新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业9二项式系数的性质新人教A版选择性必修第三册

课时分层作业(九)二项式系数的性质一、选择题1．如果x2-12xnA．0B．256C．64D．12．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n·x2n(n∈N*)，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2n B．3C．2n+1 D．33．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．124．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．2C．－1D．15．(2023·辽宁省沈阳四中周测)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8二、填空题6．(2023·石家庄模拟)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．7．(2023·南通模拟)设(1＋2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022，则a12-8．在2x-a3x4的二项展开式中，常数项是8，则实数三、解答题9．已知2x2-1xn(n∈(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求2x10．(多选)(2023·如皋市模拟)设(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列说法正确的是()A．a0＝1B．a1＋a2＋…＋a10＝310－1C．展开式中二项式系数最大的项是第5项D．a2＝9a111．(多选)(2023·鼓楼区校级模拟)关于x2+1xA．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0C．常数项为－20D．系数最大的项为第3项12．(多选)(2023·泰州模拟)若1+x+1+x2＋…＋(1＋x)2022＝a0＋a1x＋…＋a2022xA．a0＝2022B．a2＝CCD13．设2-a1+a14．在12(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．15．(多选)(2023·江苏模拟)已知(2x＋1)(22x＋1)·(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，下列说法正确的是()A．设bn＝a1，则数列{bn}的前n项的和Sn＝2n+2－2n－4B．a2＝2C．an－1＝2n2+n2－n(D．数列an-1an-1课时分层作业(九)1．D[由已知得Cn3＞Cn因为n∈N*，所以n＝6．令x＝1，则原式＝1-12．D[令x＝1，可得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①令x＝－1，可得1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②由①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3n＋1，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝3n＋3．D[512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C20120×522012－C20121×522011＋…－C20122011×521＋1＋a．又因为52是13的倍数，所以只需a＋1是13的倍数，因为0≤a<13，所以a＋1＝134．A[令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2．]5．B[根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而(x＋y)2m+1展开式中二项式系数的最大值为C2m＋1又13a＝7b，所以13C2mm＝即13×(2m)！m！解得m＝6．]6．510[a1即为展开式中x3的系数，所以a1＝C30(－1)0＋C4令x＝1，则有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10．]7．1[令x＝0，则a0＝1，令x＝－12，则a0－a12＋a22则a12－a222＋…－a8．－13[2x-a3x4的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝C4k2x4-k·-a3xk＝C4k·24-k·(－a)k·x4-43k，所以当k＝9．解：(1)由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得2n-1＝64，所以n＝7，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．因为2xTk＋1＝C7k(2x2)7-k(－1)所以2x2-1x7的展开式中二项式系数最大的项为T4＝-560x(2)由(1)知n＝7，且2x2-1x7的展开式中x-1项为T6＝-84x，x2所以2x+1x22x2-1xn展开式的常数项为2×10．ABD[令x＝0，得a0＝1，故A正确；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(1＋2)10＝310，即a1＋a2＋…＋a10＝310－1，故B正确；展开式共11项，二项式系数最大的是第6项，故C错误；a2＝C102·22＝180，a1＝C101×21＝20，则a2＝9a1成立，故D11．BC[x2+1则x-1x6的展开式的通项为Tk令6－2k＝0，则k＝3，所以展开式的常数项为C63-13＝－20，故C正确；因为n＝6，则二项式系数最大的项为第4项，此时T4＝C63(－1)3x0＝－20＜0，所以系数最大的项为第3项与第5项，故D错误；展开式的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－1)6＝12．ABD[令x＝0，则2022＝a0，故A正确；因a2为x2的系数，故a2＝C22＋C32＋令x＝－1，则0＝a0－a1＋a2－a3＋a4…－a2021＋a2022，∴＝－a0＝－2022，故C错误；对所给等式两边求导得，1＋2(1＋x)＋3(1＋x)2＋…＋2022(1＋x)2021＝a1＋2a2x＋…＋2022a2022x2021，令x＝－1，则1＝a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋2021a2021－2022a2022，∴故D正确．故选ABD．]13．1[令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(2＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(2－1)10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1．]14．解：(1)由题意得Cn4＋C所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14．当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，所以T4的系数为C7T5的系数为C74123故展开式中二项式系数最大的项的系数为352，70当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C147127故展开式中二项式系数最大的项的系数为3432．(2)由题意知Cn0＋整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12或n＝－13(舍去)，故n＝12．设展开式中第k＋1项系数最大，因为12+2x12＝1212则C所以9.4≤k≤10.4．因为k∈{0，1，2，…，12}，所以k＝10．所以系数最大的项为T11，且T11＝1212C1210(4x)1015．AD[对A，a1为x项系数，即每个括号中只有一个括号取x，其余都取1，则a1＝2＋22＋23＋…＋2n＝2(1-2n)1-2＝2n所以Sn＝4(1-2n)1-2－2n＝2n+2－对B，a2为x2项系数，有2个括号取x，其余取1，则a2＝2×22＋2×23＋…＋2×2n＋22×23＋22×24＋…＋22×2n＋…＋2n-1×2n＝(23＋24＋…＋2n+1)＋(25＋26＋…＋2n+2)＋(27＋28＋…＋2n+3)＋…＋22n-1＝23(1-2n-1)