第三章 函数的概念与性质 章末题型归纳总结 （解析版）

第三章函数的概念与性质章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域经典题型二：求函数的解析式经典题型三：求函数的值域经典题型四：函数的单调性经典题型五：函数的奇偶性经典题型六：函数性质的综合应用经典题型七：幂函数经典题型八：函数的实际应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域例1．（2023·广东深圳·高一校考期中）函数的定义域是.【答案】【解析】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：例2．（2023·上海松江·高一校考期末）函数的定义域为（用区间表示）.【答案】/【解析】由题意可得且，故定义域为：例3．（2023·河南新乡·高一校联考期末）函数的定义域为．【答案】【解析】函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：例4．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是．【答案】【解析】函数的定义域为，于是有，即函数的定义域，故答案为：例5．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，则，所以函数的定义域为，故答案为：.例6．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】由题意得，解得，所以的定义域为，故答案为：例7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为；由解得，因此的定义域为.故答案为：例8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为则的定义域为【答案】【解析】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得故答案为：.例9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】因为，即，所以，所以，所以.故答案为：.例10．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则函数的定义域是.【答案】【解析】函数的定义域为，即，得，所以函数的定义域为，故答案为：经典题型二：求函数的解析式例11．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数且，则函数的解析式为．【答案】【解析】设，由得，即，所以，解得，所以．故答案为：例12．（2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数．且．则．【答案】【解析】设，则，，所以，又，因此，解得，所以，故答案为：.例13．（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）已知，则．【答案】【解析】令，，，即.故答案为：例14．（2023·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式是.【答案】【解析】令，则，由可得，其中，故函数的解析式是.故答案为：.例15．（2023·全国·高一专题练习）已知，则.【答案】【解析】令，则且，所以，所以函数的解析式为.故答案为：例16．（2023·江苏盐城·高一统考期中）已知函数满足，则=.【答案】【解析】设，，则，则函数.故答案为：例17．（2023·全国·高一专题练习）已知，则．【答案】【解析】设（），则，，（），则.故答案为：例18．（2023·上海·高一专题练习）已知函数满足，其中且，则函数的解析式为【答案】【解析】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1）与已知方程，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得，令，则，所以，所以.故答案为：.例19．（2023·高一课时练习）已知函数满足，则的解析式为.【答案】【解析】，∴将x换成，得，消去，得，即.故答案为经典题型三：求函数的值域例20．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域.(1);(2);(3)，(4)【解析】（1）设，则，所以，根据二次函数的图象和性质，函数的值域为.（2）函数的定义域为，，所以函数的值域为.（3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增，所以函数的值域为.（4），，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立.故函数值域为.例21．（2023·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).【解析】（1）由于，且；所以可得，因此函数的值域是．（2）令，所以，即，当时，，即函数的值域为.（3）易知需满足，即，即函数定义域为；，由二次函数性质可得，所以的值域为．例22．（2023·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因为，所以，所以函数的值域为.（2）由，可得其对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由当时，；当时，，所以函数的最大值为，所以函数在区间上的值域为.（3）由函数，可得其定义域为，则，即，所以函数的值域为且.（4）令，则，则，根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，当时，，所以函数的值域为.例23．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．（3）（分离常数法）

，因为，所以，所以故函数的值域为．（4）（换元法）

设，则，且，所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故函数的值域为．（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为．（7）由知，整理得．当时，方程无解；当时，，即．故所求函数的值域为．例24．（2023·高一校考课时练习）求下列函数的值域:(1)，(2)，(3)，(4)【解析】（1）由题意可得：，因为，则，所以原函数的值域为.（2）因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以原函数的值域为.（3）令，解得，可得函数的定义域为，因为，可得所以原函数的值域为.（4）设，则，所以原函数转化为，因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，可知当时，函数取到最大值，所以原函数的值域为.经典题型四：函数的单调性例25．（2023·高一课时练习）定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：（1）函数的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）函数的单调递增区间是；单调递减区间是．【答案】【解析】因为的定义域为，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象与的图象关于轴对称，所以的单调递增区间是；单调递减区间是；又的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是.故答案为：，，，.例26．（2023·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为.【答案】【解析】由题意可得，即，解得：，所以函数的定义域是，是由和复合而成，因为对称轴为，开口向下，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，而单调递增，所以的单调递增区间是，故答案为：.例27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的递减区间是.【答案】【解析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性.由题意，当时，函数单调递减；当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；当时，函数单调递增；综上所述，函数的单调递减区间为，故答案为：.例28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当时，，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到，则在上单调递减，由题意得，解得，则的取值范围为.故答案为：.例29．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在上单调递减，对任意，均有，记，，则函数的最小值为．【答案】3【解析】设，则，又，∴，∵在上单调递减，∴，得，得，得或（不合题意），∴．当且仅当时“=”成立．故答案为：3.例30．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，则，即，同时在区间上恒成立，又在区间上是增函数，所以，即，所以实数a的取值范围是.故答案为：.例31．（2023·全国·高一专题练习）设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】①当时，当时，，故趋近于时，趋近于，故不存在最大值；②当时，，故不存在最大值；③当时，当时，；当时，，故若存在最大值，则，即；综上所述，实数a的取值范围为；故答案为：．例32．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为，则．【答案】#【解析】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，因为在区间上的最大值为，所以当，即时，可得函数，即，此时方程无解；当且，即时，函数，不符合题意，舍去；当，即时，可得函数，即，解得，综上可得，实数的值为.故答案为：#.例33．（2023·湖北武汉·高一校联考期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是.【答案】【解析】，，，则不等式等价为，函数在定义域上为增函数，不等式等价为，即，解得，不等式的解集为，故答案为：.例34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】对任意的，且都有成立，不妨设，则，故函数在上为增函数，由对恒成立，所以对恒成立，所以，即，，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：．例35．（2023·全国·高一假期作业）定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且f（x）在（－∞，2）上是增函数，则f（－1）与f（3）的大小关系是．【答案】/【解析】依题意得f（3）＝f（1），且－1＜1＜2，由函数f（x）在（－∞，2）上是增函数得f（－1）＜f（1）＝f（3）．故答案为：例36．（2023·全国·高一课堂例题）证明函数在区间上递减，在区间上递增，并指出函数在区间上的最值点和最值．【解析】设任意，且，则有，当时，，所以有，所以函数在区间上是递减的；当时，，所以有，所以函数在区间上是递增的；所以函数在区间上处取到最小值，最小值为例37．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【解析】设，则，从而，即，又，即，故f（x）在R上是增函数.例38．（2023·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；【解析】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，，所以，即，所以函数在单调递减.例39．（2023·天津·高一统考期中）已知函数是奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性并说明理由.【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，即，因为不恒为0，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以的解析式为.（2）在区间上的单调递减.证明：任取且，只需证明.易知，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以在区间上的单调递减.经典题型五：函数的奇偶性例40．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）已知（，且），．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)证明函数在上是增函数．【解析】（1）由已知（，且），，则，；（2）由已知，得，所以函数为偶函数；（3）证明：任取，，且令，即，则，即，所以函数在上是增函数.例41．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式;(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;(3)解不等式.【解析】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意；（2）函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即，因此函数在上是增函数.（3），，，解得，不等式的解集为．例42．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1），定义域为，关于原点对称，，故既不是奇函数也不是偶函数.（2），定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数.（3），定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数.（4），定义域为，关于原点对称，，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.（5），定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数.（6），定义域为，关于原点对称，，故函数为奇函数.例43．（2023·全国·高一期中）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)判断该函数的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并证明.【解析】（1），且，，；（2）由（1）得函数，定义域为关于原点对称，函数为奇函数．（3）函数在上是增函数，任取，，不妨设，则，且，，，即，在上是增函数.例44．（2023·甘肃白银·高一校考期中）已知函数，.(1)若在上为偶函数，求，的值；(2)设的定义域为，在（1）的条件下：①判断函数在定义域上的单调性并证明；②若，求实数t的取值范围.【解析】（1）由得，，因为在上是偶函数，则，且定义域关于原点对称：，所以，；（2）①函数在上单调递增；证明如下：由（1）得，，任取满足，，由于，故，，于是，则则在上单调递增.②因为函数的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，由，即，又因为在上单调递增，则，解得，所以实数t的取值范围是.例45．（2023·全国·高一期中）已知定义在,,上的函数满足：①，,,，；②当时，，且．(1)试判断函数的奇偶性；(2)判断函数在上的单调性；(3)求函数在区间,,上的最大值；(4)求不等式的解集．【解析】（1）令，则，得；再令，则，得．对于条件，令，则，所以．又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数．（2）任取，，且，则有．又当时，，而，所以函数在上是增函数．（3）．又由（1）知函数在区间,,上是偶函数且在上是增函数，函数在区间,,上的最大值为（4），,原不等式等价于又函数为偶函数，且函数在上是增函数，原不等式又等价于，即或，不等式的解集为或例46．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间不单调，求出实数的取值范围.【解析】（1）由是定义在上的奇函数，所以，又时，，所以时，，所以，所以函数的解析式为.（2）当时，，若，由知，在上递增，不合题意；，，所以在上先减再增，符合函数在上不单调，综上，实数的取值范围为.例47．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）设函数是增函数，对于任意x，都有．(1)写一个满足条件的并证明；(2)证明是奇函数；(3)解不等式．【解析】（1）因为函数是增函数，对于任意x，都有，这样的函数很多，其中一种为：．证明如下：函数满足是增函数，因为，所以满足题意．（2）证明：令，则由，得，即；令，则由，得，即，故是奇函数．（3）因为，所以，则，即，因为，所以，所以，又因为函数是增函数，所以，所以或．所以不等式的解集为.经典题型六：函数性质的综合应用例48．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（

）A． B．，C．有最大值 D．最小值为0【答案】BD【解析】令，即，解得或，所以可知，所以，故A错误；当时，，故B正确；由（或）可知，函数无最大值，故C错误；当或时，，当时，，所以最小值为0，故D正确.故选：BD例49．（多选题）（2023·江苏南通·高一统考期末）奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则（

）A．B．在区间上是增函数，在区间上是减函数C．是奇函数，且在区间上是增函数D．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不确定【答案】ABD【解析】对于A，若，因为为偶函数，则函数在和上的单调性相反，与函数在区间上是增函数矛盾，所以，故A正确；对于B，因为函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，根据奇函数和偶函数图像的性质，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，故B正确；对于C，令，则在上为减函数，故C错误；对于D，设，其定义域为，由题意得，则，所以不具有奇偶性.因为在上是增函数，而在区间上都是增函数，则在区间上是减函数，所以在区间上的单调性不确定，故D正确；故选:ABD.例50．（多选题）（2023·福建福州·高一校联考期中）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（

）A． B．在上的最大值是4C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为【答案】ACD【解析】令，则，即A正确；令，则，又，∴，，则，即C正确；由，即B项错误；由条件可得，当时，，即在定义域上单调递增，，即，即D正确；故选：ACD例51．（多选题）（2023·江西赣州·高一统考期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（

）A．在上是增函数 B．C．为奇函数 D．的值域为【答案】BD【解析】因为，，即，故A不正确；B正确；因为，所以C不正确；因为表示不超过的最大整数，设，则，则，即的值域为，故D正确.故选：BD例52．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（

）A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．【答案】ABD【解析】因为，，取可得，又，所以，A对；取可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；取可得，又，所以，D对．故选：ABD例53．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（

）A．B．C．不等式的解集为D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是【答案】ACD【解析】因为对正数，都有，所以，所以，A错误；由已知，，，所以，又，所以，所以，B正确，任取两个实数，且，则，因为，所以，又当时，，所以，所以，故，所以函数在上单调递增，又不等式可化为，，所以，，（此时已经可以判断C错误）所以，，解得，且，故，C错误；不等式可化为，，所以，，当时，，没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误），当时，，，由已知，，，当时，，所以，若，则且，由已知，，当时，，又，所以不存在满足条件，所以的取值范围是，D错误，故选：ACD.例54．（多选题）（2023·重庆长寿·高一统考期末）若函数在定义域内内的某区间是增函数，且在上是减函数，则称在上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若则不存在区间使为“弱增函数”B．若则存在区间使为“弱增函数”C．若则为上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【解析】对于A，，则在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间使为“弱增函数”；对于B，在上为增函数，，易知它在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”；对于C，为奇函数，且时，为增函数，故由奇函数的对称性可知，为上增函数；为偶函数，其在时为增函数，故在时为减函数.故不是上的“弱增函数”；对于D，若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，故，故，又在上为减函数，则由双勾函数单调性可知，，则综上有.故选：ABD.例55．（2023·福建漳州·高一校考期中）已知定义在区间上的函数．(1)若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；（直接写出答案）(2)当时，在区间上是否存在实数，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】（1），，当且仅当时取得等号，且在上单调递减，在上单调递增，要使函数分别在区间，上单调，则只需即可，即，解得；（2）①当,,时，，，，由得，，即，，由,，解得，由,，，，，，由，可得．②当,,，，由，可得，再由，得，把代入得，，且，，，综上，当,,时，；当,,，．例56．（2023·全国·高一期中）已知函数(1)设在区间的最小值为，求的表达式；(2)设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．【解析】（1）由于，当时，对称轴为，当即时，在上为增函数，；当即时，；当即时，在上为减函数,综上可得．（2），在区间上任取，则（*）∵在上为增函数，∴∴（*）可转化为对任意，在区间上都成立．即

因为，所以，由得，解得；所以实数a的取值范围是．例57．（2023·高一单元测试）已知偶函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，，.(1)证明：在上是单调递增函数；(2)解不等式.【解析】（1）证明：设，则，，所以即，所以，所以在上是单调递增函数；（2）因为，所以，因为是偶函数，所以不等式可化为，又因为函数在上是增函数，所以，解得，且，故不等式的解集为.经典题型七：幂函数例58．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数满足：①在上为增函数，②对，都有，求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.【解析】因为在上为增函数，所以，解得，又，所以，或．又因为，所以是偶函数，所以为偶数．当时，满足题意；当时，不满足题意，所以，又因为在上递增，所以，，故时，的值域是．例59．（2023·浙江金华·高一校考期中）已知点在幂函数的图像上.(1)求的解析式；(2)若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解析】（1）设幂函数，由点在幂函数的图象上，所以，解得，所以.（2）函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是.①当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；②当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；综上知，存在实数，使得有最小值为.例60．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式的a的取值范围.【解析】（1）∵是幂函数，∴，解得m=3.由在上单调递增得，解得.∵，∴或.当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.综上，，.（2）由（1）得，，∴.∵函数在和上均单调递减，∴当时，，当时，.∴满足不等式的条件为或或，解得或，∴满足不等式的的取值范围.例61．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）已知幂函数为奇函数.(1)求实数m的值；(2)求函数（）的最小值.【解析】（1）因函数是幂函数，则，解得或，有或又函数是奇函数，则是奇数，即有，所以实数m的值是.（2）由（1）知，当时，，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值是1.例62．（2023·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）已知幂函数关于y轴对称，且在上单调减函数．(1)求m的值；(2)解关于a的不等式．【解析】（1）因为幂函数在上单调减函数，所以且，解得或，因为幂函数关于y轴对称，所以是偶函数，故为偶数，从而只有满足题意，从而m的值为1.（2）由(1)中知，，则，即，解得或，故不等式的解集为：或.例63．（2023·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知幂函数，且.(1)求函数的解析式；(2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知，，解得或，当时，，满足，当时，，不满足，所以.（2）.当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，解得，不合题意；当时，在区间上递增，所以，解得.综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.例64．（2023·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中）已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）为幂函数，，解得：或；当时，在上单调递减，不合题意；当时，在上单调递增，符合题意；综上所述：.（2）由（1）得：在上恒成立，在上恒成立，当时，，，解得：，即实数的取值范围为.例65．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增(1)求函数的解析式;(2)设函数，求函数在区间上的最小值【解析】（1）因为幂函数在区间上单调递增，所以，故或1，当时，不满足偶函数，故舍去；当时，满足偶函数，故；（2）因为，由(1)可得，函数的图象的对称轴为，当即时，函数在区间上单调递增，所以，当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当即时，函数在区间上单调递减，所以，综上所述：例66．（2023·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习）已知幂函数是定义在R上的偶函数.(1)求的解析式；(2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围.【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又函数为偶函数，故，；（2）原题可等价转化为对恒成立，当时恒成立；当时，分离参数得，即，由对勾函数图象特点可知在上单减，故，所以；当时，分离参数得，由对勾函数图象特点可知在上单减，，所以，所以例67．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知幂函数，且.(1)求函数的解析式；(2)若均为正数且，求的最小值.【解析】（1）幂函数，则，解得或，当时，是奇函数，舍去；当时，是偶函数，满足.故.（2），，即，，当，即时等号成立，故的最小值为.经典题型八：函数的实际应用例68．（2023·全国·高一专题练习）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【解析】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元由题设，，由图知，故，又，所以．从而，．（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元则，令，则，当时，，此时.故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.例69．（2023·全国·高一专题练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）当时，，当时,，所以.（2）当时，,∴当时，，当时,,当且仅当，即时，，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.例70．（2023·全国·高一专题练习）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【解析】（1）由题可知，，所以；（2）当时，，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．例71．（2023·全国·高一专题练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值，并求出此时x的值．【解析】（1）由题设，得，．（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，从而．故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．例72．（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当时，；当时，；所以.（2）当时，，当时，；当时，.（当且仅当即时，“＝”成立）因为所以，当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.答：（1）2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为.（2）当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.例73．（2023·浙江衢州·高一校考阶段练习）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：当时，，当时，，所以；（2）当时，，此时，当时，即万元.当时，，此时，即万元，由于，所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.例74．（2023·高一课时练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k为工厂工人的复工率().A公司生产t万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）对任意的(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【解析】（1）依题意，，；（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则在恒成立，∴，，，设在上递增，∴，∴.即当工人的复工率达到0.65时，公司不亏损.例75．（2023·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．（1）将A公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？【解析】（1）由题意得，即，，．（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例76．设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A

【解析】令，解得或，则，当或时，，当时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：例77．已知幂函数满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由幂函数的概念可知，，所以，解得或，当时，，则，不满足题意，当时，，则，满足题意，则，其定义域为令，则，所以，，所以当时，取得最小值，故函数的值域为故选例78．若定义在R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C

【解析】定义在R的奇函数在单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所