有理数的乘除法

1.4有理数的乘除法探究下列问题1．在数轴上，向东运动2米，记作2米，向西运动2米应记作什么？（-2米）

（1）2×3其中2看作向东运动2米；×3看作沿此方向运动3次，如图所示．结果是向东运动了6米，所以有2×3＝6

．探究下列问题（2）（－2）×3其中－2看作向西运动2米；×3看作沿此方向运动3次，如图所示．结果是向西运动了6米，所以有（－2）×3＝－6．

探究下列问题（3）2×（－3）结果是向西运动了6米，所以有2×（－3）＝－6．

其中2看作向东运动2米；×（－3）看作沿相反方向运动3次．探究下列问题（4）（－2）×（－3）其中－2看作向西运动2米，×（－3）看作沿与此方向相反的方向运动了3次，即：向东运动了3次，共向东运动了6米，所以有（－2）×（－3）＝6.

1.4.1有理数的乘法（+2）×（+3）=+6（-2）×（+3）=-6（+2）×（-3）=-6（-2）×（-3）=+6观察被乘数、乘数及积的性质符号、绝对值之间有什么关系？有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；

应用法则计算时注意先确定积的符号再确定积的绝对值。0与任何有理数相乘仍得0

．练习1：确定下列两个有理数积的符号：

练习2：口答计算结果：(1)6×(-9)；

(2)(-6)×(-9)；

(3)(-6)×9；(4)(-6)×1；(5)(-6)×(-1)；

(6)6×(-1)；

(7)(-6)×0；

(8)0×(-6)；2．口答：(1)1×(-5)；

(2)(-1)×(-5)；

(3)1×(+5)；(4)(-1)×(+5)；

(5)1×a；

(6)(-1)×a．你发现什么？一个数乘以1等于其本身；一个数乘以（-1）等于其相反数。1.4.1有理数的乘法例1.计算下列各式:巩固练习：

问题探究1:〉〉〈〈〈〉〉〉〈〈〈问题探究从确定下列积的符号，你能从中发现什么？

1.4.1有理数的乘法归纳：结论1：有一个因数为0，则积为0；结论2：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：

当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

巩固练习：判断下列积的符号几点说明：问题探究乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律在有理数中适用吗？归纳：乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变．即：ab＝ba

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．

即：（ab）c＝a（bc）

乘法分配律：一个数和两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加．即：（a＋b）c＝ac＋bc探索计算:

比一比，看看谁的方法好！乘积是1的两个数互为倒数。a的倒数是什么？一定存在吗？倒数等于其本身的数是什么数？有理数的除法除法的意义：已知两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数。

有理数的

除法法则注意：零不能作除数．

除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数．不等于0的化简下列分数，你能从中发现什么？计算下列各题

有理数

除法法则

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零．对于不等于0的有理数a,b,c，的值有多少种情况？

思考计算下列各题

某公司去年1～3月份平均每月亏损1.5万元．4～6月份每月平均盈利2万元，7～10月份每月平均盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.3万元，问这个公司去年总的盈亏如何？

（－1.5）×3＋2×3＋1.7×4＋（－2.3）×2＝＋3.7

有理数的乘方有理数乘除法补充

古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放些米粒吧。第一格放一粒米，第二格放两粒米，第三格放4粒米，然后是8粒米、16粒、32粒、…一直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑。大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米!”

你认为国王的国库里有这么多米吗？

事实上，按照这个大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1＋22+23+……＋263＝264-1粒米。264到底多大呢？答案是：18446744073709551616读一读棋盘上的学问如图，一正方形的边长为4cm，则它的面积为____________平方厘米；一正方体的棱长为4cm,则它的体积为___________立方厘米。4×4×44×444细胞分裂问题:某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。经过3小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？考考你分析：2（个）2×2×2=8（个）<二次>1个小时后：<一次>1个细胞30分后：2×2=4（个）<三次>1.5个小时后：…………<六次>3个小时后：2×2×……×2=64（个）6个你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合7次后能拉出多少根细面条？想一想第一次捏合后第二次捏合后第三次捏合后…4×4×4记作:2×2×2×2×2×2记作:一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们如何去简化表示呢？43264+4+4=4×32+2+2+2+2+2=2×6相同因数的乘法如何简化?4×4记作：42温故知新：1、什么叫乘方？什么叫幂？2、指出an中的底数、指数、幂；乘方的意义

这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）。

（1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方。）获取新知a×a×……×a=ann个幂指数因数的个数底数因数巩固新知：1、（口答）把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数：（1）（-6）×（-6）×（-6）底数是–6，指数是3（2）底数是指数是4温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！填一填777底数指数-310-3-3102、把写成几个相同因数相乘的形式3、把（-2）×（-2）×（-2）×···×（-2）10个（-2）写成幂的形式。在不会引起误解的情况下，乘号也可以用“·”表示。例如:(-3)×(-3)×(-3)×(-3)可写成(-3)·(-3)·(-3)·(-3)例1计算：(1)(-3)2(2)1.53解：(1)

(-3)2=

(-3)×(-3)=9；(2)1.53

=1.5×1.5×1.5=3.375;(4)(-1)11=-1(为什么?)做一做:

计算（1）102103

（2）=100=1000=10000=100=-1000=10000（3）=0.01=0.001=0.0001=0.00001（4）（-0.1）（-0.1）（-0.1）（-0.1）=0.01=-0.001观察计算的结果，你发现了什么规律？=0.0001=-0.00001

（-10）=-10000010=10000010

规律：（1）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（2）底数绝对值为10的幂的特点：1后面0的个数与指数相同。（3）底数绝对值为0.1的幂的特点：1前面0的个数与指数相同（包括小数点前的1个零。猜一猜例2计算：–32;(4)8÷(-2)3×(-2.5)(2)3×23;(3)(3×2)3;解:原式=-(3×3)=-9解:原式=3×8=24解:原式=63=216解:原式=8÷(-8)×(-2.5)=2.5先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算。思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？请你说说下列各数表示什么？它们一样吗？（1）23

与32（2）与（3）(-5)4

与-54对于分数的乘方，负数的乘方，书写时一定要注意小括号。

运算加减乘除乘方结果和差积商幂运用新知体会成功:(1)、(-5)3(2)、

(3)、5×23(4)、(5×2)3(5)、(-2)2

×(-3)2

(6)、(-2)3÷22

-1252568140100036-2如果一层楼按高3米计算，把足够长的厚0.1毫米的纸继续折叠20次约有104米高，有34层楼高；继续折叠30次后有10万多米高，有12个珠穆朗玛峰高。分析：（1）0.1毫米×220=0.1毫米×1048576=104.8576米

34×3=102米（2）0.1毫米×230=0.1毫米×1073741824=107374.1824米

8844.43×12=106133.16这下你该相信了吧！这节课你学会了一种什么运算？你有何体会？反思“乘方”精神：虽然是简简单单的重复，但结果却是惊人的。做人也要这样，脚踏实地，一步一个脚印，成功也会令你惊喜的。(2)负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同符号),用小括号括起来.分数的乘方,在书写的时一定要把整个分数用小括号括起来.(1)正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.有理数的乘方——科学计数法课前三练(1)32+42=(2)(3)-32+(-3)2+(-0.5)3=“热身运动”10＝10（）

100＝10×10＝10（）

1000＝10×10×10＝10（）

10000＝10×10×10×10＝10（）

____＝________=105____＝________=106____＝________=107____＝________=108

你发现了什么规律？光的传播速度大约是300000000米/秒;而声音在常温下的传播速度大约为340米/秒.为什么“先见闪电,后闻雷声”?你听说过“天文数字”吗?你能写出几个“天文数字吗”?你知道吗?地球半径约为6400000米。赤道长约为40000000米。地球表面积约为:510000000000000平方米。

第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人。

上节课我们学习了100万有多大,同学们都有感受了,在生活中还经常遇到比１00万更大的数.

上节课我们学习了100万有多大,同学们都有感受了,在生活中还经常遇到比１00万更大的数.

上节课我们学习了100万有多大,同学们都有感受了,在生活中还经常遇到比１00万更大的数.上面这些数都很大,你该怎样表示它们呢?1300000000696000000300000000

小明想知道计算器是怎样表示数的大数的,于是他输入1000,连续地进行平方运算,两次平方后,发现计算器上出现了下图这样的显示,你知道它表示什么数吗?【试一试】归纳:对大数进行读写确实比较麻烦和困难,容易搞错计算:观察得到什么规律?是多少？你能很快的写出吗？（小组讨论）学生交流：10的几次幂等于100…0（在1后面就有几个0），即=100…0

n个0n个0︸︸同桌互出１０的若干次幂，说出结果各是几位数．说说你们有什么发现10的指数与运算结果的位数关系是：指数比运算结果整数的位数少1或整数位数＝指数＋1

探究：试一试（小组交流）用适当的方法将100000000这个数字快速而准确地表示出来，使得这个数字的读和写比较简单、明了和直观。

100000000＝同学们，加油啊！练一练：１、把下列各数写成10的幂的形式：

1

000，10

000

000，

100

000

000

000；100…0=（方法小结：10的指数＝1后面0的个数）

n个０︸

2、同学们能否用这种方法将下列各数表示出来？

300000000500003500000

3×，

因为300000000=3×100000000，而100000000=，所以300000000=3×；5×；35×和3.5×

３、利用前面学过的知识，你能把刚才材料中的数表示成整数数位只有一位的数乘以10的多少次幂的形式吗？1300000000人696000米300000000米/秒1300000000人696000米300000000米/秒1300000000

696000

300000000

1300000000＝1.3×(

)=1.3×___;（如何做？学生说教师再加以处理）体现转化的数学思想。

696000=6.96×__________=6.96×____300

000

000=3×___

=3×___（分两步做）小组讨论：大于10的数可以表示成什么形式？有何注意点？指数如何确定？

归纳（课件展示）：像上面这样，把一个大于10的数表示成a×

的形式，(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数),使用的是科学记数法。这种记数方法叫科学记数法。这样书写起来比较方便,读起来也容易多了,这体现了数学中蕴含的简洁美.如:567000000=5.67×10,读作“5.67乘10的8次方或8次幂”.将下列数值写成科学记数法

a×10n

。

(a)400000=4×100000=4×105(b)

400000=40×10000=40×104此答案有何问題?此数不可大于或等于10!此数亦不可小于1!n是正整数1

a

10练一练用科学记数法表示下列各数（1）1000000（2）57000000，（3）123000000000（4）170.25；解：（1）１×

（2）5.7×

（3）1.23×

（4）1.7025×

注意：a必须是一位整数，即1≤a<10，n是正整数，n等于原数的整数位数减1。如果一位数是6位整数，用科学记数法表示时，10的指数是多少？如果一个数是9位整数呢？n位整数呢？例1.用科学记数法表示下列各数21300000；-212000；-234.1提示：用科学记数法表示一个数时，要先看这个数的整数部分有几位，确定a时要注意它是只有一位整数的数，确定n时，它等于原数的整数位数减1。后面俩题要注意符号。解：21300000＝2.13×10；

-212000＝－2.1２×10；

-234.1＝－2.34×10；

例2、下列用科学记数法表示的数,原数各是什么数?

5.19×10；3.15×10；-3.001×10

解：5.19×10＝5190

3.15×10＝315000000－3.001×10＝－300.1提示：此类题目是逆用科学记数法的写法特点，求原来的数，先根据10的指数确定原来的整数位数，再把a的小数点移动n位即得原数。典型例题解析例3、(2002年·上海)在张江高科技园区的上海超级计算机中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机的运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒

次.

解：384000000000=3.84×1011例4：（中考题选）1.(海淀区2004)2003年信息产业部的统计数据表明,截止到10月底,我国的电话用户总数达到5.12亿,居世界首位．其中5.12亿用科学记数法表示应为()A．

B．

C．

D．

2.(重庆市北碚区2004)据《重庆经济报》2004年

4月

22日报道，今年我国要确保粮食产量达到

4550亿千克

.则该产量用科学记数法表示正确的是

（）A4.55×103亿千克

B0.455×104亿千克

C45.5×102亿千克

D455×10亿千克BA总结方法:要将a×还原成整数就是把小数点向右移动n位，即a×原数的整数位数等于n+1,如果a中的位数不够，用“0”补足，注意符号。学以致用1、(2004年·山东潍坊)据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学记数法可表示为（）

A.420×104个B.4.2×102个

C.4.2×106个

D.420×105个2、据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540000000000千克，用科学记数法表示这个粮食产量为

千克。5.4×1011C3、青海湟中县是全省人口最多的县，约为473500人，用科学记数法表示为

。4.735×1054、2003年我国国内生产总值（GDP）为116694亿元，用四舍五入法保留三个有效数字，用科学记数法表示为：

亿元。

1.17×1055、卫星绕地球运行的速度(即第一宇宙速度)是，则卫星绕地球运行秒走过的路程≈

米(结果保留两个有效数字)。

一个正常人的平均心跳速率约为75次，一年大约跳多少次？用科学记数法表示这个结果。解：70×60×24×365

＝36792000

＝3.6792×10答:一年大约跳3.6792×10次练习：归纳总结：让学生说出这一节课学习的主要内容和注意点。1、将一个较大的数用科学记数法表示成a×形式的必要性。

2、a×形式中，a是整数位数只有一位的数，即1≤a＜10。

3、用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。布置作业：地球绕太阳转动每小时通过110000km，则它一昼夜通过多少千米？（用科学记数法表示）102=

；103=

；1010=

；以10为底的幂的0的个数与指数有何关系？

100100010000100000104=

；105=

；…；

1000000000010n=

；1000···0（n个0）【想一想】尝试探索出表示大数的简单方法.10000(2)1000000(3)100000000友情提示:我们可以借用乘方的形式表示大数.1300000000表示成1.3×109696000000表示成300000000表示成6.96×1083×108

一般地,一个大于10的数可以表示成a×１０n的形式，其中１≤a＜10,n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法（scientificnotation）.归纳提升:【例题演示】１．请用科学记数法表示下列各数：

(1)水星的半径约为240000米；

(2)木星的赤道半径约为71400000米；

(3)地球上的陆地面积约为149000000千米２

(4)地球上的海洋面积约为361000000千米２２．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？(1)北京故宫的占地面积约为７.２×１０５米２；(2)人体中约有２.５×１０１３个红细胞；(3)全球每年大约有５.７７×１０１４米３的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽．【例题演示】(1)调查本校图书馆某个书架所存放图书的数量．中国国家图书馆所藏的书需要多少个这的书架？用科学记数法表示结果．(2)调查本校的人数，如果每人借阅１０本书，那么中国国家图书馆的藏书大约可以供多少所这样学校的学生借阅？用科学记数法表示结果．【做一做】(1)天安门广场大约可以容纳多少位受检阅的官兵？(2)如果１亿名群众排成一个方阵，那么所占用的场地相当于几个天安门广场？【做一做】2003年10月15日，航天英雄杨利伟乘坐“神州五号”载人飞船，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行，飞船绕地球飞行了14圈后，返回舱与推进舱于16日5时59分分离，结束航天飞行，飞船共用了20小时49分10秒，已知“神州五号”飞船的平均飞行速度约为8.05×103米/秒，求（1）约飞行了多少米；（2)飞船绕地球飞行每圈约多少米。(结果用科学记数法表示）解：(1)8.05×103×（20×60×60＋49×60＋10）＝8050×（72000+2940+10)＝603347500＝6.033475×108（米）(2)603347500÷14＝43096250＝4.309625×107（米）答：(1)约共飞行了6.033475×108米;

(2)飞船绕地球飞行每圈约4.309625×107米。１．什么叫做科学记数法？２．灵活运用科学记数法，注意解题技巧，总结解题规律，用科学记数法表示大数应注意以下几点：（１）１≤a＜10．（２）当大数是大于１０的整数时，n为整数位减去１.【课堂小结】上面各资料都有出现较大的数，这些数在记录的过程中非常容易出错，你能想办法使得我们记录得又快又准吗？议一议试将上面这些数输入计算器.计算器输出结果跟你输入的数一致吗？屏幕上面的数跟输入的数又什么内在的联系？你知道计算器的工作原理吗？做一做：你能将下面的数改写成一个数（这个数要求要大于等于1小于10）与10的若干次幂的乘积的形式么？300000000=25000000000000=

一般情况下，把大于10的数表示成a×10n（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，(1≤a＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。

一般情况下，把大于10的数表示成a×10n（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，(1≤a＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。思考？当一个大于10的数用科学记数法表示时，指数n跟整数位数有什么关系？1、在69600000000的以下各表示方法中，是科学记数法的为（）（A）696×（B）69.6×

（C）6.96×（D）0.696×小式牛刀例1、1972年3月发射的“先驱者10号”,是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器.至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时,它已飞离地球12200000000km.用科学记数法表示这个距离.

例2:请用科学记数法表示696000;1000000;58000

(1)人的大脑约有10,000,000,000个细胞；(2)全世界人口约为61亿；(3)光的速度为300,000,000米/秒；

(4)中国森林面积约为128,630,000公顷；

(5)2002年赴韩国观看世界杯足球赛的中国球迷超过了1.5万人。你知道吗?你能把上面的数