新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时两个计数原理的综合应用学习任务1．进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．(数学抽象)2．会正确应用这两个计数原理计数．(数学运算)类型1组数问题【例1】有0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？[解](1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．[母题探究]1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？[解]完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理可知共有2×3×3×2＝36(个)．2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？[解]一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)．常见的组数问题及解题原则(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的数的和或数字间满足某种特殊关系等．(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．[跟进训练]1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6B[由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共3×2×2＝12(种)；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，故1种情况)，共3×2×1＝6(种)．因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B．]2．用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？[解]排成一个三位数，可以分为三步：第一步，确定百位上的数字，共有5种方法；第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；第三步，确定个位上的数字，共有3种方法．依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为5×4×3＝60．类型2抽取(分配)问题【例2】(1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A．11 B．10C．9 D．8(2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A．280种 B．240种C．180种 D．96种(1)C(2)B[(1)设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d．法一：设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．]求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟进训练]3．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20C[由于lga－lgb＝lgab，从1，3，5，7，9中取出两个不同的数分别赋值给a和b，共有5×4＝20(种)，而得到相同值的是1，3与3，9以及3，1与9，3两组，所以可得到lga－lgb的不同值的个数是18．类型3涂色与种植问题涂色问题【例3】(源自人教B版教材)在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？[解]用R表示红色，用B表示蓝色，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色．因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻．涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种．依据分类加法计数原理，李明共有3＋3＝6(种)不同的填涂方法．种植问题【例4】从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法．18[法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法．]涂色与种植问题的四个解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．[跟进训练]4．如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的．现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种．12[先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理知，共有3×2×1×2×1×1＝12(种)不同的涂法．]5．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共多少种？[解]将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．当A种在B种左边时(括号内为田垄的序号)，①间隔6垄时，(1，8)，(2，9)，(3，10)；②间隔7垄时，(1，9)，(2，10)；③间隔8垄时，(1，10)．上述共有6种选垄方法．当B种在A种左边时，同理也有6种选垄方法，综上所述，总的选垄方法数为6＋6＝12．1．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为()A．11 B．30C．56 D．65B[先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，共有6×5＝30(种)不同的组队方法．]2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为()A．2 B．4C．6 D．8D[第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．]3．若3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人仅选报一个，则不同的报名方案有________种．64[每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64(种)不同的报名方案．]4．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．750[首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．选用分步乘法计数原理的依据是什么？[提示]当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有所有步都完成后，这件事才完成，此时就采用分步乘法计数原理．2．解决较复杂的计数问题应注意什么？[提示]解决较复杂的计数问题一般要用两个计数原理，需注意合理分类，准确分步．分类标准要明确，做到不重不漏，分步要步步独立，步骤完整．课时分层作业(二)两个计数原理的综合应用一、选择题1．现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种D[如图，假设4个区域为A，B，C，D，分4步进行分析：①对于A，有4种农作物供选择；②对于B，与A相邻，有3种农作物供选择；③对于C，与A，B相邻，有2种农作物供选择；④对于D，与B，C相邻，有2种农作物供选择．则不同的种植方法种数为4×3×2×2＝48，故选D．]2．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有()A．6种 B．8种C．36种 D．48种D[如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．]3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取2个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同的对数值的个数为()A．64 B．56C．53 D．51C[由于1不能作为底数，故从其余各数中任取1个作为底数，1作为真数，对数值均为0．从除1外的其余各数中任取2个分别作为对数的底数和真数，共能组成对数式8×7＝56(个)．又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，对数值重复了4个，故不同的对数值的个数为1＋56－4＝53．]4．(多选)某校安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是()A．不同的安排方法有43种B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种ABD[A√每名同学有4种选法，则不同的安排方法有4×4×4＝43(种)B√若甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂，则不同的安排方法有3×3×3＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有43－27＝37(种)C×若A同学必须去甲工厂，则剩下的两名同学安排到4个工厂，不同的安排方法有4×4＝16(种)D√若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有4×3×2＝24(种)]5．甲与其四位同事各有一辆汽车，甲的车牌尾号为9，其四位同事的车牌尾号分别是0，2，1，5．为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾号为奇数的车通行，偶数日车牌尾号为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．64 B．80C．96 D．120B[5日至9日，有3个奇数日，2个偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，不同的用车方案共有2×2＝4(种)．第二步，安排奇数日出行，分两类讨论：第一类，选1天安排甲的车，不同的用车方案共有3×2×2＝12(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，不同的用车方案共有2×2×2＝8(种)．综上，不同的用车方案种数为4×(12＋8)＝80，故选B．]二、填空题6．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．42[从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6(种)方法，所以有48－6＝42(种)不同的种植方法．]7．如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有________种不同的涂法．18[①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6(种)不同的涂法．所以根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18(种)不同的涂法．]8．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个，其中偶数有________个．85[十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．偶数为214，312，314，412，324，共5个．]三、解答题9．在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数？[解]分两类：一类是以3，5，7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排千位有3种方法，再排个位有4种方法，最后排中间的两个数有8×7种方法，所以满足要求的数有3×4×8×7＝672(个)．另一类是首位是4或6的四位奇数，也可分三步完成，满足要求的数有2×5×8×7＝560(个)．由分类加法计数原理得，满足要求的数共有672＋560＝1232(个)．10．(多选)用0，1，2，3，…，9这十个数字可组成不同的()A．三位密码900个B．三位数900个C．无重复数字的三位数648个D．小于500且无重复数字的三位奇数144个BCD[对于A，组成三位密码时，每一位上的数字都有10种选法，所以共有10×10×10＝1000(个)；对于B，由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)；对于C，百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数；对于D，小于500且无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1，2，3，4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)．由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)．]11．(多选)(2023·浙江省温州市期中)某校实行选课走班制度，小C同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校周一上午选课走班的课程(上午共设置4节课)安排如表所示，小C同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是()第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．此人有6种选课方式B．此人有5种选课方式C．自习不可能安排在第1节D．自习可安排在4节课中的任一节BD[因为生物课要求在B层上，只有第2，3节课，故分两类进行讨论：第一类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，政治有2种选法，故有2×2＝4(种)选法．第二类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种选法．根据分类加法计数原理得到选课方式共有4＋1＝5(种)，故A错误，B正确；对于选项C，自习可以安排在4节课的任意一节，故C错误，D正确．故选BD．]12．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为________，这个数列的第90项为________．120532[第一步确定百位数，有6种方法，第二步确定十位数有5种方法，第三步确定个位数有4种方法，根据分步乘法计数原理知共有N＝6×5×4＝120(个)三位数．所以该数列的项数为120．百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80(个)，百位数是5的三位数中，十位是1或2的共有4＋4＝8(个)，故第88个为526、第89个为531、第90个为532．]13．(2023·陕西西安中学高二期中)某外语组有5人，每人至少会英语、法语中的一门，其中3人会英语，3人会法语，从中选会英语和法语的各一人去做翻译工作，则不同的选法种数为________．(用数字作答)8[由集合知识，可知既会英语又会法语的有3＋3－5＝1(人)，