新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值学生用书新人教A版选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值学习任务1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算)2．掌握两点分布的均值．(数学运算)3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析)已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数．我们可求得X的分布列如下表：X012P771现在我们关心的是，取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？知识点1离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝__________＝i(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的________．(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝________．均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．(1)离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？(2)随机变量的均值与样本平均值有什么关系？知识点2两点分布的均值若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． ()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． ()(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4． ()(4)随机变量X的均值E(X)＝x1+x22．已知X的分布列为X－1012P1311则X的均值为________．3．设X的分布列为X1234P1111Y＝2X＋5，则E(Y)＝________．类型1求离散型随机变量的均值【例1】(源自北师大版教材)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？[尝试解答]求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．(2)求出X取每个值的概率．(3)写出X的分布列(有时也可省略)．(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值．类型2离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为X－2－1012P111m1若Y＝－2X，则E(Y)＝________．[尝试解答][母题探究]1．本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________．2．本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－112，则a的值为________关于离散型随机变量均值性质的应用若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为实数，要求E(ξ)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．[跟进训练]2．已知随机变量X的分布列是X123P11a则E(2X＋a)＝()A．53B．73C．72类型3离散型随机变量均值的实际应用【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X．(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[尝试解答]解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．[跟进训练]3．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．1．(多选)下列说法正确的是()A．随机变量X的均值就是数学期望，简称期望B．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数C．均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平D．随机变量的均值就是样本的均值2．若随机变量X的分布列为X146P0.550.30.15则其数学期望E(X)等于()A．1B．13C．4.5D．3．已知随机变量X的分布列为X－101P11m若η＝aX＋3，E(η)＝73，则a＝(A．3B．2C．1D．－24．已知小伟投篮命中率p＝0.6，则小伟投篮一次命中次数X的均值为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出离散型随机变量的均值公式吗？2．两点分布的均值是什么？3．离散型随机变量的均值有哪些性质？7.3.1离散型随机变量的均值[必备知识·情境导学探新知]知识点1(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(2)平均水平(3)aE(X)＋b思考提示：(1)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．课前自主体验1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．14[E(X)＝－1×14＋0×38＋1×14＋3．323[E(X)＝1×16＋2×16＋3×13所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×176＋5＝323[关键能力·合作探究释疑难]例1解：设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3故X的分布列为X012P133根据均值的定义，可知E(X)＝0×110＋1×35＋2×跟进训练1．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C2(2)X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝C83C103＝715，PP(X＝2)＝C2所以X的分布列为X012P771所以E(X)＝0×715＋1×715＋2×例21715[由随机变量分布列的性质，得14+13+15＋m＋故E(X)＝－2×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×-1730＝17母题探究1．－6215[由本例知E(X)＝－17则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×-1730－3＝－622．15[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－11解得a＝15．]跟进训练2．C[因为12＋13＋a＝1，所以所以E(X)＝12所以E(2X＋a)＝2E(X)＋16＝例3解：(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4故X的分布列为X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．跟进训练3．解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．(2)依题意知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．[学习效果·课堂评估夯基础]1.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平，故A、B、C正确．随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值，故D错误