第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）（全解全析）VIP

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）全解全析1．D【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【详解】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D2．D【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.【详解】根据三力平衡得，即，两边同平方得，即即,解得故选：D.3．D【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项.【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；因为，则，则，则，即，即，，则，，即为的中点，所以，，C错，D对.故选：D.4．B【分析】由向量的线性关系确定的坐标，应用坐标公式及已知模长列方程求参数a.【详解】由，又，所以，解得或（经检验均满足）.故选：B5．C【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，，所以，，又因为函数在内单调递增，所以，，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，，因为，则，因为存在最大值，则，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函数化为的形式求最值；③利用和的关系转换成二次函数求最值；④形如或转换成二次函数求最值.6．B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.故选：B7．B【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后根据三角形相似将转为求线段和最短，然后根据数形结合即得.【详解】设，，则，，即C在以为圆心，2为半径的圆上，如图，取，则，又，所以有～，所以，又因为，，所以．故选：B.8．A【分析】取的中点，作交于，过点作，连接，根据三角形重心和外心的定义可知，，在中，分别求出及，再利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：如图，取的中点，作交于，过点作，连接，根据三角形重心的定义可知，中，，则，所以和均为等腰直角三角形，，则，根据三角形外心的定义可知，由，则，则，，则，则，因为，，所以，所以，则，在中，，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角形的三心问题，在三角形外心和重心的基础之上利用余弦定理解三角形的问题，关键是理解外心和重心的定义，有一定的难度.9．BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.10．ACD【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，，，与未必共线，A错误；对于B，若，则与方向相反，故，B正确；对于C，由得：，即，不能推出，C错误；对于D，由得：，但与方向未必相同，不能得到，D错误.故选：ACD.11．ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.【详解】如图，作,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系，则,设，则,由可得，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，故，故D正确，故选：ABD12．ACD【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；B选项：由题意得的范围，即可得到的范围；C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可；D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可.【详解】在中，由余弦定理得，A正确；，则，所以，B错误；易得当时，取最大值，C正确；，其中，D正确．故选：ACD.13．【分析】利用向量的坐标运算表达出的坐标，从而可得，再求向量的模即可得出答案.【详解】向量，，，又，，，，故答案为：.14．角A的平分【分析】根据分别表示平行于的单位向量，平分求解.【详解】解：因为，所以，而分别表示平行于的单位向量，所以平分，即平分，所以点D一定在的角A的平分线所在直线上，故答案为：角A的平分15．##.【分析】先根据题意求出，设正的边长为，，在中，由正弦定理可得，则，再利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质可求出的最小值，从而可得答案.【详解】因为，，，所以，设正的边长为，，在中，，即，因为，所以,，在中，由正弦定理得，所以，因为，其中，所以，因为，所以当时，取得最小值，所以的内接正边长的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查数形结合的思想，解题有关键是在中利用正弦定理表示出，从而可表示出，再利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出边长的最小值，考查计算能力，属于较难题.16．【分析】设出得到，由不得关系得到，从而得到最小值.【详解】由题意,可以设，则由得，由，所以，解得：即的最小值是.【点睛】对于向量相关的不等式，最值问题，合理设出向量的坐标，可以大大简化做题难度和计算量.17．(1)(2)(3)(4)【分析】平面向量的线性运算法则依次求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.18．(1)(2)或【分析】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.【详解】（1）由题中的条件可得，，若与平行，则有，解得；（2）设，所以，又，由，可得，由，可得.解得或，所以或.19．(1)，(2)【分析】（1）先由求得，再利用三角形面积公式可得，结合条件可得，的值，从而利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，从而求得，，再结合二倍角公式与余弦的和差公式求解即可.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，又，即，所以，即，解得（负值舍去），则，所以，则，因为，即，所以.（2）在中，，由（1）可得，则，所以，，则，，所以.20．(1)两船相距海里.(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.21．(1)见详解(2)3(3)【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示，结合，，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.（3）设，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出