2022-2023学年北京第七十一中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年北京第七十一中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题“”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（

）①命题“”是真命题；

②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；

④命题“”是假命题.A.①③

B.②④

C.②③

D.①④参考答案：命题“”是假命题都是假命题都是真命题，选A.2.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是()A．

B．

C. D.参考答案：A3.直线=和直线的位置关系（）A.垂直

B.平行

C.相交但不垂直

D.重合参考答案：B4.命题p：椭圆与有相同焦点，命题q：函数的定义域是，则（）A．“p或q”为假

B．“p且q”为真

C．p真q假

D．p假q真参考答案：D略5.下列说法正确的是（

）．A．梯形一定是平面图形 B．四边形一定是平面图形C．四边形相等的四边形为菱形 D．两个相交平面有不在同一条直线上的三个交点参考答案：A选项，梯形上下底互相平行，两个平行线确定一个平面，四个顶点都在同一个平面内，所以梯形是平面图形，故正确；选项，空间四边形不是平面图形，故错误；选项，空间四边形四条边相等时不是菱形，故错误；选项，若两个平面相交，则交点都在同一条直线上，故错误．综上，故选．6.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是

（

）A.an=n2-(n-1) B.an=n2-1

C.an=

D.an=参考答案：C7.抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】x﹣y+1=0变为：y=x+1，求出它的斜率，进而求出倾斜角．【解答】解：将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，由tan=1得，所求的倾斜角是，故选A．9.当时，下面的程序段执行后所得的结果是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知命题p：，则命题p的否定是A．B．C．D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若,则满足的实数x的取值范围是__________．参考答案：【分析】根据偶函数性质得出在上是减函数，由此可得不等式．【详解】∵是偶函数，且在上是增函数，，∴在上减函数，．又，∴，解得且．故答案为．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，由奇偶性和单调性结合起来解函数不等式，这种问题一类针对偶函数，一类针对奇函数，它们有固定的解题格式．如偶函数在上是增函数，可转化为，奇函数在上是增函数，首先把不等式转化为再转化为．12.在钝角△ABC中，已知a=1,b=2,则最大边c的取值范围是____________参考答案：(,3)略13.已知实数x，y满足|x|+y≤1，则的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的公式结合数形结合进行求解即可．【解答】解：由|x|+y≤1得y≤1﹣|x|，作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点A（3，5）的斜率，由图象知过A的直线的斜率等于1和﹣1时，直线和区域的边界直线平行，则的取值范围是k＞1或k＜﹣1，即（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是

．参考答案：95【考点】归纳推理．【分析】斜着看，根据数阵的排列规律确定第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数即可．【解答】解：根据三角形数阵可知，斜着看，第n斜行奇数的个数为n个，则前n﹣1斜行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=，则斜着看，第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数，所以数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是2×48﹣1=95．故答案为95．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．15.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X=4）=．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】确定从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，写出所有的情况；前3次没有中奖，最后1次中奖的情况，利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，所有的情况为：=720，X表示直至抽到中奖彩票时的次数为4，前3次没有中奖，最后1次中奖的情况为???=630，因此所求的概率值为：P==．故答案为：．16.如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____________．

参考答案：略17.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ＝

▲

．参考答案：【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，，，，解得，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足?=（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设直线l的方程为y=kx+4，联立，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=，∴，解得a=4，c=2，b==2，∴椭圆C的标准方程是．（2）设直线l的方程存在，若l的斜率不存在，则M（0，2），N（0，﹣2），此时，不成立．若l的斜率k存在，则l的方程为y=kx+4，联立，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+4）（kx2+4）=k2x1x2+4k（x1+x2）+16，∵?=，∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣+16=，解得k2=1．∴直线l的方程为y=±x+4．19.(本小题12分)如图，已知的半径是１，点Ｃ在直径AB的延长线上,,点P是上半圆上的动点,以为边作等边三角形，且点D与圆心分别在的两侧．(Ⅰ)若，试将四边形的面积表示成的函数；

(Ⅱ)求四边形的面积的最大值．参考答案：20.如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用?=0，可求得k的值，从而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴?=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．21.已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an+2n+1（n∈N*）．（1）令bn=+1，求证：数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求满足an≥240的最小正整数n．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由an+1=4an+2n+1，bn=+1，可得bn+1=2bn，结合a1=2，可得数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）得：bn=2n，结合bn=+1，可得数列{an}的通项公式；（3）令t=2n，则an≥240可化为：t2﹣t≥240，先解二次不等式，再解指数不等式可得答案．【解答】证明：（1）∵an+1=4an+2n+1，bn=+1，∴bn+1=+1===2（+1）=2bn，又∵a1=2，∴b1=2，∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）得：bn=2n，即+1=2n，∴an=4n﹣2n，（3）令t=2n，则an≥240可化为：t2﹣t≥240，解得：t≥16，即2n≥16，