18.2.3 正方形 人教版数学八年级下册课件

18.2.3

正方形

学习目标1．探究正方形的概念、性质和判定方法。2．能用正方形的概念、性质和判定进行推理与计算。正方形的定义：菱形正方形有一个角是直角正方形即是特殊的矩形又是特殊的菱形。正方形具有矩形性质的同时也具有菱形形性质。正方形矩形有一组邻边相等

（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片,为什么？（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？解：这样得到的是一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形，因此它是正方形。解：上面（1）中正方形的面积最大。平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系想一想小结:正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。?正方形的性质=菱形性质矩形性质正方形的性质四条边相等四个角都是直角相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角ABCDO边----角----对角线----菱形的性质矩形的性质对称性------是轴对称图形正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？快速抢答例

求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.思考：图中共有___个等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是

，对角线AC、BD相交于点O．求证：△ABO、△

、△

、△____是全等的等腰直角三角形．正方形BCOCDODAO8证明：∵四边形ABCD是

，∴AC=

，AC

BD，AO=

=

=

.∴△ABO、△

、△

、

△

是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO

△CDO__△DAO.正方形BDBCOCDODAO≌≌BOCODO1、如图,ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E,测量,EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠ABC=90°,AB=BC在Rt△EBC中,EC=30m,EB=10m,有BC===m∴=BC2=()2=800m2∴

AB=BC=m在Rt△ABC中,AB=BC=m,有AC==40m2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O分析：要证明BM＝CN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。你能完成证明吗???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°条件够吗？

还需要的条件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要证明的两个三角形已满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：矩形菱形正方形有一组邻边相等有一个角是直角慧眼判别如何由矩形和菱形判别正方形呢？一组邻边相等有一个内角是直角一组邻边相等有一个内角是直角正方形的判定一组邻边相等且有一个角是直角知识点：正方形的判定方法1、直接用正方形的定义判定；2、先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是_____,那么这个四边形是正方形；3、先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是_____，那么这个四边形是正方形.菱形矩形1、满足下列条件的四边形是不是正方形？（1）对角线互相垂直且相等的平行四形；（2）对角线互相垂直的矩形；（3）对角线相等的菱形；（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.解：4个都是。它们都符合正方形的判定条件。2、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．证明：∵DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.∴∠CED=90°,∠CFD=90°又∠C=90°∴四边形CFDE是矩形.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．∴DE=DF∴矩形CFDE是正方形．根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等√√√√√√√√√√√√√√√√正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质。正方形性质应用的分析方法已知条件分析思路已知只有正方形时从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°.已知中出现正方形的“对角线”时从正方形的对角线性质入手分析:①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角.②对角线所在的直线是正方形的对称轴.1.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大小为 (

)

A.15° B.30°

C.45° D.60°C基础训练2.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED度数是_________.

45°

★★3.(2019·鄂州模拟)如图正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.略★★4.(2019·黄冈中考)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.证明:在△ABF和△DAG中,∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°,又∠DAG+∠FAB=∠DAG+∠ADG=90°,∴∠FAB=∠GDA.又AB=AD,∴△ABF≌△DAG.∴BF=AG,AF=DG.∴BF-DG=AG-AF=FG.判定正方形的一般思路1.下列命题,其中是真命题的为 (

)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形D章节检测★2.如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4A★★3.(2019·呼伦贝尔模拟)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F,且BF=CE.(1)求证:DE=DF.(2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论.解:(1)∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°,在Rt△BDF和Rt△CDE中,∵

∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),∴DE=DF.(2)四边形AFDE是正方形.证明:∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,∴四边形AFDE是矩形,又∵DF=DE,∴四边形AFDE是正方形.【火眼金睛】已知在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F,C两点的距离为_________.

1或5

正解:在△ABF和△ADE中,∵∠ABF=∠ADE=90°,AB=AD,AF=AE.∴Rt△ABF≌Rt△ADE,∴BF=DE=2.当按逆时针方向旋转时,F在B点左侧时,如图:F2C=BF2+BC=BF2+DC=2+3=5,当按顺时针方向旋转时,F在B点右侧时,F1C=BC-BF1=3-2=1.∴F