【数学】三角函数、平面向量及其应用与复数综合练习（一）-2023-2024学年高一下人教A版（2019）必修第二册

三角函数、平面向量及其应用与复数综合练习（一）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若复数是纯虚数，则（）A.B.2 C. D.42.已知向量，满足，，则（

）A.30° B.45° C.60° D.90°3.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（

）A.B.C. D.4.将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.B.C.D.5.已知，在钝角中，，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)在A.(0,3]B.[−1,2)C.[−1,3]D.(−1,3)对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（

）A.B.C.过点的直线交于，若，，则D.与共线8.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点在第二象限D.为纯虚数10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=cosCcosB，b=1，1tanA.ac=1B.B=π3C.△ABC的面积为312 11.如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（

）A.当为线段上的中点时，B.的最大值为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为

．13.已知，满足，，，，则______．14.如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中∠EAB＝x，，记AE，AF的长度之和为．则的最大值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16.（15分）已知函数．(1)解不等式，其中．(2)在锐角中，，求的取值范围．.17.（15分）已知函数的图象如图所示．（1）求，的值；（2）设，求函数的单调递增区间．（3）设，，求函数的值域．18.（17分）已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，若，试求n与m的值.19.（17分）函数同时满足下列两个条件：①图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形;②是的一个对称中心;当x∈[0，2]时，求函数的单调递减区间；(2)令若g（x）在时有零点，求此时的取值范围．参考答案：1.A2.C3.C解析：，，两式联立得，，，所以.故选C．4.A解析：将图象上所有的点都向左平移个单位长度，得到曲线，再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到的图象.5.B解析：因为，所以，所以.又，所以最大，则由余弦定理得，得，则.因为，所以，所以的取值范围是.6.A

解析：由图可得A=2，k=1，34T=11π12−π6，则T=π=2π|ω|.因为ω>0，所以ω=2．

由f(π6)=2sin(2×π6+φ)+1=3，可得π3+φ=π2+2kπ，【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.7.B解析：如图，设AB中点为M，则，，，故A正确；等价于等价于，即，对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误；设的中点为，则，∵E，F，G三点共线，，即，故C正确；，与垂直，又，∴与共线，故D正确.故选B.8.A解析:由，如图设，即是的重心同理可得，所以．故选．9.BCD10.BC

解析：因为2a−c=cosCcosB，b=1，所以2a−cb=cosCcosB．

由正弦定理知2sinA−sinCsinB=cosCcos由1tanA+1tanC=23，可得cosAsinC+sinAcosCsinAsinC=23，

所以sin(A+C)sinAsinC=11.ABC解析：以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，则，设，则，因为，所以，所以，即，对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.故选ABC.12.−11

13.解析：因为，则，因为，则，所以，，则故答案为14.解析：AE＝，AF＝，则＝＋＝，令[，1]，＝，∴＝＝，故当t＝时，max＝．15.解：（1）由得，即，所以，得，又，所以；（2）因为，，所以所以，则，由得，由与与的夹角为锐角，所以16.解：（1），，即，，解得故不等式的解集为.（2）由题意可得且，可得，∵，∴，，∵，则，∴．故的取值范围为17.解析：（1）设函数的最小正周期为，因为函数的图象过点，所以，所以，又，所以，所以，因为，，所以，所以；（2）因为，化简可得，又，所以，，令可得，，所以函数的单调递增区间为．（3）因为，所以，所以，因为，所以，所以，故所以，所以函数，的值域为.18.解析：（1）函数，因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，所以.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即