第二章 直线与圆的方程(单元重点综合测试)(解析版)_第1页
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第2章直线与圆的方程(单元重点综合测试)一、单项选择题:每题5分,共8题,共计40分。1.已知直线方程为,则该直线的倾斜角为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据直线方程可整理得到斜率,由斜率和倾斜角关系可求得结果.【详解】由得:,直线的斜率,直线的倾斜角为.故选:C.2.已知圆C的方程为,则圆C的半径为(

)A. B.2 C. D.8【答案】C【分析】化圆的一般式为标准式得圆C的半径.【详解】由圆C的半径得,所以圆C的半径为,故选:C3.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为,可得圆的半径为,写出圆的标准方程,利用点在圆上,求得实数的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为,则圆的半径为,圆的标准方程为.由题意可得,可得,解得或,所以圆心的坐标为或,圆心到直线的距离均为;圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为;所以,圆心到直线的距离为.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.4.经过点,且与直线平行的直线方程为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意,直线方程可设为,代入即可求解.【详解】与直线平行的直线方程可设为,代入,可得,得,故所求直线方程为:故选:C5.已知P是直线l:上一点,M,N分别是圆:和:上的动点,则的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】先由两圆的标准方程,求出圆心和半径,然后判断两圆与直线l的位置关系,求出圆心关于直线l:的对称点,则当M,N,P三点共线且经过两圆圆心时,取最小值,求解即可.【详解】圆:,则圆心,,圆:,则圆心,,因为,则两圆心在直线l的同侧.又圆心到直线l的距离,圆心到直线l的距离,则两圆在直线l的同侧且与直线相离,圆心关于直线l:的对称点为,则,解得,,所以,则当M,N,P三点共线且经过两圆圆心时,取最小值,所以的最小值为.故选:A.6.已知直线和直线,若,则的值为(

)A.2 B. C.0或2 D.1或【答案】C【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可.【详解】由,得,解得,或.故选:C.7.过圆上的动点作圆的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.【详解】设圆的动点为,过作圆的切线,切点分别为,则过的圆是以直径的圆,该圆的方程为:.由可得的直线方程为:.原点到直线的距离为,故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为,故选:A.8.若方程有两个不等的实根,则实数b的取值范围为(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】将化为,作出直线与半圆的图形,利用两个图形有个公共点,求出切线的斜率,观察图形可得解.【详解】解:由得,所以直线与半圆有个公共点,作出直线与半圆的图形,如图:当直线经过点时,,当直线与圆相切时,,解得或(舍),由图可知,当直线与曲线有个公共点时,,故选:B.二、多项选择题:每题5分,共4题,共计20分,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的不得分。9.已知直线,其中,下列说法正确的是(

).A.若直线与直线平行,则B.当时,直线与直线垂直C.当时,直线在两坐标轴上的截距相等D.直线过定点【答案】BD【分析】根据直线的平行关系可求得a,判断A;利用直线斜率与垂直的关系判断B;求出直线在坐标轴上的截距判断C;求出直线l所过定点判断D.【详解】对于A,直线与直线平行,则,即,解得或,A错误;对于B,当时,直线为,直线与斜率之积为,此时直线与直线垂直,B正确;对于C,当时,为,直线在x轴上截距为,在y轴上截距为1,二者不相等,C错误;对于D,即,由于,令,则,即直线过定点,D正确,故选:BD10.(多选)点在圆的内部,则的取值不可能是(

)A. B.C. D.【答案】AD【分析】求出实数的取值范围,即可得出合适的选项.【详解】由已知条件可得,即,解得.故选:AD.11.已知直线l过点P(-1,1),且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是(

)A.直线l与直线l1的斜率互为相反数 B.所围成的等腰三角形面积为1C.直线l关于原点的对称直线方程为 D.原点到直线l的距离为【答案】ACD【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补,可求直线l方程,即可判断.【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补,所以直线l的斜率为-2,故A正确;直线l过点P(-1,1),∴直线方程l为:,所以所围成的等腰三角形面积为,故B错误;所以直线l关于原点的对称直线方程为,故C正确;所以原点到直线l的距离为,故D正确.故答案为:ACD.12.已知圆,过直线上一点作圆的两条切线,切点分别为,则(

)A.若点,则直线的方程为 B.四边形面积的最小值为C.线段的最小值为 D.点始终在以线段为直径的圆上【答案】ABC【分析】求出以为直径的圆的方程,和相减,即可得直线的方程,判断A;求出边形面积的表达式,结合几何意义即可求得最小值,判断B;求出直线AB经过的定点,结合几何意义可求得线段的最小值,判断C;根据点和圆的位置关系的判断可判断D.【详解】对于A,点,连接,则,

故在以为直径的圆上,而,则以为直径的圆的方程为,将方程和相减得,即直线的方程为,A正确;对于B,由题意知,则的面积为,而的最小值即为原点O到直线的距离,故的面积的最小值为,B正确;对于C,设,则以为直径的圆的方程为,和相减,即得直线的方程为,又,故,即,令,则,即直线过定点,设为E,则,

当时,最小,最小值为,C正确;对于D,在四边形中,不一定是直角,故点不一定在以线段为直径的圆上,D错误,故选:ABC【点睛】难点点睛:解答本题的难点在于C的判断,解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解,求出直线AB所过的定点,然后利用几何意义即可求解答案.三、填空题:每题5分,共4题,共计20分。13.已知入射光线经过点,被直线反射,反射光线经过点,则反射光线所在直线的方程为.【答案】【分析】求得关于直线的对称点,直线即反射光线所在直线方程.【详解】设关于直线的对称点为,则线段的中点为,直线的斜率为,则,解得,则.所以反射光线所在直线为直线,直线的方程为,整理得.故答案为:14.两条平行直线与之间的距离为.【答案】【分析】根据两直线平行可求得,由平行直线间距离公式可求得结果.【详解】,,解得:,,即,之间的距离.故答案为:.15.已知圆C与直线相切于点,且圆心C在直线上.过原点引圆C的切线,则切线长为.【答案】【分析】设出圆心的坐标,用两种角度表示出半径的表达式,列方程即可求出圆心坐标还有半径,然后求切线长即可.【详解】设圆心坐标为,圆的半径为,由题意,圆心到的距离为,即,又圆心到的距离也是,即,故,整理得,即,则圆心坐标为,半径为,原点到圆心的距离是,于是过原点作圆的切线长为:.故答案为:16.在平面直角坐标系中,已知圆,点,若圆上的点均满足,则实数的取值范围是.【答案】或【分析】将条件坐标化,先转化为恒成立,即圆上所有动点到定点距离的最小值大于,再转化为与圆心距离的不等关系求解可得.【详解】设,由点,即点满足,即,设点,即恒成立则,圆上所有点到定点最小值大于,又圆,半径为,圆上所有点到定点最小值即为:..即,化简得,解得或.故答案为:或.

四、综合题:共6题,共计70分。17.已知的三个顶点.(1)求边所在直线的方程;(2)BC边上中线的方程为,且,求点的坐标.【答案】(1)(2)或.【分析】(1)根据直线的两点式求解直线方程即可;(2)利用点到直线距离公式得到点到直线的距离,求出,再根据得到,根据直线方程得,最后解方程组即可得到答案.【详解】(1)由得边所在直线方程为,即;(2)由得,由(1)知点到边所在直线的距离为,由于点在直线上,,故,即,解得或,所以点的坐标为或.18.已知直线:,直线:.(1)若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程;(2)若,求直线的方程.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论,分别求解即可.(2)若,则解得或,再验证从而得出答案.【详解】(1)①若直线过原点,则在坐标轴的截距都为,显然满足题意,此时则,解得,②若直线不过原点,则斜率为,解得.因此所求直线的方程为或(2)①若,则解得或.当时,直线:,直线:,两直线重合,不满足,故舍去;当时,直线:,直线:,满足题意;因此所求直线:【点睛】易错点睛:本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数,在解决这类问题时,直线在两坐标轴上的截距相等(或互为相反数)时,要注意直线过原点时也满足条件,这是在解题中容易漏掉的情况,在由直线平行求参数时,求出参数时要代回检验,对重合的情况要舍去,这个也是容易出错的地方,要注意,属于中档题.19.已知圆.(1)过点作圆的切线,求切线的方程;(2)若直线过点且被圆截得的弦长为2,求直线的方程.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)根据直线与圆相切,求得切线的斜率,利用点斜式即可写出切线方程;(2)利用弦长公式,结合已知条件求得直线的斜率,即可求得直线方程.【详解】(1)圆,圆心,半径,又点的坐标满足圆方程,故可得点在圆上,则切线斜率满足,又,故满足题意的切线斜率,则过点的切线方程为,即.(2)直线过点,若斜率不存在,此时直线的方程为,将其代入可得或,故直线截圆所得弦长为满足题意;若斜率存在时,设直线方程为,则圆心到直线的距离,由弦长公式可得:,解得,也即,解得,则此时直线的方程为:.综上所述,直线的方程为或.20.某公园有一圆柱形建筑物,底面半径为2米,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道距离5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题:

(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客,是否在摄像头监控范围内?(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内(2)8.75米【分析】(1)建立坐标系,利用直线和圆的位置关系可以判断;(2)根据直线和圆相切求出切线,利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围.【详解】(1)设为原点,正东方向为轴,建立平面直角坐标系,,因为,,则,依题意得,游客所在位置为,则直线的方程为,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,所以游客在该摄像头的监控范围内.(2)由图知,过的直线与圆相切或相离时,摄像头监控不会被建筑物挡住,所以设直线过点且和圆相切,①若直线垂直于轴,则直线不会和圆相切;②若直线不垂直于轴,设,整理得,所以圆心到直线的距离为,解得或,所以或,即或,观景直道所在直线方程为,设两条直线与的交点为D,E,由,解得,由,解得,所以,答:观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米.

21.已知点M(1,0),N(1,3),圆C:,直线l过点N.(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】(1)先判断直线l不存在斜率时符合题意;再设直线l的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列式求解即可.(2)设出直线l的方程,与圆的方程联立,得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明.【详解】(1)解:若直线l的斜率不存在,则l的方程为,此时直线l与圆C相切,故符合条件;若直线l的斜率存在,设斜率为k,其方程为,即,由直线l与圆C相切,圆心(0,0)到l的距离为1,得,解得,所以直线l的方程为,即,综上所述,直线l的方程为或;(2)证明:由(1)可知,l与圆C有两个交点时,斜率存在,此时设l的方程为,联立,得,则,解得,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,(1)所以,将(1)代入上式整理得,故为定值.22.已知圆的圆心在射线上,截直线所得的弦长为6,且与直线相切.(1)求圆的方程;(2)已知点,在直线上是否存在点(异于点),使得对圆上的任一点,都有为定值?若存在,请求

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