自主回顾

1.导数的概念

(1)函数y=∕U)在X=XO处的导数

一般地，称函数y=√(x)在X=XO处的瞬时变化率Iirn/("°+"治/(沏)=Iim需为函数y=«r)在X=

Δτ-0WO

一工、公f(XO÷ΔΛ)—f(XO)

rj,πr,ʌv

Xo处的导数，记作了(xo)或y∖x=XQf即ʃ(ɪo)=ɪimʌɪ=Hm-----------------------------•

AXiOALO

(2)导数的几何意义

函数y(x)在点XO处的导数/(Xo)的几何意义是在曲线y=∕(x)上点P(X0,和)处的切线的斜率(瞬时速度就

是位移函数S⑺对时间t的导数).相应地，切线方程为y-y0=f(X0)(X-X0).

(3)函数大用的导函数

称函数/(X)=IinJ(HAxI.(X)为TX)的导函数.

AXH)

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

fix)=c{c为常数)/(x)=0

-XK"∈Q*)/(x)=n√,1

式X)=SinX/(X)=COS_x

/(x)=COSX/(X)=—sin__x

火X)=炉

f(x)-a'\n_a

m>0且4≠l)

∙Λx)=e*/(x)=e∙v

T(X)=IogM

∕α)=Ii⅛

(x>0,α>0且αWl)

Xx)=lnX

∕W=^

(x>0)

3.导数的运算法则

(l)g)±g(χ)]'=∕(x)±g'(x).

(2)[∕co∙gQ)γ=rα)gα)+y(%)gQ)

f(ɪ)^∣f(X)g(X)—f(ɪ)g,(x)

(3)----------「7~%-------⅛(x)≠O).

Lg(X)J[g(X)]~

1-------------------------------------------

考点探究•题型突破

A考点1导数的运算

［名师点睛］

-√鼠聚积/屋R展开化劣多项X.的形正再录导'

导..............................................

数⅛⅛J⅛⅛⅛'

二数或较为简单的分式函数，再求导

HMv----------------------------------------------------

运f［x⅛⅛晨至后如仁奖而/京爷1嘉…

算：二二二二二二二二二二二二二二二二二二

士根式形式：先化为分数指数罪的形式，再求导

法一;三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形'

I［式再求导

对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似,/(X)=∕(xo)g(x)+/Z(X)(XO为常数)的函数，解决这类问题的关

键是明确/(Xo)是常数，其导数值为0.因此先求导数/(X),令X=X0,即可得到/(XO)的值，进而得到函数解

析式，求得所求导数值.

［典例］

1.(2022•浙江•高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.

(1)y=esinx;

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-l);

(5)y=cos^2x+ɪj.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)的导数为了'(X),且AX)=2V'(e)+1nx,则/(e)=(???????)

A.--B.-1C.1D.e

[举一反三]

1.(2021•江苏省阜宁中学高三阶段练习)下列求导运算不正确的是(???????)

A.(V)=2XB.(SinX)=cosx

02/19

C.(3v)f=3'ln3D.(e*+ln3)=e'+；

2.(2022•全国•高三专题练习)若函数/(x),g(x)满足/(x)+xg(x)=x2T且〃1)=1,则/'⑴+g'。)=

(9999999)

A.1B.2C.3D.4

3.(2022,全国•河源市河源中学模拟预测)已知实数元满足2/(%)+小(x)=2XCC)S2x+2(COSX+sin%)?,x>0,

同=5,那么/(π)的值为(???????)

A.OB.1C.2D.π

4.(2022•江苏•高三专题练习)下列求导数运算正确的有(??????？)

A.(SinX)'=coSXB.(一)'==

XX

C.(log,x),=——D.(Inx)'='

31nxX

5.(2022•全国♦高三专题练习)求下列函数的导数：

(1)尸4)；

Xx'

L1

(2)y=(6+1)(五-1)；

(3))≈rtarix；

XX

(4)y=x-sin—cos—；

?22

(5)y^=3∖nx+ax(a>0,且α≠l).

A考点2导数的几何意义

［名师点睛］

利用导数求切线方程的一般过程

已知曲线)，=∕U)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解:

1.若P(X0,X))是切点，则曲线的切线方程为y—yo=f(Xo)(X-Xo);

2.若P(X°,")不是切点，则分以下几个步躲：

(1)设出切点坐标P'(XI,ʃi).

(2)写出过尸'(xι,y)的切线方程y—yι=/(xι)∙(χ-χι).

(3)将点P(X°,比)的坐标代入切线方程求出

(4)将©的值代入方程y-y∣=r(xι)(x-xι)得到所求切线方程.

［提示］“在"和“过''的区别：

(1)“曲线y=√(x)在点尸(X0,加)处的切线”指点P(X0,加)是切点，切线的斜率％=/(必)：

(2)“曲线y=∕(x)过点P(X0,加)的切线”指点P(X0,州)只是切线上一点，不一定是切点.

[≡∣J]

1.(2022•广东茂名•模拟预测)曲线"X)=Sim：-2CosX-I在点(如J处的切线方程为.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知贝X)=X2,则过点气—1,0),曲线y=∕(x)的切线方程为

3.(2022•河南•三模)曲线y=V+m(x<0)在点A处的切线方程为y=3x+2机-2,则切点A的坐标为

4.(2022•湖南湘潭•三模)已知直线/是曲线y=e*-l与y=inx+l的公共切线，则/的方程为.

［举一反三］

1.(2022•山东枣庄•三模)曲线y=V+⅛√+c在点M(LO)处的切线与直线x-y-2=0垂直，贝IJC的值为

(9999999)

A.-1B.OC.1D.2

2.(2022•重庆一中高三阶段练习)已知偶函数“X),当x>0时，/(Λ)=X2-Γ(1)X+2,则/(X)的图象

在点(-2J(-2))处的切线的斜率为(???????)

A.—3B.3C.-5D.5

3.(2022•湖北•宜城市第一中学高三阶段练习)若过点(。力)可以作曲线y=x-L(x>0)的两条切线，贝IJ

(9999799)

A.b>a>OB.a--<b<O<a

a

C.O<a--<b<aD.a>b>a-∙-⅛6z>0

aa

4.(2022•山东潍坊•二模)已知函数/(x)=InX-X+/,直线/:y=-gx+In2+2,点P(XOj(Xo))在函数

y=f(x)图像上，则以下说法正确的是(???????)

A.若直线/是曲线y="x)的切线，则r=—3

B.若直线/与曲线y=√(χ)无公共点，则f〉-3

C.若r=-2,则点尸到直线/的最短距离为K

D.若r=-2,当点P到直线/的距离最短时，⅞=2

5.(2022•全国•高三专题练习)已知直线/：XTy-2=0(f≠0)与函数/(χ)=Q(X>0)的图象相切，则切点的

X

横坐标为

A.2±√2B.2+2√2C.2D.l+√2

04/19

6.（2022•福建泉州•模拟预测）若直线F=MX+1）-1与曲线y=e，相切，直线y=&（x+l）-l与曲线y=lnx

相切，则匕&的值为（???????）

l

A.ɪB.1C.eD.e

7.（2022•全国•高三专题练习）若两曲线y=InX-1与y=ɑ/存在公切线，则正实数。的取值范围是（???????）

A.（0,2e]B.ge",+001C.^θ,ɪe3D.[2e,+∞）

8.（多选）（2022•河北保定•二模）若直线y=3x+m是曲线y=V（χ>0）与曲线y=-χ2+nr-6（x>0）的公

切线，则（???????）

A.机=-2B.m=-∖C.n=6D.〃=7

9.（2022•重庆三模）曲线y=g+ln（2x+2）+5在点卜;.3）处的切线方程为.

10.（2022•浙江•高三专题练习）己如函数，（》）=炉送。）=111二若曲线丫=/5）在点伍,〃斗））处的切线与

曲线y=∕（χ）在点（∙¾,g（Λ2））处的切线平行，则x+gG）=；若∕Z（X）=2Ag（x）-WD+1,

则〃（X）的最大值为.

11.（2022∙河北廊坊•模拟预测）设直线y=T∙v+8是曲线V=Sinx,Xe（O,乃）的一条切线，则实数6的值是

12.（2022♦全国•高三专题练习）曲线y=sinx+2x+l在点尸处的切线方程是3x-y+l=O,则切点尸的坐标

是.

13.（2022•重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数/（x）=α√+⅛√+3+d,若曲线y="χ）在点（（）,（））处

的切线与曲线g（x）=Rr（x）在点（1,2）处的切线重合，则g'（2）=.

14.（2022•广东•执信中学高三阶段练习）已知f（x）=e-l（e为自然对数的底数）,^x>lnx+1,则F（X）

与g（χ）的公切线条数为

第16讲变化率与导数、导数的计算

考点1：导数的运算

求切线方程

变化率与导数、导数的计算

考点2：导数的几何意义求曲线的切点坐标

求参数的值（范围）

走进教材・自主回顾

1.导数的概念

(1)函数y=∕(x)在X=XO处的导数

一般地，称函数y=∕(x)在X=Xo处的瞬时变化率IiiT/(")+A'[.=Iim言为函数y=∕(x)在X=

ΔΛ-OΔΛ-O

,

M)处的导数，记作/(xo)或y∖x=X()9即/(ɪo)=Hm言=liπ∕('，却).

AXfOAx-O

(2)导数的几何意义

函数人X)在点&处的导数/3))的几何意义是在曲线)，=段)上点P(X°，加)处的切线的斜率(瞬时速度就

是位移函数s(r)对时间f的导数).相应地，切线方程为y—)b=∕(xo)(χ-xo).

(3)函数“r)的导函数

f(^v+Av)—f(X)

称函数XX)=]im∙Lm,1一乙」一为危)的导函数.

Δχ-*O

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

兀V)=C(C为常数)/(X)=O

於K"∈Q*)f(x)=nx',^'

/(*)=SinX/(x)=COS_X

/(x)=CoSX/(X)=-sin_x

Λx)=at

f(x)=aκ∖n_a

(4>0且a#l)

火X)=e'/(x)=e"

./U)=Iogd

/0)—xlna

(x>0,a>0且α≠l)

Λr)=lnx

∕w=^

(QO)

3.导数的运算法则

(l)[∕U)±g(x)y=F(x)±∕(x).

⑵[∕ω∙g(χ)]'=73g(χ)+Aχ)g'(χ).

∣()

c3lΓΓf(ωx)^^J-f^(X^)g(Xig)右—f(x一)g^'^X^^A0)∙

考点探究・题型突破/(////////////////////////////

06/19

A考点1导数的运算

［名师点睛］

j-暹乘晟弦鼠至蔽⅛有葵后黯承

导..................................

数al分式形式：观察函数的结构特征，虚化为整式函

的」数或较为简单的分式函数，再求导

Hy—..............................----------------------------

运f：薪菽「京龙薪二奖届菽藕…

算：二二二二二二二二二二二二二二二二二二

七根式形式：先化为分数指数塞的形式，再求导

法;三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形,

I［式再求导

对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似,Z(X)=∏xo)g(x)+∕z(X)(XO为常数)的函数，解决这类问题的关

键是明确/(次)是常数，其导数值为0.因此先求导数/(χ),令X=X0,即可得到/(M)的值，进而得到函数解

析式，求得所求导数值.

［典例］

1.(2022•浙江•高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.

(1)y=esinx;

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-l);

(5)y=cos(2x+().

【解】(1)因为V=**,则＞'=6'叱@11可'=**以《工；

(2)因为y=±±3,则y=(x+3)(x+2)-(g工MX+3)=——L_;

x+2-(x+2)2(x+2)2

(3)因为y=ln(2x+3),贝IJy=TlT(2x+3)'；

乙人IJ4人IJ

(4)因为y=(∕+2)(2x-l),pl∣Jy=(χ2+2)(2X-1)+(X2+2)(2X-1)

=2X(2X-1)+2(X2+2)=6X2-2X+4;

(5)因为y=cos(2x+1),故y，=-(2x+?)sin(2x+()=-2sin(2x+?)

2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)的导数为了'(X),且/(x)=2矿(e)+1nx,则/(e)=(???????)

A.--B.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

,

由/(幻=2矿0+1门得广(%)=2/七)+,，当X=e时，Λe)=2∕(e)+1,解得/⑻=-L所以

Xee

f(ɪ)=+InX,f(e)=—+Ine=-I.

ee

故选：B

［举一反三］

1.(2021•江苏省阜宁中学高三阶段练习)下列求导运算不正确的是(???????)

A.(χ2)-2xB.(SinX)=COSX

C.(3t),=3Λ1Π3D.(e*+ln3)'=e"+g

【答案】D

【解析】

对于A：(√),=2χ.故选项A正确；

对于B：(SinX)'=cosX，故选项B正确；

对于C：(3，)'=3、In3,故选项C正确；

对于D：(e*+ln3)=(e")+(ln3)'=e*+0=e*,故选项D不正确;

所以求导运算不正确的是选项D,

故选：D.

2.(2022•全国•高三专题练习)若函数”x),g(x)满足F(X)+xg(x)=x2-l,且/(1)=1,则/'⑴+g'⑴=

(9999799)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】取x=l,则有"l)+g(l)=0,即g⑴=一/⑴=T,又因为/(x)+xg(x)=χ2τ,所以

/'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,所以r(l)+g(l)+g'⑴=2,所以/'(l)+g'⑴=2—g⑴=2+1=3.

故选：C

3.(2022•全国•河源市河源中学模拟预测)已知实数X满足2/(x)+W'(x)=2xcos2x+2(cosx+sinx)2,x>0,

08/19

f(0=5,那么/(π)的值为(???????)

A.OB.1C.2D.4

【答案】C

【解析】由2/(x)+xff(ɪ)=2xcos2x+2(cosɪ+sinx)2两边同时乘X可得：

2x∕(x)+x2∕r(x)=2X2COS2X+2xsin2x+2X=[x?/⑺],

X(x2sin2x+x2J=2x2cos2x+2xsin2x+2x，

因止匕d/(Jr)=X2sin2x+f+c.

由/倍)=5,BP—×5=-sinπ+-+c,可得C=TC

⑺444

2

，/(x)=Sin2x+∙+l'

2

：•/(π)=si∏2π+-π+1=2.

π

故选：C.

4.(2022•江苏•高三专题练习)下列求导数运算正确的有(？?????？)

A.(sinx/=CosxB.(Ly=-V

XX

f

C.(Iog3x)=—!—D.(Inxy=L

3InXX

【答案】AD

【解析】A：(Sin%)'=cosx,故正确；

B：(-γ=~,故错误;

Xx~

t

C：(Iog3x)=—ɪ-,故错误；

xln3

D：(InXy=L故正确.

X

故选：AD

5.(2022•全国•高三专题练习)求下列函数的导数：

(1)y=x(/+∙!-+[•)；

XX

(2)y=(Vχ+1)(J=-1)；

(3)y=xtaax;

(5)y=3∖nx+cιx(a>0f且存1).

1iI2

【解】解：(1)尸(/+—+与)=∕+ι+-⅛;则函数的导数y=3∕-彳.

XXXX

(2)产(√7+i)(£1)=I-≡y=-⅛-⅛

xsιnx

(3)V=Xtaor=--------

COSX

2

p,ljyJxsinx)'cosxγsinx(cos)χ∙(sinx+xcosx)cosx÷xsinx

COS-Xcos2X

.2♦，.

_sinxcosx+xcos"X+xsιn~x_SI∩XCOSX+Λ:

ʒ-2

COS-XCOSX

ɪXj

(4)y=x-，山二Ce)S二=X——sinx↑

222

贝!!v-1-ɪcosx.

2

3

(5)y'=一+αJdna

•X

›考点2导数的几何意义

［名师点睛］

利用导数求切线方程的一般过程

已知曲线y=Λx)过点P(Λ⅛,M)),求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解:

1.若P(χo,泗)是切点，则曲线的切线方程为y—泗=/(Xo)(X—烦)；

2.若P(xo,X))不是切点，则分以下几个步骤：

(1)设出切点坐标P(Xi,yl).

(2)写出过尸'(xι,yD的切线方程y—yι=/(ɪɪ)-(ɪ-ɪɪ).

(3)将点P(X0,比)的坐标代入切线方程求出x∣.

(4)将©的值代入方程y-y∣=f(x∣)(x—汨)得到所求切线方程.

［提示］“在"和“过''的区别：

(1)“曲线y=∕(x)在点尸(X0,死)处的切线”指点P(X0,州)是切点，切线的斜率Z=/'(必)；

(2)“曲线y=∕(x)过点P(X0,加)的切线”指点P(X0,y0)只是切线上一点，不一定是切点.

［典例］

1.(2022•广东茂名•模拟预测)曲线〃力=Sinr-2CoSX-1在点6,0)处的切线方程为.

【答案】2x-y-π=0

,

【解析】f(ɪ)=cθsX÷2sinx1

则曲线y="x)在仁可处的切线斜率上=COSl+2sin5=2,

，•切线方程为y=2］1-］),即2x-y-τι=o.

故答案为：2x-y-π=0.

10/19

2.(2022•全国•高三专题练习)已知y(x)=χ2,则过点P(—1,0),曲线y=∕(x)的切线方程为

【答案】y=0或4x+y+4=0

【解析】点尸(一1，0)不在凡r)=x2上，设切点坐标为(H),⅞2),由Ar)=/可得/(x)=2x,

二切线的斜率A=/(为)=2%.切线方程为y=2ΛU(x+1).

切线过点P(—1,0),.,.k=------=2xo,解得XO=O或X0=-2,

⅞+l

.∙∕=0或一4,故所求切线方程为＞—0或4x+y+4=0.

故答案沏尸0或4x+y+4=0

3.(2022・河南三模)曲线尸丁+〃也＜0)在点4处的切线方程为丫=3了+2.-2,则切点4的坐标为

【答案】(-L3)

【解析】由V=3χ2=3,得x=±l,因为x＜0,所以X=-1,

则切点A的横坐标为一I，所以(-iy+m=-3+2m-2,

解得Z„=4,所以A的坐标为(-1,3).

故答案为：(-1,3).

4.(2022•湖南湘潭•三模)己知直线/是曲线y=e*-1与y=lnx+l的公共切线，则/的方程为.

【答案】y=eχ-∖^,y=χ

【解析】设/与曲线y=e*-1相切于点P(a,ea-1),与曲线J=hu+l相切于点Q(b,∖nb+1),

则e"J=In.;+2,整理得(α一0(e"-l)=0,解得α=l或α=0,

当α=l时，/的方程为y=ex-l;当α=0时，/的方程为丫=%.

故答案为：y=er-ι或y=χ.

［举一反三］

1.(2022•山东枣庄•三模)曲线y=V+6/+C在点M(1,0)处的切线与直线X-y-2=0垂直，则C的值为

(999997?)

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

设/(x)=x3+feχ2+c∙,则r(x)=3f+而，直线x-y-2=0的斜率为1,

∖f,(∖∖=3+2b=-∖f⅛=-2

由题意可得C,I八，解得<,.

/(l)=⅛+c+l=0[c=l

故选：C.

2.(2022•重庆一中高三阶段练习)已知偶函数/(x),当x>0时，/(X)=X2-Γ(1)X+2,则”X)的图象

在点(-2,/(-2))处的切线的斜率为(???????)

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】A

【解析】当x>0时,∕,(x)=2x-∕,(l),Λ∕,(1)=2-∕,(l),解得:∕,(1)=1,

，当x>0时，/(x)=x2-x+2；

当XCO时，—x>0,.,./(-x)=x2+x+2,

又F(X)为偶函数，∙∙"(x)=∕(r)=χ2+x+2,即x<0时，/(X)=X2+X+2,

贝IJr(X)=2x+l,.∙.∕,(-2)=-4+l=-3.

故选：A.

3.(2022•湖北•宜城市第一中学高三阶段练习)若过点(a,b)可以作曲线y=x-J(x>0)的两条切线，则

(9999999)

A.b>a>OB.a——<b<O<a

a

C.O<a--<b<aD.a>b>a--^a>0

aa

【答案】D

【解析】作出y=χ-g(χ>o)的图象，由图可知，

若过点(“㈤可以作曲线y=X-：(χ>0)的两条切线，点(。㈤应在曲线外，

设切点为(%,%)(%>0)，所以%=%-^'，y'=l+χ~2,

Xo

Xttb

所以切线斜率为G―工1_y0-b_~^~,

K—1H7——

x0x0-aΛ⅛-a

整理得(。-3片-2%+α=0,即方程在％>0上有两个不同的解，

12/19

4-4α(α-b)>0a——<h

a

-

-7Ξ^-Γ>θ<a-b>O,

2(a-b)

a>O

a>0

所以〃>/?>〃-■!■且α>0.

4.(2022•山东潍坊•二模)已知函数"x)=lnx-x+r,直线/:y=-gx+ln2+2,点P(XOj(XO))在函数

y=/(X)图像上，则以下说法正确的是(???????)

A.若直线/是曲线y=∕(x)的切线，贝卜=-3

B.若直线/与曲线y="χ)无公共点，则>-3

C.若f=-2,则点尸到直线/的最短距离为√?

D.若r=-2,当点P到直线/的距离最短时，x0=2

【答案】D

【解析】/U)定义域为(0,+?).f'(x)=--l,

若直线/是曲线y=∕(χ)的切线，

则/"(χ)=-；n'_I=_g=X=2,代入y=-Jx+ln2+2得y=l+ln2,

.∙.∕(2)=l+ln2nln2-2+f=l+ln2=>f=3,故A错误；

当/=—2时，当在点P处的切线平行于直线/时，P到切线直线/的最短距离,

11

n

-一

则:国2⅞-1=^^2=2,故D正确;

此时"2)=In2-4,故尸为(2,ln2-4),尸到/：工+2丁-2卜2-4=0的距离为|2+2。112-2二21112刁二26,

故C错误;

Ix

tδlnx-x÷Z=--x+ln2+2=>Γ=--lnx÷ln2+2,

☆g(x)=gjnx+ln2+2,则g，(力==土工，

22x2x

当x∈(0,2)时,√(x)<O,g(x)单调递减,当xe(2,4∞),g'(x)>O,g(x)单调递增,

'•g(x)min=gQ)=3,又X→O时，g(x)→+8;Xf+8时,g(χ)→+∞,

...若直线/与曲线y=f(x)无公共点，则f<3,故B错误.

故选:D.

5.(2022•全国•高三专题练习)已知直线/：x-少-2=0(/工0)与函数/(χ)=∙≤(χ>0)的图象相切，则切点的

X

横坐标为

A.2+√2B.2+2√2C.2D.l+√2

【答案】A

【解析】由(x)=£(x>0)可得X)=-(：；1),

设切点坐标为(〃?,")(/">0),

in-tn-2=0

m

则｛一e=«,解得"z=2±T∑,故选A.

in

em(///-I)1

、ιn2t

6.(2022•福建泉州•模拟预测)若直线∕=4(x+l)7与曲线y=e'相切，直线y=&(x+l)-1与曲线y=Inx

相切,则攵见的值为(???????)

A.—B.1C.eD.e2

【答案】B

【解析】设直线/=勺(x+1)-1与曲线y=e，相切于点(芭,e`),

直线y=A2(χ+l)T与曲线y=lnx相切于点(W,1吨)，

ɛʃɪ+1

则匕=炉，且匕=-所以王d=1,

xλ÷1

f1fInɪɔ+1

与=—,且K=—所以A2Inx,=1,

x2x2+1

14/19

令/(x)=xlnx,∕,(x)=l+lnx,

当x∈(θ,j时，Γ(x)<O,/(x)单调递减，

当xeg,+8)时，∕,(x)>O,/(x)单调递增，

且“1)=0,理/(x)=O,所以当Xe(0,1)时,/(x)<0,

X|A|

因为f(w)=WlnX2τ,/(e)=x,e=1,即/(x2)=∕(e"i)=l>0,

xi

所以x2∈(l,+8),e∈(l,+∞),

所以々=e*,故%#2=e*—一=1

”2

故选：B

7.(2022•全国•高三专题练习)若两曲线y=lnx-l与y=or2存在公切线，则正实数。的取值范围是(???????)

A.(0,2e]B.Je-,+00)C.^θ,ɪe'D.[2e,+∞)

【答案】B

【解析】设公切线与曲线N=Inx-I和广加的交点分别为a,|呻-1),(x2,axl)l其中占>0,

1ɪɪ

对于y=lnx-l有了=—,则V=Inx-I上的切线方程为y-(lnx-l)=—(X-M),即y=—+(lnχ-2),

Xɪixl

对于y=0χ2有y=2or,则y=o?上的切线方程为y一竭=2c%(χ一X2),即y=2%x-滤，

1C

—=2ax、ɪ1

所以，不^,有一兀∕=∣nX-2,即1lnX[(X]>0),

InX1-2=-ax1

,

令g(x)=2χ2一χ2]riχ,g(χ)=3x-2xlnx=x(3-21nx),

令gq%)=O,得x=£，

(3λ

当x∈0,一时，^x)>0,g(x)单调递增，

\7

/3λ

当Xee2,+∞H寸，g<χ)vθ,g(x)单调递减，

\/

所以g(x)mtt=g6=#,故0**3,即α≥*3.

故选：B.

8.(多选)(2022•河北保定•二模)若直线y=3x+机是曲线y=d(χ>0)与曲线y=-χ2+nr-6(x>0)的公

切线，则(???????)

A.m=­2B.∕n=-lC.〃=6D.n-1

【答案】AD

【解析】解：设直线y=3x+，*与曲线y=x3(x>0)相切于点(4,Y),

与曲线y=-X+nr-6(x>0)相切于点(b,3b+〃?)，

时于函数y=d(x>0),y=3∕,则3∕=3(a>0),

解得”=1，

所以P=3+%,即∕n=-2.

对于函数y=-χ2+HX-6(x>0),y'=-2x+n,

则-2b+n=3(b>0),

又一b?+nb-6=3b-2,

所以一廿+w3+2/?)—6=3/7—2,

又“0,

所以6=2,M=7.

故选：AD

9.(2022•重庆•三模)曲线y=-+ln(2x+2)+5在点’;,3)处的切线方程为.

【答案】y=-2χ+2

4

［解析］由y=1+∣n(2x+2)+5,y'=~+-^-,则切线的斜率为W*=」=-+2=-2.

XJrX+12

所以曲线y=J+In(2x+2)+5在点(-g,3)处的切线方程为：

y-3=-2卜+g),即y=-2x+2.

因此所求切线的方程为y=-2χ+2.

故答案为：y=-2χ+2.

10.(2022•浙江•高三专题练习)已如函数/(x)=e',g(X)=Inx.若曲线y=/(x)在点(x,,f(xl))处的切线与

曲线y=∕(x)在点(天遥(七))处的切线平行，则^+g(z)=；若心)=2x-g(x)—当4+1,

则〃(x)的最大值为.

16/19

【答案】？??？0????2-2e+ln2

11

【解析】由己知/'(x)=e*,g'(x)=~,所以3x=一,即电=ef,

XX?

所以玉+g(w)=X+Inef=%一百=0.

2x

h(x)=2x-∖nx——+1,定义域为(。,+8),

X

∖C1e2t(2jv-l)2x2-x-e2x(2x-l)(2x-l)(x-e2")

n(x)