历年高考数学（理）知识清单-专题25 数学思想方法及其应用（原卷+解析版）

专练1.已知函数f(x)＝3x3＋23x2＋33x(0<a<1，x∈R)有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围.2.是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由. 3．已知a∈R，函数f(x)＝xh(x)解关于x的方程log4x－1log2h(a－x)－log2h(4-x).4．在正项数列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明；(2)求证：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；(3)求证：|a1－2|＋|a2－2|+ⅆ+|an－2|<.5．已知椭圆Gy2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.6、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围.7、设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.8、已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a55.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.9、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.(2)求四边形AEBF面积的最大值.210．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C=.(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3+ⅆ+a10＝144.(1)求数列{an}的通项an；(2)设数列{bn}的通项bn记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值.13．设关于θ的方程cosθ+sinθ+a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α+β的值.14．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围.15.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.x＋2y－5≤0，16.已知实数x，y满足x≥1，则的最大值为x＋2y－5≤0，x＋2y－x＋2y－3≥0，17.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.19．设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并求此时函数的最大值.20．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤-2.21.设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，求的值.22.已知函数f(x)x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.24．f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：f|(x1)－f(x2)|≤.25．已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1＋＋+ⅆ+>ln(n＋1)(n∈N*).26.已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.27．已知数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.(1)求证：数列{an}为等比数列；(2)设函数f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)+ⅆ+f(an)，求Tn＝＋＋+ⅆ+.28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E为D1C1的中点，如图所示.4(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1∥平面B1EC；(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值.29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a4cosC，b＝1.(2)若△ABC的面积为，求a，C.30．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及数学期望E(η).31．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn求数列{bn}的前n项和Tn.32．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°,AC与BD相交于点E，(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角A-PC-D的余弦值.高考押题专练1.已知函数f(x)＝3x3＋23x2＋33x(0<a<1，x∈R)有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围.-84－2－2【解析】因为f′(x)＝x2＋a3x＋33a＝x3(x-84－2－2解得x1x2＝2－a.由0<a<1，知1<2－a<2.所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；令f′(x)<0，得<x<2－a，所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max－，a.因为当0<a≤时≥a；当<a<1时，a>－，由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2]).所以当0<a≤时，必有2×(2－a)2>－，结合0<a≤可解得1－<a≤；当<a<1时，必有2×(2－a)2>a，结合<a<1可解得<a<2－.综上，知所求实数a的取值范围是1－<a<2－.2.是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由.【解析】y＝sin2x＋acosx＋a－=1－cos2x＋acosx＋a－6=-(cosx－)2＋＋a－.则y(t－)2a0≤t≤1.当>1，即a>2时，函数y(t－)2a－在t∈[0,1]上单调递增，∴t＝1时，函数有最大值ymax＝a＋a1，解得a＝<2(舍去)；当0≤≤1，即0≤a≤2时，t＝函数有最大值，ymaxa1，解得a＝或a4(舍去)；函数y(t－)2a－在t∈[0,1]上单调递减，∴t＝0时，函数有最大值ymax＝a1，解得a＝>0(舍去)，综上所述，存在实数a＝使得函数有最大值. 3．已知a∈R，函数f(x)＝xh(x)解关于x的方程log4x－1log2h(a－x)－log2h(4-x). 36－3【解析】原方程可化为log424 36－3【解析】原方程可化为log424=log2－log2，即log4(x－1)＝log2－log2＝log2，①当1<a≤4时，1<x<a，则x－1即x2－6x＋a＋4＝0，Δ=36－4(a＋4)＝20－4a>0，此时x3±，∵1<x<a，此时方程仅有一解x＝3－.②当a>4时，1<x<4，由x－1得x2－6x＋a＋4＝0，Δ=36－4(a＋4)＝20－4a，若4<a<5，则Δ>0，方程有两解x＝3±；若a＝5时，则Δ=0，方程有一解x＝3；③由函数有意义及②知，若a≤1或a>5，原方程无解.综合以上讨论，当1<a≤4时，方程仅有一解x＝3当4<a<5，方程有两解x＝3±；当a＝5时，方程有一解x＝3；当a≤1或a>5时，原方程无解.4．在正项数列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明；(2)求证：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；(3)求证：|a1－2|＋|a2－2|+ⅆ+|an－2|<.【解析】(1)a2a3.由题设，a－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2.因为an＋2>0，所以an－2与an－1－2同号.又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2.(2)证明：由题设由(1)知，an>2，所以<，因此<，即|an－2|<|an－1－2|(n≥2).(3)证明：由(2)知，|an－2|<|an－1－2|，8因此|an－2|<|a1－2|＝(n≥2).因此|a1－2|＋|a2－2|+ⅆ+|an－2|<1＋4＋42+ⅆ+4n－15．已知椭圆Gy2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.3x＋y=λ,3x2＋y2=λ,【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得3(x1－x2)(x1＋3x＋y=λ,3x2＋y2=λ,=0.由题意，知x1≠x2，所以kAB32).因为N(1,3)是弦AB的中点，所以kAB1.所以弦AB所在直线的方程为y－3(x－1)，即x＋y－4＝0.又N(1,3)在椭圆内，所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值范围是(12，+∞).(2)因为弦CD垂直平分弦AB，所以弦CD所在直线的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，将其代入椭圆的方程，整理得4x2＋4x＋4-λ=0.①设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)，则x3，x4是方程①的两个根.所以x3＋x41，x0＝(x3＋x4)y0＝x0＋2即M.所以点M到直线AB的距离d.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆 x＋1y－39 x＋1y－396、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围.【解析】方法一设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，]).显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解.因为f(x)(1－sin2x)＋sinx=(sinx＋)2易求得f(x)的值域为(－1,1].故a的取值范围是(－1,1].将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解.设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示.f(0)<0，因此f(t)＝0f(0)<0，-1－a<0，即-1－a<0，1－a≥0，故a的取值范围是(－1,1].7、设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1=1－sin2x＋sinx＋a－1=-(sinx－)2＋a＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，函数有最大值f(x)max＝a当sinx1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.因为1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤且f(x)min≥1，a－2≥1，即44解得3≤aa－2≥1，所以a的取值范围是[3,4].8、已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a55.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.【解析】(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，解出a1＝3，d2.a1＋4d5，所以an＝a1＋(n－1)d2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.9、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.(2)求四边形AEBF面积的最大值.【解析】(1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2x1＝.①由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝2.1＋2k1＋2k71＋4k2化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为，又|AB|所以四边形AEBF的面积为S＝|AB|(h1＋h2)25(1＋4k2)=2(1＋2k)1＋4k2=214k≤2，当4k2＝1(k>0)，即当k＝时，上式取等号.所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.10．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C=.(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.【解析】(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC得ab＝4.ab＝4，ab＝4，(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A=，B=，ab当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，联立方程组 b＝2a，所以△ABC的面积S＝absinC＝.11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3+ⅆ+a10＝144.(1)求数列{an}的通项an；(2)设数列{bn}的通项bn记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值.【解析】(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3+ⅆ+a10＝144，(2)由(1)知bn1-=1-=3n－23n＋1，33＋b2+ⅆ+bn＝13n3∵Sn＋1－Sn>0，∴数列{Sn}是递增数列.当n≥3时，(Sn)min＝S3依题意，得m≤，∴m的最大值为. 12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b【解析】(1)由题意得解得b＝.所以椭圆C的方程为1.y＝k(x－1)，(2)由1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x22k2－41＋2k2x1x21＋2k2所以MN＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2=(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]=2(1＋k2.)(4＋6k2).1＋2k2又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离1＋k21＋k2所以△AMN的面积为S＝MN·d＝.由解得k=±1.所以，k的值为1或－1.13．设关于θ的方程cosθ+sinθ+a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α+β的值.【解析】(1)原方程可化为sin(θ+)作出函数y＝sin(x+)(x∈(0,2π))的图象.由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件-1＜－＜1， -≠ -≠2，即－2＜a或a＜2.-1，(2)由图知：当a＜2，即－∈2时，直线y与三角函数y＝sin(x+)的图象交于C、-1，D两点，它们中点的横坐标为，所以=，所以α+β=.当－2＜a即－∈，1时，直线y与三角函数y＝sin(x+)的图象有两交点A、B，由对称性知，=，所以α+β=，综上所述，α+β=或.14．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围.f(x)≤g(x)，变形得≤x＋1－a，令y1x2－4x，①y2＝x＋1－a.②①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系.设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为y＝x＋b(b＞0)，则圆心(－2,0)到AT的距离为d由图可知，当1－a≥6即a≤-5时，f(x)≤g(x).15.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>，由f′(x)<0，解得－<x<，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(-∞,-)，(，+∞)；单调减区间为(－，).(2)∵f(x)在x1处取得极值，∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x11，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(－3,1).x＋2y－5≤0，16.已知实数x，x＋2y－5≤0，x＋2y－x＋2y－3≥0，【答案】2【解析】画出不等式组则y的最大值为.________xx＋2y－5≤0x＋2y－x＋2y－3≥0，对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD表示的平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率，显然OA的斜率最大.17.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.【解析】从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝PA·AC＝PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，32＋42从而PA2.所以(S四边形PACB)min＝2××PA×AC＝2.18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.【解析】(1)抛物线y2＝2px的准线为x由题意得45，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，由(1)知A(4,4)，则直线AK的方程为y＝(x－m)，即4x－(4－m)y－4m＝0，圆心M(0,2)到直线AK的距离16＋（m－4）2d＝16＋（m－4）2令d>2，解得m>1.所以，当m>1时，直线AK与圆M相离；当m＝1时，直线AK与圆M相切；当m<1时，直线AK与圆M相交.19．设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并求此时函数的最大值.【解析】令cosx＝t，t∈[－1,1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)=2(t－)22a－1，关于t的二次函数的对称轴是t当<－1，即a<－2时，函数y在t∈[－1,1]上是单调递增，所以f(a)＝f(－1)＝1≠；函数y在t∈[－1,1]上是单调递减，所以f(a)＝f(1)4a＋1解得a这与a>2矛盾；当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(a)2a－1＋4a＋3＝0，解得a1或a3，因为－2≤a≤2，所以a1.所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以当t＝1时，函数取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.20．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤-2.【解析】(1)函数的定义域为[0，+∞)，f′(x)(x>0).若a≤0，则f′(x)>0，f(x)有单调递增区间[0，+∞).若a>0，令f′(x)＝0，得x当0<x<时，f′(x)<0，当x>时，f′(x)>0.f(x)有单调递减区间[0，]，有单调递增区间(，+∞).(2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上单调递增，所以g(a)＝f(0)＝0.若0<a<6，f(x)在[0，]上单调递减，在(，2]上单调递增，所以g(a)＝f().若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，所以g(a)＝f(2)＝(2－a). 22－a，a≥6.综上所述，g(a)0<22－a，a≥6.②令－6≤g(a)≤-2.若a≤0，无解.若0<a<6，解得3≤a<6.若a≥6，解得6≤a≤2＋3.故a的取值范围为3≤a≤2＋3.21.设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，求的值.【解析】若∠PF2F1＝90°,则PF＝PF2＋F1F2，又∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，解得PF1PF2∴＝.若∠F1PF2＝90°,则F1F2＝PF＋PF2，∴PF＋(6－PF1)2＝20，∴＝2.综上知或2.22.已知函数f(x)x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.【解析】函数f(x)x2＋2ax＋1－a=-(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a1或a＝2.【解析】∵A＝{04}，B=A，于是可分为以下几种情况.(1)当A＝B时，B＝{04}，∴由根与系数的关系，得-2a＋∴由根与系数的关系，得a2－1＝0，(2)当BA时，又可分为两种情况.①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a=±1；当x4时，有a＝7或a＝1.又由Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a1，此时B＝{0}满足条件；②当B=∅时，Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤-1或a＝1.24．f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：f|(x1)－f(x2)|≤.【证明】∵f′(x)＝x2－1，当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0，∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)最小值为f(1)即f(x)在[－1,1]上的值域为[].所以x1，x2∈[－1,1]时，f|(x1)|≤，f|(x2)|≤，即有f|(x1)－f(x2)|≤f|(x1)|＋f|(x2)|≤.即f|(x1)－f(x2)|≤.25．已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1＋＋+ⅆ+>ln(n＋1)(n∈N*).(1)【解析】∵g(x)＝(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，∴g′(x)1(x>0).令g′(x)>0，解得0<x<1；令g′(x)<0，解得x>1.∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴g(x)极大值＝g(1)2.(2)证明由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，∴g(x)≤g(1)2，即lnx－(x＋1)≤-2⇒lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，t>－1，则n>ln n＋1∴1>ln2，>ln，>ln，ⅆ,>lnn， n＋1叠加得1+ⅆ+>ln(2···…·)＝ln(n＋1).即1+ⅆ+>ln(n＋1).26.已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.【解析】设全集U＝{m|Δ=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，即U＝{m|m≤-1或m≥}.若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，x1x2＝2m＋6≥0x1x2＝2m＋6≥0所以，使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|≤-1}.27．已知数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.(1)求证：数列{an}为等比数列；(2)设函数f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)+ⅆ+f(an)，求Tn＝＋＋+ⅆ+.【解析】(1)证明：∵数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得a1＝.n≥2时，an－1＝1－2Sn－1，可得an－an－12an.∴数列{an}是首项和公比均为的等比数列.(2)由(1)可知an＝3n，则f(an)＝logan＝n.n＝1＋2+ⅆ+n＝.1-1-b1b2b3…bn=22＋=2n＋128.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E为D1C1的中点，如图所示.(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1∥平面B1EC；(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)连接BC1交B1C于M，连接ME，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示.(2)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AD＝AB＝2，AA1＝1，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1).所以＝(－22,1)(2,0,1)(01,1)，设平面B1EC的法向量为m＝(x，y，z)，则即y＝z，得到平面B1EC的一个法向量为m＝(－1,2,2)，而·m＝2－4＋2＝0，所以⊥m.又因为BD1⊄平面B1EC，所以∥平面B1EC．所以BD1∥平面B1EC.(3)由(2)知＝(02,0)(－22,1)，设平面ABD1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，-2y1＝0，则即不妨令-2y1＝0，-2x1－2y1＋z1＝0，得到平面ABD1的一个法向量为n＝(1,0,2)，m·n－1＋4m·n－1＋4所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.529．在