【数学】正余弦定理综合应用专题训练-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题训练：正余弦定理综合应用一、考点梳理：二、知识讲解：1.正弦定理：（1）基本公式：（其中为△ABC外接圆的半径）（2）变形；；；；2.余弦定理:（1）边的余弦定理（2）角的余弦定理：,,3.三角形中的三个内角的关系4.面积公式：（1）；（2）（3）（4）（5）三、考点讲解考点一：正余弦定理边角互化与解三角形典例引领：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，且，则（）A. B. C. D.2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，，则（）A. B. C. D.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，求角C.即时训练：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求A.2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，求A.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求B考点二：利用正余弦定理判断三角形解的个数典例引领：1、根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（）①有一个解；②有两个解；③无解；④有一个解.A.①② B.②④ C.①②③ D.①②④2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若满足的△ABC不唯一，则m的取值范围为（）A. B. C. D.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，，若这个三角形有两解，则的取值范围为（）A. B. C. D.即时训练：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，，若，且该三角形有两解，则的值可以为（）A.2 B.4 C.6 D.82、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，则下列条件能确定三角形有两解的是（）A. B. C. D.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，，，若角C有唯一解，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.考点三：余弦定理求值典例引领：1、已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.，则（）A. B. C. D.2、在△ABC中，已知，则（）A.1 B. C. D.33、记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.求A即时训练：1、在△ABC中，，，，则（）A. B. C. D.2、在△ABC中，若，，则（）A. B. C. D.3、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则（）A. B. C. D.考点四：利用正余弦定理判断三角形的形状典例引领：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形2、设△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能3、一个三角形的三条高的长度分别是，则该三角形（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.有可能是锐角三角形也有可能是钝角三角形4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形即时训练：1、若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，且，则△ABC的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰非等边三角形3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，且，则△ABC的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.且满足，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形考点五：三角形面积的应用典例引领：1、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，，.（1）求；（2）若为上一点，且，求的面积.2、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）求；（2）若，求△ABC的面积.3、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为，且，.（1）求△ABC的面积；（2）若，求b.即时训练：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知,.（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积.2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.点D在边AB上，，，.（1）若，求；（2）若，求△ABC的面积.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足.（1）求的值；（2）若，，求△ABC的面积.考点六：外接圆、内切圆半径问题典例引领：1、已知△ABC的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于.2、已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足.（1）若，求△ABC的外接圆半径；（2）若，且，求△ABC的内切圆半径.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，且.（1）求△ABC的外接圆半径R；（2）求△ABC的内切圆半径r的取值范围.即时训练：1、已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.若，则△ABC的外接圆半径为.2、已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，满足，，.（1）求A；（2）求△ABC外接圆的半径.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，且.（1）求△ABC的外接圆半径R；（2）求△ABC的内切圆半径r的取值范围.考点七：双正弦及双余弦模型典例引领：1、在△ABC中，，为中点，.（1）若，求△ABC的面积；（2）若，求的长.2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，，点是边上一点，且.（1）求证：；（2）若，求.即时训练：1、如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知.（1）求∠A；（2）若D为线段BC延长线上一点，且，，求.2、如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，，.（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积.3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足.（1）求B角的大小；（2）若，D为边AC的中点，且，求△ABC的面积.四、好题冲关【基础过关】一、填空题1、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，，则（）A.4 B.6 C. D.3、在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，则（）A. B. C. D.4、我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三积”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A. B. C. D.15、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若且，，则（）A. B. C.8 D.4二、多选题6、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，则的值为（）A. B. C. D.7、在△ABC中，若，则（）A. B. C. D.三、填空题8、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，，则△ABC外接圆的面积为.四、解答题9、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.（1）求的大小；（2）若，，求边上的高.10、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，.（1）求的大小；（2）当，时，求△ABC的面积。【能力提升】一、单选题1、在△ABC中，三边之比，则（）A.-4 B.4 C. D.2、在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，，则的值可为（）A. B. C. D.二、多选题3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.三、填空题4、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积满足，则角的值为.四、解答题5、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）求角；（2）若，且△ABC的面积为，求.6、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.（1）求；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.7、在△ABC中，是上的一点，平分，的面积是面积的3倍.（1）求；（2）若，，求和的长.8、在△ABC中,.（1）若，求；（2）设是边上的一点，若，，求.9、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）求；（2）证明：10、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）若，证明：（2）若，证明【真题感知】1.（2023新课标I卷17）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.，.（1）求sinA;（2）设AB=5，求AB边上的高.2.（2022年新课标I卷18）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）若，求B.（2）求的最小值.3.（2021年新课标I卷19）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，点D在边AC上，.（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.4.（2023年新课标II卷17）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且.（1）若，求；（2）若，求.5.（2021年新课标II卷18）记△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，，.（1）若，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.6.（2023年甲卷理16）在△ABC中，，，，的角平分线交于D，则.7.（2022年乙卷理17）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.（1）证明：；（2）若，，求△ABC的周长.8.（2023年天津16）记△ABC的内角