新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第2课时组合的综合应用学生用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时组合的综合应用学习任务1．能应用组合知识解决有限制条件的组合问题．(逻辑推理)2．掌握解决组合实际问题的常用方法．(逻辑推理)类型1有限制条件的组合问题【例1】3.15消费者权益日，工商局对35件奶制品进行抽样调查，已知其中有15件不合格．现从35件奶制品中选取3件．(1)其中不合格品A必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中不合格品B不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？[尝试解答]有限制条件的两类组合问题(1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[跟进训练]1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？(1)选出2名教师参加会议，恰有1名男教师；(2)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师；(3)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师．类型2几何中的组合问题【例2】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含点C1的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？[尝试解答](1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．[跟进训练]2．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？类型3排列与组合的综合问题选派问题【例3】(2023·黑龙江省哈九中月考)有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生到3个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则不同的分派方案共有________种．(用数字作答)[思路导引]男医生甲是特殊对象|分类解答[尝试解答]选派问题的解题策略(1)求解选派问题时，要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，并注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序．(2)解选派问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．因此很多同类型试题都可转化为选派问题进行求解．(3)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，这是处理选派问题的一般方法．“多面手”问题【例4】(2023·上海市延安中学期末)有8名划船运动员，其中3人只会划左舷，3人只会划右舷，其他2人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有________种．[尝试解答]解决“多面手”问题时，依据“多面手”参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．[跟进训练]3．(2023·海南省琼海市期中)某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从6人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)4．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()A．27种 B．24种C．21种 D．18种2．(多选)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动．若选出的4人中既有男生又有女生，则()A．若选1男3女有4种B．若选2男2女有18种C．若选3男1女有16种D．共有34种不同的选法3．4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同的安排方法为()A．12 B．10C．8 D．64．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行．(1)它们共能构成________个平行四边形；(2)共有________个交点．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．解决有限制条件的组合问题常用方法有哪些？2．解决有限制条件的组合问题的原则是什么？3．“分组”问题与“分配”问题是一回事吗？中国古代的排列组合我国古代有许多与排列组合有关的有趣例子．古老的《周易》中有一种叫作“易卦”的图形，它是由两种不同的线条每次取6条由下至上重叠而成(如图1)．连续的线条叫作阳爻，断开的线条叫作阴爻，阳爻与阴爻统称为爻．每一个易卦都由6个爻组成，每一爻都有取阳爻或取阴爻两种方法，所以，易卦共有2×2×2×2×2×2＝26＝64(个)．《史记》里记载了一个“田忌赛马”的故事．齐王经常和他的大臣田忌赛马，双方各有上马、中马、下马一匹，每次比赛时三匹马各出场一次，一对一地进行比赛，共赛三场，每场赌注为一千金．田忌的马与齐王的马相比略有逊色．田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马和下马；田忌的中马不敌齐王的上马和中马，但胜过齐王的下马．开始，田忌总是用自己的上马、中马和下马分别去对齐王的上马、中马和下马，屡战屡败．后来田忌的谋士孙膑分析了比赛共有3！＝6(种)可能的结果，其中只有一种对田忌有利．于是孙膑让田忌用下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马，用上马对齐王的中马，结果两胜一负，反而赢得一千金．唐代科学家僧一行(683－727)和宋代科学家沈括(1031－1095)都曾经讨论过围棋可能出现的局势总数问题，其结果是一个天文数字．围棋盘纵横各有19路，共19×19＝361(个)格．每个格点都有“黑子”“白子”“无子”3种可能，因而有3361种不同的棋局．当然这只是理论上的，有些棋局不合棋理，不大可能出现在实际对弈中．但世事无绝对，图2展现的人工智能程序AlphaGo与人对弈的一盘棋，它的很多下法让专业棋手大吃一惊．这说明在“大数据”面前，人类的计算力处于劣势，因此不能仅凭经验去否定掉一些看似价值不大的数据．第2课时组合的综合应用[关键能力·合作探究释疑难]例1解：(1)从余下的34件奶制品中，选取2件有C342＝561(种所以不合格品A必须在内的不同取法有561种．(2)从34件可选奶制品中，选取3件，有C343＝5984(种)所以不合格品B不能在内的不同取法有5984种．(3)从20件合格品中选取1件，从15件不合格品中选取2件，有C201C152＝2100所以恰有2件不合格品在内的不同取法有2100种．(4)选取2件不合格品，1件合格品有C201C152种取法，选取3件不合格品有C153种取法，共有选取方法所以至少有2件不合格品在内的不同取法有2555种．(5)法一(间接法)：选取3件奶制品的取法总数为C353，选取3件不合格品的取法总数为C153，因此共有选取方法C353所以至多有2件不合格品在内的不同取法有6090种．法二(直接法)：共有选取方法C203＋C所以至多有2件不合格品在内的不同取法有6090种．跟进训练1．解：(1)2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有C61C41＝6×4＝24(2)法一(直接法)：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C61C41种选法，2男0女有C62种选法．根据分类加法计数原理，共有C法二(间接法)：选出2名教师参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C102－C42(3)法一(直接法)：至多有1名男教师包括两类：1男1女有C61C41种选法，0男2女有C42种选法．由分类加法计数原理，有C法二(间接法)：选出2名教师参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C102－C62例2解：(1)法一：可作出三角形C63＋C61·C42其中以C1为顶点的三角形有C52＋C51·C法二：可作三角形C103－C43其中以C1为顶点的三角形有C52＋C51·C(2)可作出四边形C64＋C63·C61跟进训练2．解：法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C42C81＝第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C41C82＝第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C83＝56(个)由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．法二：从12个点中任意取3个点，有C123＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C43＝4故这12个点能构成三角形的个数为C123－C43例390[法一：分两类完成．第一类：甲被选中，有C31C31C2第二类：甲不被选中，有C32C31A3根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90(种)．法二：分两类完成．第一类：地区A分派女医生，有C31第二类：地区A分派除医生甲之外的男医生，有C31C31C3根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90(种)．]例437[设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的3人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的2人}．先分类，以集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人．第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C53种选法，同理可得第②③④类情况的选法种数．故不同的选法共有C33C53跟进训练3．180[法一：先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的3人中选出1人参加会议丙．根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C62C41C法二：先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出2人分别参加会议乙、丙．根据分步乘法计数