新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布微专题2离散型随机变量均值与方差的实际应用学生用书新人教A版选择性必修第三册

微专题2离散型随机变量均值与方差的实际应用离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，因此在实际决策问题中，常借助均值与方差的取值来决策一些实际问题．类型1均值的实际应用【例1】(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．[尝试解答]解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化．(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．(3)回归：利用所得数据，对实际问题做出判断．类型2方差的实际应用【例2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：X012P0.60.10.3Y012P0.50.30.2根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较．[尝试解答]随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．类型3决策问题均值在决策问题中的应用【例3】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列问题．(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．[尝试解答]数学期望在决策型问题中的应用数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平．随着社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，如个人的采购，投资风险分析，企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动．人们常把数学期望作为决策参考的重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论．方差在决策问题中的应用【例4】某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为712，16，a．项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[尝试解答]均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．微专题2离散型随机变量均值与方差的实际应用例1解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．例2解：E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81．E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高．例3解：(1)设乙公司送餐员送餐单数为a，当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝550当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝1050当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝1050当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2050当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550故X的所有可能取值为228，234，240，247，254．故X的分布列为X228234240247254P11121故E(X)＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．例4解：(1)依题意，得712＋16＋a＝1，解得设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为X10.4x－0.2x0P711X20.3x－0.1xPbc所以E(X1)＝0.4x×712＋(－0.2x)×16＋0×14＝E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2．①又b＋c＝1，②由①②，解得b＝34，c＝1所以a＝14，b＝34，c＝(2)选择项目B．理