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文档简介
单调性与导数的关系:设函数y=f
(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).如果f′(x)>0,如果f′(x)<0,如果f′(x)=0,如果f(x)在(a,b)内为增函数,如果f(x)在(a,b)内为减函数,则f(x)在(a,b)内为单调递增;则f(x)在(a,b)内为单调递减.则f(x)在(a,b)内为常数函数;则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立;则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
苏轼在《题西林壁》中这样写道:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,描述的就是江西庐山的高低起伏,错落有致。在数学上,这种现象如何来刻画呢?在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点5.3.2
函数的极大(小)值如图观察,函数y=f
(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f
(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f
(x)的导数的符号有什么规律?xyOabcde如图观察,函数y=f
(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f
(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f
(x)的导数的符号有什么规律?xyOabcde我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,
f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点,
f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极值点与极值的定义:极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值(extremum).极值点x0为极大值点x0为极小值点极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值条件f'(x0)=0x0附近左侧f'(x0)>0x0附近右侧f'(x0)<0x0附近左侧f'(x0)<0x0附近右侧f'(x0)>0x0附近f(x)<f(x0)x0附近f(x)>f(x0)图像极值点左右两侧的导数值异号极值定义的理解问题3:一个函数的极小值一定小于极大值吗?问题1:一个函数的极大值或极小值是唯一的吗?上问题4:极值点可能是区间端点吗?不一定不一定不可能问题2:任何一个函数一定有极大值或极小值吗?上述图,不一定极值反映了函数在某点附近的大小,刻画了函数的局部性质.问题5:若f'(x0)=0,则x0一定是极值点吗?不一定练习1:下图是函数y=f(x)的图象,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6练习2.下图是导函数y=f′(x)的图象,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6例1.解:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)f(x)xyO-22
如何判断f
(x0)是极大值或是极小值?f
(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f
(x)<0f
(x)>0f
(x)>0x2
xx0左侧
x0x0右侧f′(x)
f(x)
xx0左侧
x0x0右侧f′(x)
f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0极大值减f′(x)<0f′(x)=0增减极小值f′(x)>0左正右负为极大,左负右正为极小xf'(x)f(x
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