新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理章末综合提升学生用书新人教A版选择性必修第三册

第6章计数原理章末综合提升类型1两个计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性．2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养．【例1】(1)有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有________种不同的停放方法．(用数字作答)ABCDEF(2)某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天，已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有________种．[尝试解答]类型2排列与组合的综合应用1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则．2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算素养．【例2】在高二(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？[尝试解答]类型3二项式定理的应用1．二项式定理是计数原理的重要内容之一，是高考的热点．一般以选择、填空的形式考查，试题难度为易，常从以下几个方面考查：(1)考查二项展开式的通项Tk＋1＝Cnkan－kb(2)考查各项系数和，二项式系数和．(3)考查二项式定理的综合应用，考查对二项式定理的掌握和灵活运用．2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养．【例3】已知在x-23xn的展开式中，第5项的系数与第3(1)求展开式中的所有有理项；(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；(3)求n+9(4)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中含x2的项的系数[尝试解答]章末综合提升例1(1)72(2)1128[(1)因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有2×2×6种停法，再在第二行分类讨论停放剩下的车，第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，第二辆红车如果不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，因此共有3×2×2×6＝72(种)情况．(2)以甲、丙的位置分三类．第一类：甲、丙相邻且安排在第一、二天，由于甲不安排在第一天，则丙安排在第一天，甲安排在第二天，其余5人有A55第二类：甲、丙相邻且安排在第二、三天，则有A22第三类：甲、丙相邻且安排在第三天及以后，则甲、丙相邻有4A22种排法，乙有4种排法，其余4人有A44种排法，所以共有4A根据分类加法计数原理知，满足条件的安排方式共有A55＋A22A55＋4A例2解：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5040(种第二步，再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A44＝24(种)由分步乘法计数原理，共有5040×24＝120960(种)排法．(2)第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，有A74由分步乘法计数原理，共有A66A74＝604800(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12所以节目演出的顺序有A1212A1010＝例3解：(1)由Cn4(－2)4∶Cn2(－2)2＝解得n＝10(负值舍去)，通项为Tk＋1＝C10k(x)10-k-23xk当5－5k6为整数时，k可取0，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．(2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则C解得193≤k≤223