第六章 平面向量及其应用综合测试卷（解析版）

第六章平面向量及其应用综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则实数（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B.2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故选：B3．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（

）（，）

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【解析】在中，，则，在中，，，由，得，，所以岳阳楼的高度约为19米.故选：B.4．在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【解析】记，则，，，．故选：A.5．已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故选：D6．在中，（分别为角的对边），则的形状可能是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，得，即，由正弦定理可得：，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：B.7．在中，为边上一点（不含端点），，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为边上一点（不包含端点），即三点共线，且，可得，则，且，由，在中，因为，，，由余弦定理得，所以，整理得，解得或（舍去）.故选：A.8．中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由题意可知：，因为，即，整理得，则．当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知向量，且，则下列选项正确的是（

）A．能作为平面内所有向量的一组基底B．是与夹角是锐角的充要条件C．向量与向量的夹角是D．向量在向量上的投影向量坐标是【答案】AC【解析】因为，所以，则，解得，所以，可得不共线，故A正确；因为向量，，由，解得；又由当平行时，可得，解得，所以B错误；由，因为，故向量与向量的夹角是，所以C正确；有向量在向量上的投影向量为，所以D错误.故选：AC.10．在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD11．在中，若，，，则的面积可能为（

）.A． B． C． D．【答案】AB【解析】根据余弦定理：，即，解得或，，故或.故选：AB12．设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（

）A．若，则满足条件的三角形只有1个B．面积的最大值为C．周长的最大值为D．若为锐角三角形，则的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，因为，，所以满足条件的三角形有2个，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故B正确；对于C，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故C正确；对于D，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，，即，，所以，故D正确．故选：BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，若，则的值为．【答案】【解析】已知向量，，若，则有，∴.故答案为：.14．在中，a，b分别为内角A，B所对的边，b=5，B=30°，若有两解，则a的取值范围为.【答案】.【解析】如图所示，因为△ABC有两解，所以，又因为，所以，解得：.即：a的取值范围为.故答案为：.15．在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.【答案】或【解析】由三角形的面积公式可得，则，因为，则或.当时，由余弦定理可得；当时，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.16．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.【答案】【解析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，因为正方形的边长为，且是中点，则，则，所以；设，其中，则，则，所以，，则，，其中，，当时，有最小值为.所以的最小值是.故答案为：30；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）向量，如图所示，求：(1)；(2)．【解析】（1）由题图知，，，所以，，，所以．（2）结合（1）可得，，所以．18．（12分）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足．(1)求角C；(2)若，求c的值．【解析】（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理，得，因为，所以，则，所以．19．（12分）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

(1)求、的长；(2)求的余弦值.【解析】（1）因为的中点，则，所以，，所以，，所以，，因为为的中点，所以，，则，故.（2）因为，所以，.20．（12分）在中，分别为内角的对边，且．(1)求角A的大小；(2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值．【解析】（1）由及正弦定理得：，即．由余弦定理得，又，所以．（2）由角的内角平分线交于点可知，，所以．21．（12分）如图，在中，是边上的中线．(1)取的中点，试用和表示；(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．【解析】（1）由题意，为的中点，所以，又为的中点，所以．（2）由，，，得，，所以，因为E，F，G三点共线，则，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.22．（12分）已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④.(1)求的长；(2)为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围.上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.【解析】（1）删除条件①：设，，则.在中，，即，同理在中，，即，联立，可得，．即，，故；删除条件④：设，则，在中，，同理在中，，因为，所以，即，解得：，所以；删除条件②：在中，，所以，解得或，不唯一，不符合题意；删除条