河南省新乡市中和镇实验中学高二数学理联考试卷含解析

河南省新乡市中和镇实验中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a，b，c，若，则cosB等于（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：C

2.若一数列为，2，，┅，则4是这个数列的（）A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项参考答案：C【考点】数列的函数特性．【分析】由数列为，2，，┅，可知被开方数是以2为首项，3为公差的等差数列．利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由数列为，2，，┅，可知被开方数是以2为首项，3为公差的等差数列．∴通项公式为=令4=，解得n=11．故4是这个数列的第11项．故选C．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式是解题的关键．3.已知，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】【答案解析】A解析：解：【思路点拨】4.已知F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2

C．﹣1 D．1+参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．5.下面的各图中，散点图与相关系数r不符合的是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】散点图．【分析】根据|r|的值越接近于1时，两个变量的相关关系越明显，|r|越接近于0时，两个变量的相关关系越不明显，结合题意即可做出正确的选择．【解答】解：对于A，变量x，y的散点图是一条斜率小于0的直线，所以相关系数r=﹣1，所以A正确；对于B，变量x，y的散点图是一条斜率大于0的直线，所以相关系数r=1，所以B错误；对于C，变量x，y的散点图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数﹣1＜r＜0，所以C正确；对于D，变量x，y的散点图中，x、y之间的样本相关关系非常不明显，所以相关系数r最接近0，D正确．故选：B．6.某学校有老师100人，男学生600人，女学生500人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了40人，则n的值是（）A．96 B．192 C．95 D．190参考答案：A【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样方法中所抽取的比例相等，求出对应的样本容量．【解答】解：由题意知：，解得n=96．故选：A7.记Ⅰ为虚数集，设，，则下列类比所得的结论正确的是（

）A．由，类比得B．由，类比得C.由，类比得D．由，类比得参考答案：C8.已知向量满足,则向量夹角的余弦值为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.函数y=xcosx﹣sinx的导数为（）A．xsinx B．﹣xsinx C．xcosx D．﹣xcosx参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：函数y=xcosx﹣sinx的导数为y′=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，故选：B10.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，则棱锥O-ABCD的体积为_____．参考答案：【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形所在平面的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【详解】矩形的对角线的长为：所以球心到矩形所在平面的距离为：所以棱锥的体积为：本题正确结果：【点睛】本题是基础题，考查球内接几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．12.点P是抛物线上任意一点，则点P到直线距离的最小值是

；距离最小时点P的坐标是

．参考答案：（2，1）设，到直线的距离为，画出的图象如下图所示，由图可知，当时有最小值，故的最小值为，此时点的坐标为.

13.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为

．参考答案：【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．【解答】解：M为AB的中点设为（x，y，z），∴x==2，y=，z==3，∴M（2，，3），∵C（0，1，0），∴MC==，故答案为：．【点评】本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用．考查了学生对基础知识的熟练记忆．属基础题．14.已知实数x、y满足

则目标函数z=x-2y的最小值是___________.参考答案：解析:画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。

15.若命题?x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为

．参考答案：?x∈{2，3}，x2﹣4≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题?x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为：?x∈{2，3}，x2﹣4≤0．故答案为：?x∈{2，3}，x2﹣4≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．16.如图所示，已知点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为α，则cosα的最小值是_________．参考答案：略17.平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+=拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有 ．参考答案：=【考点】类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，∴AB⊥平面BCD．由已知有：CD上的高AE=，h=AO=，∴h2=，即=．故答案为：=．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）先由已知可得，得出3a2=4b2①又点在椭圆C上，得到解之即得a，b．从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）先对k分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a2=4b2①又点在椭圆C上，所以②由①②解之，得a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以．当k≠0时，则由消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0③设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则．由于点P在椭圆C上，所以．从而，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．又==．因为，得3＜4k2+3≤4，有，故．综上，所求|OP|的取值范围是．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．19.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．（1）求证：EF∥平面A1BC；（2）求D1到平面A1BC1的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A1B的中点O，连接OE，OC，证明四边形OECF是平行四边形，可得EF∥OC，即可证明EF∥平面A1BC；（2）利用等体积法求D1到平面A1BC1的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于BB1，∵F为CC1的中点，∴CF平行且等于CC1，∴OE平行且等于CF，∴四边形OECF是平行四边形，∴EF∥OC，∵EF?平面A1BC，OC?平面A1BC，∴EF∥平面A1BC；（2）解：△A1BC1中，A1B=A1C1=，BC1=，∴面积为=．设D1到平面A1BC1的距离为h，则×h=∴h=．即D1到平面A1BC1的距离为．【点评】本题考查线面平行的判断，考查点到平面的距离，正确求体积是关键．20.（本题满分为12分）设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由。（Ⅲ）设函数（表示中的较小者），求的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为2，所以，又，所以

------2分（Ⅱ）时，方程在内存在唯一的根，设当时，，又，所以存在，使，因为，所以当时，，当，，所以当时，单调递增，所以时，方程在内存在唯一的根.------7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以当时，若，若，由，可知，故当时，由当，可得时，，单调递增；时，，单调递减；可知，且，综上可得：函数的最大值为.------12分

21.（本小题满分13分）已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期（2）设的内角的对边分别是，且，，若，求的值参考答案：（1），的最大值为0；最小正周期为（2），解得；

又，由正弦定理---------------①，由余弦定理，即-------------②由①②解得：，。略22.已知f(