第四章 指数函数与对数函数 单元综合测试卷（解析版）

第四章指数函数与对数函数单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】指数函数（且）过定点，所以，当时的值恒为2，即过定点，故选：B2．在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选:D.3．函数零点个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由得：或解得或．因此函数共有2个零点．故选：B.4．下列命题中正确的是（

）A．命题“，都有”的否定是“，使得”B．函数的零点有2个C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1D．函数在上只有一个零点，且该零点在区间上【答案】D【解析】选项A：命题“，都有”的否定是“，使得”，选项A错误；选项B：函数的零点的个数即与图象交点的个数，根据图象可知函数的零点有3个，选项B错误；选项C：因为区间的长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，所以至少需要次二分后，才能使精确度达到，选项C错误；选项D：由对数函数和反比例函数的单调性可知在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知函数在上只有一个零点，且该零点在区间上，选项D正确；故选：D5．计算（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B6．百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为，同样经过一个学期的学习情况为.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的倍还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数据：）（

）A． B．77 C． D．200【答案】B【解析】依题意，设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的100倍，则，即，则.故选：B.7．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．8．设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知函数，有2个不同的零点；令，得，有2个对应的根，根据判别式法则有与两种情况：当时，即，得，即，解得，即，此时无解，所以此种情况不符题意；当时，即，得；设的实根为：和，不妨设，则，则方程与一共有两个不等实根．进一步可知：方程和有且仅有一个方程有两个不等实根．即和中一个方程有两不等实根，另一个方程无实根．因为，所以，即，即，则，设，则，则，所以，解得，，，即．故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C．> D．【答案】ACD【解析】对于A，因为在上递减，且，所以，所以A正确，对于B，因为在上单调递增，且，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，即，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：ACD.10．设指数函数，且，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，，所以，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误；故选：ABC．11．已知二次函数有两个零点，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】的两个零点，，且，因此，由于，所以恒成立故，对于A，，故A正确，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为，，且因此两个根，，故D错误，故选：ABC12．已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数的取值范围是C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为【答案】AC【解析】对于A：因为的定义域为，所以恒成立，当时，显然不恒成立，故，所以，解得，即实数的取值范围是，故A正确；对于B：因为的值域为，所以函数的值域有子集，当时，此时的定义域为，值域为，符合题意；当时，解得，综上可得实数的取值范围是，故B错误；对于C，因为函数在区间上为增函数，当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意；当时，，解得；综上可得，故C正确；对于D，当时，，由，即，可得，解得，即不等式的解集为，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则大小关系是.【答案】【解析】因为在单调增，所以，即，因为在单调减，所以，即综上，.故答案为：.14．若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为.【答案】1【解析】由题意，正实数a、b、c均不为1，设，则，，，即，，，由，得，即，即.故答案为：1.15．已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是.【答案】【解析】根据题意，由指数函数可知，当时，，又在区间内恒有，所以可得；易知函数对于恒成立，所以函数的定义域为，且函数在上单调递减；又，根据复合函数单调性可知函数的单调递减区间是.故答案为：16．已知函数，若关于的方程有个不同根，则整数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根，令，，即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.令，若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得，若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，综上，∴.故答案为：

.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.18．（12分）推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每日处理厨余垃圾的成本为（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.(1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？【解析】（1）当时，代入中，故成本，故收益为（元）；（2）设日纯收益为当时，，所以当时，日纯收益最大，为1200元当时，，当时，的最大值为1288.，该公司每日处理的㕑余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.19．（12分）已知函数.(1)判定函数的奇偶性，并加以证明；(2)判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集.【解析】（1）是奇函数，理由如下：由题意，解得，即的定义域关于原点对称，且，即，所以是奇函数.（2）由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增，由（1）可知的定义域为，且是奇函数，所以，因为在定义域上单调递增，所以有，解不等式组得，即，所以不等式的解集为.20．（12分）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(2)求函数，的最小值.【解析】（1）定义在R上的奇函数和偶函数，则，∵①，∴，即②，联立①②解得:，在上单调递增，证明如下:设，且，，，，，即，在单调递增.（2），令，可知时单调递增，则，，令，当，即时，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，则；综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.21．（12分）已知函数（且）．(1)若函数为奇函数，求实数的值；(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立．即，则，即．又因为，所以，故．（2）因为，所以．由，得到，又，故只需要，即对任意恒成立．因为，所以，故对任意的恒成立．因为在为减函数，所以，故．综上所述，．22．（12分）设函数是偶函数．(1)求k的值；(2)设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数n的取值范围；(3)设，当m为何值时，关于x的方程有实根．【解析】（1）由函数是定义域在R上的偶函数，则对于，都有，即，即对于，都有，得．（2）结合（1）可得，则，令，由在R上单调递增，在R上单调递减，所以在上单调递增，得，则不等式对任意的