湖北省黄石市中庄中学2022年高二数学理测试题含解析

湖北省黄石市中庄中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的单调递减区间为(－1,1)，则实数a的值为（

）A.0 B. C.2 D.3参考答案：D【分析】由f′（x）=3x2-a，f（x）的单调递减区间为（-1，1），可得方程3x2-a=0的根为±1，即可得出．【详解】由f′（x）=3x2﹣a，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），可得方程3x2﹣a=0的根为±1，∴a=3．故选：D．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数的问题，属于基础题．2.若关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D3.圆关于原点(0,0)对称的圆的方程为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是A．5，10，15，20，25，30

B．2，14，26，28，42，56C．5，8，31，36，48，54

D．3，13，23，33，43，53参考答案：A略5.下列四个命题中，正确的是

(

)A、“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；

B、“若”的逆命题；C、若“m>2,”

D、“正方形是菱形”的否命题；参考答案：C略6.命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是（）A．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a﹣1＞b﹣1，则a＞bC．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a﹣1≤b﹣1，则a≤b参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是“若a﹣1≤b﹣1，则a≤b”．故选：D．7.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（） A．8 B． 6 C． D． 参考答案：C8.在等差数列中，，，则的值是

（

）

A．15

B．30

C．－31

D．64参考答案：A9.如图,用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A略10.由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．参考答案：15略12.若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为

．参考答案：[﹣2，1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；从而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．13.等比数列的第5项等于

.参考答案：814.已知复数满足（其中i为虚数单位），则=

▲

．参考答案：15.已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.参考答案：1+2i16.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项

；参考答案：17.过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.参考答案：由斜率公式得，∴θ为钝角，。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=asin（）﹣acos+b（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其对称轴；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣π，]上的最大值为2，最小值为﹣1，求a，b的值．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求得函数f（x）的最小正周期及其对称轴．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a，b的值．解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=asin（）﹣acos+b=asincos+acossin﹣acos+b=a（sin﹣cos）+b=asin（﹣）+b，故函数的最小正周期为=4π．令﹣=kπ+，k∈z，求得x=2kπ+，k∈z，可得函数的图象的对称轴为x=2kπ+，k∈z．（Ⅱ）∵x∈[﹣π，]上，∴﹣∈[﹣，]，∴﹣1≤sin（﹣）≤．再结合题意以及a＞0，可得，求得．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，三角函数的周期性和求法，属于中档题．19.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点；（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小。

参考答案：（1）取中点，连接∵又∵,∴平面平面平面（2）∵,∴为异面直线与所成的角（或其补角）作于，连接∵平面，∴∵∴所以所成角的大小为.20.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的正切值．参考答案：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）21.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在线段上，且.（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：解：以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1,1，0），，(Ⅰ)∵，∴.∴无论取何值，.(II)时，,.

而面，设平面的法向量为，则,设为平面与平面ABC所成锐二面角，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是略22.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得DE的值，从而求得=的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积==??DE，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行．三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点