吉林省长春市第一五三中学高二数学理摸底试卷含解析

吉林省长春市第一五三中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记等比数列的前项和为，若则（

）

A．

9

B．27

C．8

D．8参考答案：A略2.如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．20π B． C．25π D．100π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；立体几何．【分析】还原三视图成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用线面垂直的判定与性质，证出PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，从而得到PB的中点O就是多面体的外接球的球心．再根据勾股定理和球的表面积公式加以计算，可得答案．【解答】解：根据三视图的形状，将该多面体还原成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC．其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC结合PC?平面PAC，得BC⊥PC因此，PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，设PB的中点为0，则OA=OB=OC=OP=PB．∴PB的中点O就是多面体的外接球的球心∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2．又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB==，所以外接球表面积为S=4πR2=25π．故选：C．【点评】本题给出三视图，求多面体的外接球的表面积．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．3.若集合，，则＝()A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知动点对应的复数满足，且点与点连线的斜率之积为，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知F1(2,0)，F2（a,b）为焦点的椭圆经过原点，且长轴长为6，那么ab的最大值是(

)A.4

B.8

C.12

D.16参考答案：B6.抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C． D．3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA?cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．7.设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（

）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B8.某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余n--1个小矩形的面积之和的，则第一个小矩形对应的频数是(

)A.20

B.25

C.30

D.35 参考答案：C9.观察式子：，，，……则可归纳出式子（）（

）A.

B.C.

D.参考答案：C10.抛物线的准线方程为参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果函数，那么函数的最大值等于

▲

．参考答案：3

12.，则的最小值是

．参考答案：913.设常数．若的二项展开式中项的系数为，则

．参考答案：14.已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为．参考答案：4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．解答：解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．15.我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数m=，由此能求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率．【解答】解：包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，基本事件总数n=，我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数为：m=，∴我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率：p===．故答案为：．16.以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点（－2，－4）的抛物线方程是

。参考答案：y2=－8x或x2=－y

略17.已知点M的坐标为（5，θ），且tanθ=﹣，＜θ＜π，则点M的直角坐标为．参考答案：（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义即可求出【解答】解：∵tanθ=﹣，＜θ＜π，∴cosθ=﹣，sinθ=，∴x=5cosθ=﹣3，y=5sinθ=4，∴点M的直角坐标为（﹣3，4），故答案为：（﹣3，4）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)从含有两件正品a，b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，(1)每次取出不放回；求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．(2)每次取出后放回；求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．参考答案：(1)每次取出不放回的所有结果有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为.(2)每次取出后放回的所有结果：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)共有9个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为.19.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）求出，分a=0和a＞0时，判断函数的单调性即可．（2）当a＝0时，f（x）＝﹣≤0，符合题意，当a＞0时，利用函数的最值列出不等式，求解即可；【详解】（1）由，当a=0时，则f（x）在（0，+∞）上递减，当a＞0时，令f'（x）＝0得或（负根舍去），令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得，所以f（x）在上递增，在上递减．综上：a=0时，f（x）在（0，+∞）上递减，a＞0时，f（x）在上递增，在上递减（2）由（1）当a＝0时，f（x）＝﹣≤0，符合题意，当a＞0时，，因为a＞0，所以，令,则函数单调递增，又，故得综上，a的取值范围为．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，注意分类讨论的应用与第二问的联系，是中档题20.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．参考答案：【考点】QK：圆的参数方程；IT：点到直线的距离公式；QJ：直线的参数方程．【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．21.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．（1）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出矩形的宽，可得y与x的函数关系式，并写出其定义域；（2）用到基本不等式的性质注意能否取到“=”．【解答】解：（1）矩形的宽为：米，=定义域为{x|0＜x＜150}注：定义域为{x|0＜x≤150}不扣分（2）y=当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．22.已知回归直线方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分）和物理成绩y（总分100分）如下：X122131126111125136118113115112Y87949287909683847984（1）试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0