新教材同步备课2024春高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2第2课时回归分析及非线性回归模型学生用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时回归分析及非线性回归模型学习任务1．了解残差、残差图的概念．(数学抽象)2．会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果．(数学运算、数据分析)3．了解非线性回归模型，掌握对数函数模型、指数函数模型和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模)设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如表所示：第x度y/cm0479111213作出这组数的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近．你能求出这个函数模型吗？知识点1残差及残差图(1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________．通过经验回归方程得到的y称为________，观测值减去预测值称为________．残差是随机误差的估计结果．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等．(2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为________．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高．(3)残差分析：________是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为________．知识点2对模型刻画数据效果的分析(1)残差图法：在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以________，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．(2)(3)决定系数R2法：可以用R2＝来比较两个模型的拟合效果，R2越________，模型拟合效果越差，R2越________，模型拟合效果越好．决定系数R2的取值范围是什么？知识点3非线性回归方程(1)非线性回归分析的思想研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系．(2)非线性经验回归方程当回归方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)残差平方和越接近0，线性回归模型的拟合效果越好． ()(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上． ()(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好． ()(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号． ()2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的决定系数R2为0.98B．模型2的决定系数R2为0.80C．模型3的决定系数R2为0.50D．模型4的决定系数R2为0.253．从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的数据如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y与x的经验回归方程为y＝0.85x－85.71，则选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为________kg．类型1残差与残差分析【例1】(1)对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()ABCD(2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的经验回归方程为y＝2x＋a，若样本点(r，1)与(1，s)的残差相同，则有()A．r＝s B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1[尝试解答](1)残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高．(2)残差是随机误差的估计值，ei＝yi－yi．[跟进训练]1．两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示：x99.51010.511y1110865其经验回归方程是y＝bx＋40，则相对应于点(11，5)的残差为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第________个．类型2残差平方和与决定系数R2【例2】已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753(1)求y关于x的经验回归方程；(2)借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏．[尝试解答]刻画回归效果的三种方法(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)(3)决定系数R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．[跟进训练]3．为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求经验回归方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析．类型3非线性回归分析【例3】为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如表所示：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c1ec2x哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？xyzi=1i=1i=13.562.833.5317.5596.50512.04其中(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程．[尝试解答][母题探究](变设问)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数．解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y．(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型．(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数等来判断拟合效果．(5)写出非线性回归方程．提醒：当数据量较大时，可采用计算器或者数学软件来求回归方程．[跟进训练]4．(源自湘教版教材)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据如表，试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(结果保留三位小数)．时间x/min6080100120140150160170转化率y/%6.139.9915.0220.9231.1138.8547.2555.051．下面四个残差图中，可以满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是()ABCD2．下列说法错误的是()A．残差点分布的带状区域越窄，回归方程的拟合效果越好B．残差平方和越小，决定系数R2越大C．决定系数R2可以大于1D．通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的精确值3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则________同学的试验结果体现了A，B两变量更强的线性相关性．4．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝lny，求得经验回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的经验回归方程为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对模型刻画数据效果的分析有哪些常见方法？2．决定系数R2与相关系数r一样吗？第2课时回归分析及非线性回归模型[必备知识·情境导学探新知]知识点1(1)观测值预测值残差(2)残差图越窄(3)残差残差分析知识点2(1)横轴为对称轴的水平带状区域内(3)小大思考提示：0≤R2≤1．课前自主体验1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．A[R2越大拟合效果越好．]3．0.96[当x＝175cm时，y＝0.85×175－85.71＝63.04(kg)，∴相应的残差e＝64－63.04＝0.96(kg)．][关键能力·合作探究释疑难]例1(1)A(2)C[(1)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．(2)样本点(r，1)的残差为1－2r－a，样本点(1，s)的残差为s－a－2．依题意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3．]跟进训练1．B[由于y＝bx＋40过样本中心点(10，8所以8＝10b＋40，则b＝－3.2，因此y＝－3.2x＋40．当x＝11时，y＝－3.2×11＋40＝4.8，所以残差e＝5－y＝5－4.8＝0.2．]2．6[原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大．]例2解：(1)x＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y＝15×(12＋10＋7＋5所以b＝＝620-5×18a＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是y＝－1.15x＋28.1．(2)列出残差表为yi－y00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以所以回归模型的拟合效果很好．跟进训练3．解：(1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．由表中数据，得x＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)y＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487i=1计算得b≈0.183，a≈6.285．故所求经验回归方程为y＝6.285＋0.183x．(2)列表如下：yi－y0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－y－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得所以R2＝1－0.0131814.6783≈0.9991回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．例3解：(1)作出散点图，如图1所示．由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是选择y＝c(2)令z＝lny，则z＝bx＋x123456z1.792.483.223.894.555.25相应的散点图如图2．从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．a＝z－bx＝1.115，得z＝则有y＝e0.69x+1.115．母题探究解：∵y＝e0.69x+1.115，∴当x＝7时，y≈382(个)，即第7天细菌繁殖个数约为382个．跟进训练4．解：根据收集的数据作散点图(图1)．观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系．根据已有的数学知识，可以认为样本点分布在指数曲线y＝c1ec2x的附近，其中c1和c为