陕西省榆林市榆阳区榆林华栋中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

陕西省榆林市榆阳区榆林华栋中学2023-2024学年九年级上

学期月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列投影中，是平行投影的是（）

A.路灯下行人的影子B.太阳光下楼房的影子

C.台灯下书本的影子D.在手电筒照射下纸片的影子

2.画如图所示物体的俯视图，正确的是（）

3.如图，以点。为位似中心，把看C放大为原图形的2倍得到刀砂，以下说法中

母试的是（）

4.设“，6是方程/+%-2023=0的两个实数根，则”2+2a+Z?的值为（）

A.2024B.2021C.2023D.2022

5.如图，有一锐角为30。的直角三角尺（NC=NF=9（RNB=NE=30。），它的内外两

个三角形分别是三角尺的斜边长相=12cm,其内部三角形的最短边

OF=3cm,则J）EF与-ABC的面积比为（）

A.1:73B.1:2C.1:3D.1:4

6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

7.如图是圆桌正上方的灯泡。发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的

示意图.已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡。距离地面3m（桌面的

厚度忽略不计），则地面上阴影部分的面积为（）

O

A.24^-m2B.2^m2C.0.81^m2D.0.36乃0）2

8.如图，四边形ABCDCEFG都是正方形,点G在线段8上，B,C,E三点共线,

连接BG,DE,DE交FG于点。，设=CG=0（a>b）,则下列说法错误的是（）

CE

A.公BCG学人DCEB.BGVDE

厂DGGO>

C.-----=-----D.（a-b）・SAEFo=bB5

GCCEADCO

二、填空题

9.身高相同的小明和小华站在灯光下的不同位置,如果小明离灯较远，那么小明的投

影比小华的投影_______.（填长或短）

试卷第2页，共8页

10.把一个多边形的面积扩大为原来的3倍，且与原来的多边形相似，则其周长扩大为

原来的倍.

11.如图，ABC与砂位似，点。是它们的位似中心，且与，QE尸的相似比

为1:2,若的面积为8,则ABC的面积为.

12.某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进

行两次降价，若每次降价的百分率都为x,降价后的出厂价为144元、依题意可列方程

为：•

13.如图，等边被一平行于BC的矩形所截，A8被截成三等份，若—ABC的面积

为12cm2,图中阴影部分的面积为cm2.

三、问答题

14.解方程(2x-l『=(l-x『

四、作图题

15.运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图.

五、计算题

16.如图，ABCS、ABC，AD,AR分别是NBAC和的角平分线，AC=9,

AC=12,AR=11,求AO的长.

4

六、作图题

17.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱(即A3,均与地面垂直)，己知

45=4m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=2m.

(1)在图中画出此时。E在太阳光下的影子EF；

(2)在测量A8的影子长时，同时测量出OE的影长所=3m,计算OE的长.

七、问答题

18.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△CEF的顶点都在方格纸

的格点上，判断aABC和△CEF是否相似，并说明理由.

19.一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注

的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

(1)从袋中随机摸出一个小球，球上的汉字刚好是“亚''的概率是」

(2)从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中随机摸出一个小球，请用画树状图或列

表法表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概

率.(汉字不分先后顺序)

八、证明题

试卷第4页，共8页

20.如图，在：ABC和_DEC中，—=一，NBCE=ZACD.

CACB

(1)求证：AABCsADEC;

⑵若Lsc'DEC=9」6,8C=6,求EC的长.

九、作图题

21.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3,1),点8的坐标为(-1/)，点C的

坐标为

⑵请以原点。为位似中心，作一个与.ABC位似的ABC，使得A4G与MC的相

似比为3:1.且点A的对应点A位于第二象限，并写出点C的对应点G的坐标.

十、问答题

22.如图是一个几何体的三视图(单位：cm).

43

主视图左视图

俯视图

(1)这个几何体的名称是」

(2)求这个几何体的所有侧面的面积之和.

H^一、作图题

23.如图所示，矩形A'8'C'。和矩形ABC。位似，已知矩形A8C。周长为12,AD=2,

A'。'=4-

D'C'

A'B'

BA

CD

(1)画出两个矩形的位似中心P点；

(2)求矩形A'BT'D的面积.

十二、证明题

24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,8。相交于点QBE垂足为B,交AC于

点E-

⑴求证：OEAB=BE130-

△AB酬周长

⑵若A£=13,AB=12,求

△BOE的周长•

试卷第6页，共8页

十三、应用题

25.我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义.如图，

身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱A”下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯

泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部A沿力〃方向走20步到M处，发现自己的影

子端点落在点尸处，作好记号后，从点“沿A"方向走4步恰好到达点P处，此时他

影子的端点在点Q处，已知A",在同一水平线上，路灯的灯泡。在A”上，

OA1AQ,MN1AQ,BPrAQ，小王的步间距保持一致.

H

NB

AMP

(1)请在图中画出灯泡0和影子端点Q的位置；

(2)估计灯泡的高A。，并求出影长尸。的步数.

十四、证明题

26.【问题背景】

如图，A8C是边长为6的等边三角形，点。为8c上一动点，连接49,AZ)的垂直平

分线分别交A8/C于连接。

【尝试证明】

(1)如图1,若点D是线段BC上的动点.

求证：①)“MAN”MDN；

小BDCN

②——=——.

BMCD

【拓展升华】

(2)如图2,若点O是线段C8延长线上的点，当用＞=2时，求与二。CN的面

积之比.

A

A

试卷第8页，共8页

参考答案:

I.B

【分析】根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可.

【详解】解：A、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；

8、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意；

C、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；

。、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形

成光源为太阳光.

2.B

【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案.

【详解】解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故8正确.

故选:B.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实

线画.

3.D

【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可.

【详解】解：「位似属于相似，

AABCSADEF

A对

由位似可知：OAB^ODE

•1■AB//DE

B对

OAAB\

OD~1)E~2

C对

△ABCSADEF的相似比为1:2

EF=2BC

D错

故选D

答案第1页，共15页

【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键.

4.D

【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，先根据一元二次方程的解的定

义得至"a?=-a+2023,代入/+2〃+b得至U2023+a+b,再根据根与系数的关系得到

a+b=-\,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：是方程V+x-2023=0的实数根，

，Y+4-2023=0，

••ci~=—ci+2023,

Aa2+2a+h=-a+2023+2a+b=2023+a+h,

,：a,b是方程f+》-2023=0的两个实数根，

/.a+b=-\,

Aa2+2a+b=2023+(-l)=2022,

故选：D.

5.D

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，根据含30

度角的直角三角形的性质，得到叱=2£>尸=6cm,证明，ACBsDFE,利用相似三角形的

面积比等于相似比的平方，即可得出结果.掌握相关判定和性质，是解题的关键.

【详解】解：•.•"=々=90。,48="=30。，

二DE=2DF=6cm,ACB^DFE,

:.J>EF与A5C的相似比为OE:48=6:12=1:2,

：•、DEF与ABC的面积比为：1:4；

故选D.

6.A

【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见儿何体的三视图是解题的关键.

【详解】根据三视图得该几何体是长方体，

故选A.

7.C

【分析】本题考查的是相似三角形的应用.证明-OBQS-OAP,根据相似三角形的性质求

出”，根据圆的面积公式计算，得到答案.

答案第2页，共15页

【详解】解：如图,

由题意得，QB=gxl.2=0.6(m),OQ=OP-PQ=3-l=2(m),BQ//AP,

，,OBQ^.OAP,

.BQ_OQ即"_2

APOPAP3

解得，AP=0.9(m),

则地面上阴影部分的面积=%x0.92=0.81Hm2),

故选：C.

8.C

【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质.由

四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得

BC=DC,CG=CE,NBCD=NECG=90°,则可根据SAS证得A选项的ABCG名公DCE；

然后延长8G交OE于点H,根据全等三角形的对应角相等，求得NCDE+NC»G"=90。，则

可得B选项的不能证明工GCES../)GO,因此不能够证明C选项，由-GOD与

VFOE相似即可求得D选项.

【详解】解：•••四边形A8C。和四边形CEFG是正方形，

BC=DC,CG=CE,NBCD=4ECG=90°,

：.NBCG=NDCE,

在;8CG和△OCE中，

BD=CD

■ZBCG=NDCE,

CG=CE

：.BCG^..DCE(SAS),

故A选项正确；

②延长BG交OE于点H,

答案第3页，共15页

♦：ZXBCG丝ADCE,

：./CBG=/CDE,

又,:NCBG+ZBGC=90°,

:.ZCDE+ZDGH=90°,

・・・ZDHG=90°,

:.BH±DE；

：.BGLDE.

故B选项正确；

•/DCHEF,

：.ZGDO=ZOEF9

■:ZGOD=ZFOE9

：・_OGDSOFE,

但无条件证明一GCES」DGO

则二二二^g不一定正确，即C选项不一定正确；

GCCE

•：_OGDS_OFE

.DGGO

^~GC~~CE

2

.=fDG^=fa-b^=(a-b)

,•S”[EF)Ih)h2

・・(a-b),SmF。=b-5ADC(9

故D选项是正确；

故选：C.

9.长

【详解】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它

的影子短，离点光源远的物体它的影子长.据此判断即可.

答案第4页，共15页

解：中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影

子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的投影比小华的投影长.

综合考查了中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在

灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.②等长的物体平行

于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比

物体本身的长度还短

10.73

【分析】本题主要考查相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，需要

熟练掌握并灵活运用.根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似

多边形周长的比等于相似比解答.

【详解】解：根据题意，把一个多边形的面积扩大为原来的3倍，且与原来的多边形相似

•••扩大后的多边形与原来的多边形的相似比为6：1

它们的周长的比为g：l

周长扩大为原来的6倍.

故答案为：73

11.2

【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，相似三角形的面

积比等于相似比的平方，进行求解即可.

【详解】解：：ABC与DEF位似,

：.AABCSADEF,

<•,ABC与」)瓦'的相似比为1:2,

与一。砂的面积比为1:4,

:的面积为8,

•••ABC的面积为2；

故答案为：2.

12.400(1-%)2=144

【分析】平均每次降价的百分率为X,则第一次降价后的价格400(1-x)元，第二次降价后的

价格为400(1元.根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可.

【详解】解：根据题意，列方程为400(1-4=144.

答案第5页，共15页

故答案为：400(1-x)2=144.

【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降

价后价格是解决本题的关键.

13.4

【分析】由E//〃3c证明AAE"SAABC,由FG//3C证明AAFGSAABC,而AE=EF=FB,

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得耳1Mqem2,5凶房若cn?,即可求出阴

影部分图形的面积.

【详解】解：.EHUBC,

AE=EF=FBt5.眩=12cm2,

­^«L=(—)2=(1)2=1

"SMBCAB39'

：•SMEH=-^MBC=^X12=—cm2,

FG//BC,

:.^AFG^^ABC,

■逼”=(吗2=(2>=3

5MSCAB39'

,4416,

c=§也改=5*12=丁011-,

2

；.S阴影=SMFC-SMEH=y--=4cm,

•••图中阴影部分的面积为4cm2,

故答案为：4.

【点睛】此题重点考查相似三角形的判定定理与性质定理的应用，解题的关键是根据平行于

三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所得的三角形与原三角形形相似证明三

角形相似.

2

14.X|=~>x?—0

【分析】运用直接开方法进行求解即可.

【详解】解：2%一1=1一x或2工一1=工一1

2

解得：x=-或x=0

答案第6页，共15页

2

，原方程的根是玉=耳，x2=0.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键.

15.详见解析

【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形

是俯视图，据此作答.

【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向，属于基础题.

33

16.——

4

【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对角线之比等于相似比，列式计

算即可.

【详解】•••ABCSAAAG，

.ACAD

，而=丽’

VAC=9,AG=12，A2=11,

.9AD

••--=---«

1211

33

解得AO=

4

17.(1)图见解析

(2)6m

【分析】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物高与影长的比值相等列出比例式求解是

解题关键.

(1)利用平行投影的性质得出EF即可；

(2)利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案.

答案第7页，共15页

【详解】（1）如图所示：E尸即为所求;

D\

AADF

⑵由题意可得：-=-

.4DE

，a2~~

解得：DE=6m,

答:DE的长为6m.

18.AABC和AOE尸相似，理由详见解析

【分析】首先根据小正方形的边长，求出△ABC和ADEF的三边长，然后判断它们是否对

应成比例即可.

【详解】△ABC和△DEF相似，理由如下：

由勾股定理，得：AC=#）,AB=2逐，BC=5,

DF=20,DE=4及，EF=2V10,

ACABBCy/\0

~DF~~DE~~EF~~'

所以，△ABC^ADEF.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，找准对应边成比例即可.

19.（Dy

4

【分析】本题主要考查了概率的定义，公式，以及列表法的表示方法.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果

数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，

答案第8页，共15页

球上的汉字刚好是“杭'’的概率就是a.

故答案为：--

（2）列表如下:

杭州亚运

杭（杭，州）（杭，亚）（杭，运）

州（州，杭）（州，亚）（州，运）

亚（亚，杭）（亚,州）（亚，运）

运（运，杭）（运，州）（运，亚）

由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”

的结果有2种，

1

2

二摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为=近6-

20.（1）见解析

（2）CE=8

【分析】（1）由NBCE=NACD,可得出NQCE=NAC8,结合44=",可证出

△ABCsADEC；

S^DEC

（2）由△ABCS/YOEC,利用相似三角形的性质可得出,结合

,△ABC

S"C：S°£C=4:9,可求出EC的长.

【详解】(1)证明：/BCE=ZACD,

NBCE+ZACE=ZACD^-ZACE,

:"DCE=ZACB,

°CDCE

又zr有，

:心ABCs匕DEC；

(2)解：ABCsDEC,

答案第9页，共15页

.s*(c町=9

S&DEC〔CE)16

BC=6,

:.CE=8.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)牢记“两角对应相等的

两个三角形相似“；(2)牢记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”.

21.(1)2.

(2)图见解析，C,(O,-3).

【分析】本题考查的知识点是利用网格求三角形面积、求位似图形的对应坐标、在坐标系中

画位似图形，解题关键是熟练掌握位似图形的性质.

(1)观察图像可得以A8为底的ABC的高为2,AB=2,则ABC可由三角形面积计算公式

即可求解；

(2)根据题目要求，利用位似图形的性质即可找到对应的A、用、G位置，在图中标出并连

接AB、BC、AC,即可得到A4G.

【详解】(1)解：依图得：以A8为底的ABC的高〃为1—(-1)=2,

AB=(T)-(_3)=2,

：.StABC=^AB-h=-2!S.

故答案为：2.

(2)解：根据题意可作下图：

答案第10页，共15页

此时点C的对应点c,坐标为(0,-3).

22.(1)三棱柱

(2)这个几何体的所有侧面的面积之和为84cm2

【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及其计算是解题

的关键.

(1)根据三棱柱的三视图即可得出答案；

(2)根据侧面积公式进行解答即可.

【详解】(1)解：由三视图知该几何体为三棱柱；

故答案为：三棱柱.

(2)解：该圆柱体的表面积为：(4+3+5)x7=84(cm2).

答：这个几何体的所有侧面的面积之和为84c/.

23.(1)见解析

(2)32

【分析】(1)根据位似图形的定义，找到对应点，确定位似中心；

(2)根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方求解.

【详解】(1)解：如图所示，点尸即为所求做.

答案第II页，共15页

D'C

B'

/

/

CD

(2)•・•矩形A5CQ周长为12,且4£>=2,

・"8=4,

又・・・矩形ABCD与矩形AB,CD,位似，

AD1

•・•一-,

A!D'2

•*,S矩形ABC。：S矩形AFUZ)，=1:4.

丁S矩形.a)=2x4=8

•§矩形人，*c7）'=32

【点睛】本题考查位似图形的定义和性质，理解位似图形也是相似图形是解题的关键.

24.（1）见解析

【分析】（1）由菱形的性质证得N8OE=Z4O8=90。，再由同角的余角相等证得

ZBAO=/EBO,利用有两个角分别相等的三角形相似判定的30,由相似三角形

的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；

（2）利用勾股定理求得£»的长，然后利用有两个角分别相等的三角形相似判定

ABEsBOE,根据相似三角形的性质周长比等于相似比即可得解.

【详解】（1）解：证明：四边形ABCO是菱形，

/.AC±BDf

.•.NBOE=NAOB=9（）。,

\?BAO?ABO90?,

EB上AB,

:.ZABE=90°9

:.ZEBO+ZABO=90°f

答案第12页，共15页

:.NBAO=NEBO,

又ZBOE=ZAOB,

.•.△SE8AAB。，

一BE=一OE,

ABOB

:.OEAB=BEBO；

(2))已知AE=13,AB=12,

由勾股定理得：EB=>JAE2-AB2=>/132-122=5>

ZABE=ZBOE=90°,ZAEB=NBEO,

AABEs△BQE,

./XAB踊］周长_E4_13

一△BOE的周长_诟_《,

【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理

等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

25.(1)答案见详解；

24

(2)路灯A。的高为9米，影长尸。为彳步.

【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，

(1)如图所示，延长PN交路灯灯柱AH于点O,再连接OB并延长交AM延长线于点。即

可；

(2)先证明△PMNs△上40,利用相似三角形对应边成比例可求出A。，同理证QPBQAO,

利用相似三角形对应边成比例求出PQ.

熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键.

【详解】(1)解：如图所示，路灯。和影子端点。为所求；

H

答案第13页，共15页

(2)解：根据题意知：AOLAM,40