第二章 直线与圆的方程（单元重点综合测试）（解析版）

第2章直线与圆的方程（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线方程可整理得到斜率，由斜率和倾斜角关系可求得结果.【详解】由得：，直线的斜率，直线的倾斜角为.故选：C.2．已知圆C的方程为，则圆C的半径为（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【分析】化圆的一般式为标准式得圆C的半径.【详解】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，故选：C3．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．经过点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，直线方程可设为，代入即可求解.【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入，可得，得，故所求直线方程为：故选：C5．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线l的位置关系，求出圆心关于直线l：的对称点，则当M，N，P三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可.【详解】圆：，则圆心，，圆：，则圆心，，因为，则两圆心在直线l的同侧.又圆心到直线l的距离，圆心到直线l的距离，则两圆在直线l的同侧且与直线相离，圆心关于直线l：的对称点为，则，解得，，所以，则当M，N，P三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，所以的最小值为.故选：A.6．已知直线和直线，若，则的值为（

）A．2 B． C．0或2 D．1或【答案】C【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可.【详解】由，得，解得，或.故选：C.7．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.【详解】设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.由可得的直线方程为：.原点到直线的距离为，故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选：A.8．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.【详解】解：由得，所以直线与半圆有个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经过点时，，当直线与圆相切时，，解得或（舍），由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，故选：B.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。9．已知直线，其中，下列说法正确的是（

）.A．若直线与直线平行，则B．当时，直线与直线垂直C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等D．直线过定点【答案】BD【分析】根据直线的平行关系可求得a，判断A；利用直线斜率与垂直的关系判断B；求出直线在坐标轴上的截距判断C；求出直线l所过定点判断D.【详解】对于A，直线与直线平行，则，即，解得或，A错误；对于B，当时，直线为，直线与斜率之积为，此时直线与直线垂直，B正确；对于C，当时，为，直线在x轴上截距为，在y轴上截距为1，二者不相等，C错误；对于D，即，由于，令，则，即直线过定点，D正确，故选：BD10．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】由已知条件可得，即，解得.故选：AD.11．已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（

）A．直线l与直线l1的斜率互为相反数 B．所围成的等腰三角形面积为1C．直线l关于原点的对称直线方程为 D．原点到直线l的距离为【答案】ACD【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断.【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补，所以直线l的斜率为－2，故A正确；直线l过点P（－1，1），∴直线方程l为：,所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误；所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确；所以原点到直线l的距离为，故D正确.故答案为：ACD.12．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上【答案】ABC【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D.【详解】对于A，点，连接，则，

故在以为直径的圆上，而,则以为直径的圆的方程为，将方程和相减得，即直线的方程为，A正确；对于B，由题意知，则的面积为，而的最小值即为原点O到直线的距离，故的面积的最小值为，B正确；对于C，设，则以为直径的圆的方程为，和相减，即得直线的方程为，又，故，即，令，则，即直线过定点，设为E，则，

当时，最小，最小值为，C正确；对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误，故选：ABC【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案.三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。13．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为.【答案】【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程.【详解】设关于直线的对称点为，则线段的中点为，直线的斜率为，则，解得，则.所以反射光线所在直线为直线，直线的方程为，整理得.故答案为：14．两条平行直线与之间的距离为．【答案】【分析】根据两直线平行可求得，由平行直线间距离公式可求得结果.【详解】，，解得：，，即，之间的距离.故答案为：.15．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为．【答案】【分析】设出圆心的坐标，用两种角度表示出半径的表达式，列方程即可求出圆心坐标还有半径，然后求切线长即可.【详解】设圆心坐标为，圆的半径为，由题意，圆心到的距离为，即，又圆心到的距离也是，即，故，整理得，即，则圆心坐标为，半径为，原点到圆心的距离是，于是过原点作圆的切线长为：.故答案为：16．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是．【答案】或【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得.【详解】设，由点，即点满足，即，设点，即恒成立则，圆上所有点到定点最小值大于，又圆，半径为，圆上所有点到定点最小值即为：..即，化简得，解得或.故答案为：或.

四、综合题：共6题，共计70分。17．已知的三个顶点.(1)求边所在直线的方程；(2)BC边上中线的方程为，且，求点的坐标.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）利用点到直线距离公式得到点到直线的距离，求出，再根据得到，根据直线方程得，最后解方程组即可得到答案.【详解】（1）由得边所在直线方程为，即；（2）由得，由（1）知点到边所在直线的距离为，由于点在直线上，，故，即，解得或，所以点的坐标为或.18．已知直线：，直线：.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.(2)若，则解得或,再验证从而得出答案.【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，此时则，解得，②若直线不过原点，则斜率为，解得.因此所求直线的方程为或（2）①若，则解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；当时，直线：，直线：，满足题意；因此所求直线：【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.19．已知圆.(1)过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据直线与圆相切，求得切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程；（2）利用弦长公式，结合已知条件求得直线的斜率，即可求得直线方程.【详解】（1）圆，圆心，半径，又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，又，故满足题意的切线斜率，则过点的切线方程为，即.（2）直线过点，若斜率不存在，此时直线的方程为，将其代入可得或，故直线截圆所得弦长为满足题意；若斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，由弦长公式可得：，解得，也即，解得，则此时直线的方程为：.综上所述，直线的方程为或.20．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：

(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内(2)8.75米【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断；（2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围.【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，因为，，则，依题意得，游客所在位置为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内．（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线过点且和圆相切，①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；②若直线不垂直于轴，设，整理得，所以圆心到直线的距离为，解得或，所以或，即或，观景直道所在直线方程为，设两条直线与的交点为D，E，由，解得，由，解得，所以，答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．

21．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，此时直线l与圆C相切，故符合条件；若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为，即，由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，得，解得，所以直线l的方程为，即，综上所述，直线l的方程为或；（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，此时设l的方程为，联立，得，则，解得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，（1）所以，将（1）代入上式整理得，故为定值．22．已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）已知点，在直线上是否存在点（异于点），使得对圆上的任一点，都有为定值？若存在，请求