河北省廊坊市三河小五福中学高二数学理月考试题含解析

河北省廊坊市三河小五福中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，周期为且图像关于直线对称的函数是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D2.用数学归纳法证明

1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．1+＜2

B．1++＜2

C．1++＜3 D．1+++＜3参考答案：B【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选B．3.a＝0是复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（）A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：复数纯虚数，一定推出a=0，但a=0时，不一定是纯虚数，因为有可能b=0，故选B。考点：本题主要考查复数的概念、充要条件的概念。点评：充要条件的判断，主要利用定义法，也可以利用等价命题法、集合关系法。4.已知A、B是抛物线

=2（>0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（

）（A）＝

（B）＝

（C）＝3

（D）＝参考答案：D5.如果一个圆柱，一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．10参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【分析】因为Sn表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，因为Sn=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选C．7.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.如图,在和中,,若与的周长之差为,则的周长为(

)

A.

B.

C.

D.25参考答案：D9.命题“存在R，0”的否定是

（

）

A、不存在R,>0

B、存在R,0

C、对任意的R,0

D、对任意的R,>0参考答案：D略10.已知点P是椭圆+y2=1上的任意一点，A（4，0），若M为线段PA中点，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+4y2=1 B．（x﹣4）2+4y2=1 C．（x+2）2+4y2=1 D．（x+4）2+4y2=1参考答案：A【考点】轨迹方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则+n2=1

①，把点M和点P坐标间的关系代入①式建立关于x，y的方程．即可得到线段AP的中点M的轨迹方程．【解答】解：设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则+n2=1①．由中点公式得x=，y=，∴m=2x﹣4，且n=2y

②，把②代入①得+（2n）2=4，即（x﹣2）2+4n2=1故选：A．【点评】本题考查用代入法求轨迹方程，中点公式的应用，把中点M（x，y），点P（m，n）坐标间的关系代入①式，是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线（为参数）与曲线

（为参数）的交点个数为__________个.

参考答案：412.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率是

参考答案：

13.已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且=3，则双曲线C的离心率的最小值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），∵=3，∴c﹣x1=3（c﹣x2），∴3x2﹣x1=2c．∵x1≤﹣a，x2≥a，∴3x2﹣x1≥4a，∴2c≥4a，∴e=≥2，∴双曲线离心率的最小值为2，故答案为：2．14.已知集合，则=

.参考答案：15.已知a、b是两条不同的直线，a、b是两个不同的平面，在下列命题①；②；③；④

中，正确的命题是

（只填序号）.参考答案：②④略16.定义方程的实数根叫做函数的“好点”，如果函数，，（）的“好点”分别为，，，那么，，的大小关系是

▲

．参考答案：>>17.函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是

． 参考答案：70【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，4]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论． 【解答】解：对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，4]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t， ∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）， ∵x∈[﹣3，4]， ∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，4]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减； ∴f（x）max=f（4）=51，f（x）min=f（﹣3）=﹣19； ∴f（x）max﹣f（x）min=70， ∴t≥70； ∴实数t的最小值是70． 故答案为：70． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？参考答案：由题意知海里，在中，由正弦定理得=（海里），又海里，在中，由余弦定理得19.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.参考答案：略20.已知函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．（1）求实常数m的值．（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2，列表讨论，能求出m=4．（2）由m=4，得f（x）=，由此能求出函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣4x+m，∴f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2，列表讨论，得：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴当x=﹣2时，f（x）取极大值，∵函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值，∴，解得m=4．（2）由m=4，得f（x）=，当x=2时，f（x）取极小值f（2）=﹣．21.如图，四棱锥满足面，．，．（Ⅰ）求证：面面．（Ⅱ）求证：面．参考答案：见解析（）证明：∵平面，平面，∴，又∵，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．（Ⅱ）证明：取中点为，∵，，，是中点，∴是矩形，，，∴，在中，，，，∴，即，又∵平面，平面，∴，∴平面．22.定长为的线段的两个端点A，B分别在x，y轴