2023届高三物理一轮复习69带电粒子在有界匀强磁场中的运动（解析版）

专题69带电粒子在有界匀强磁场中的运动

1.确定圆心的两种方法

方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和

出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示）。

方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点

和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示）。

2.求半径的两种方法

方法一：利用R=笔求半径

qo

方法二：连半径构建三角形，利用三角函数或勾股定理求半径

3.求时间的两种方法

方法一：由轨迹弧长求时间：为弧长）；

V

方法二：由圆弧所对圆心角求时间：或6=言

JbU∖ZJiJ

由圆心角分析时间时注意充分利用圆心角、偏向角、弦切角的关系，如下图所示，轨迹圆弧所对的圆

心角α等于粒子速度的偏向角0,并等于弦切角。的2倍，即0=a=2P=ut.

。宿（偏向角）

/\

√∖

4.带电粒子在三类边界磁场中的轨迹特点

（1）直线边界：进出磁场具有对称性。

XX×

(f)

①等角进出，即射入时粒子速度方向与半径的夹角为以射出磁场时速度方向与半径的夹角也为明

如图(g)所示;

②沿径向射入必沿径向射出，如图(h)所示。

1.(多选)如图所示，在边界闾上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子同时从边界上的。点沿

与可成。角的方向以相同的速度P射入磁场中。则正、负电子()

×××××

×××××

XXRk。XC

poQ

A.在磁场中的运动时间相同B.在磁场中运动的轨道半径相同

C.出边界时两者的速度相同D.出边界点到。点处的距离相等

【答案】BCD

【解析】AC.磁场为直线边界，根据对称性可知，正、负电子出磁场时，速度与边界夹角均为30°,且斜

向右下，大小相等。正电子做逆时针的匀速圆周运动，圆心角为120°,电子做顺时针的匀速圆周运动，圆

心角为60°,设圆心角为α,根据t=捺T=E等可知，正电子运动时间更长，A错误，C正确；

360360eB

2

B.根据evB=m-得r=?可知，正、负电子在磁场中运动的轨道半径相同，B正确；

reB

I).由几何关系可知，正、负电子出边界点到。点处的距离均等于半径，则出边界点到。点处的距离相等,

D正确。

故选BCDo

2.（2022•广西•玉林市第十中学一模）（多选）如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应

强度大小为8,边界的夹角为30°,距顶点6为£的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直A边向磁场内发射

速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为外、电量大小为q,下列说法正确的是（）

a-i

A.从边界A射出的粒子速度方向各不相同

B.粒子离开磁场时到6点的最短距离为科

C.垂直边界劭射出的粒子的速度大小为警

Ð.垂直边界力射出的粒子在磁场中运动的时间为舞

6qB

【答案】BD

【解析】A∙粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在A边上，若粒子能从边界A射出，粒子的速度方向

一定竖直向下，方向均相同，A错误；

B.当轨迹恰好与助边相切时，粒子从历边离开磁场时到6点的距离最短，由几何关系可得（L-

R1）sin30=R1

离6点的最短距离为XS=L-2%

联立解得∆s=⅛B正确；

C.垂直边界劭射出的粒子，轨道半径为是=/由洛伦兹力作为向心力可得qvB=mζ-

解得粒子的速度大小为V*C错误；

m

D.粒子在磁场中的运动周期为T=等

qB

垂直边界助射出的粒子在磁场中运动的时间为T=-T=犬D正确；

3606班

故选BD。

3.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，横截面为正方形a%d的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面

向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断

错误的是（）

d

A.从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等

B.从C点离开的电子在磁场中运动时间最长

C.电子在磁场中运动的速度偏转角最大为“

D.从加边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度

【答案】B

【解析】ABC.电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式7=驷

qB

可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据t=fr

2π

可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所

对应的圆心角"越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；

D.从曲边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式r=%

qB

可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从A边射出的电子的

速度一定大于从ad边射出的电子的速度，I）正确。

本题选错误的，故选B。

4.（2023•全国•高三专题练习）（多选）如图所示，在两直角边均为2/的三角形助W区域内有垂直纸面向内

的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为8,一质量为小电量为g且带负电的粒子从灯/边的中点4垂直于灯/边

射入该匀强磁场区域，不计粒子的重力，下列关于粒子运动的说法正确的是（）

,，w

/'χ

Z

zz×

/ZBX

/'x××

八y

/'x××

MA

ʌ.若该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为舞

ZqB

B.若该粒子要从/W边出射，则该粒子从4点入射的最小速度为V=照

m

C.若该粒子要从/W边出射，则该粒子从4点入射的最大速度为U=曲续

m

D.若该粒子从ΛV边垂直射出，且距离。点的距离为则该粒子入射的速度一定为V=理

m

【答案】CD

【解析】A.当粒子从三角形冏/边出射时，运动时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180,,则

粒子的运动时间为t==；X粤=WA错误;

22qBqB

B.根据牛顿第二定律得qvB=m^-D=迎

1Rm

该粒子要从四边出射，速度最小时应从。点射出，对应的半径苦，对应的速度为V=SB错误；

C.该粒子要从边出射，速度最大时轨迹应与,榔边相切，设此时粒子做圆周运动的轨迹半径为此如图

所示

O2M=√2∕?=L+R∕?=(√2+I)L

因此对应的速度为(⑶D血

V=C正确;

D.根据题意粒子从边垂直射出，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为乙对应的速

度为U=理D正确。

m

故选CDo

5.如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速度V。从A点沿AB边射入边长为a的等边三角形的

匀强磁场区域中，磁场方向垂直纸面向里，大小为B,不考虑粒子的重力，则（）

C

//\、

/\

/\

/%

/X

/\

∕z∖a

Z—1

V0

A.若v0-⅛,则粒子从A、C之间某点离开磁场

3τn

B.若V。=用，则粒子刚好从C点离开磁场

3m

C.若V。=警，则粒子从B、C边中点离开磁场

6m

D.若华更＜v°＜用，则粒子从B、C之间某点射出磁场

6m3τn

【答案】B

【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子运动轨迹，求出粒子临界轨道半径，然后应用牛顿第二

定律求出粒子临界速度，再分析答题.

粒子恰好从C点离开磁场时运动轨迹如图所示：

由几何知识得：0=60°,粒子轨道半径：r=-⅛=^α,粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定

SInO3

律得：qvB=\,解得：v=竽，粒子速度越小，粒子轨道半径越小，当V（I=用时粒子从C点离开磁场，

r3m3m

VoV—时粒子从AC边射出磁场，当v°＞警时粒子从BC边射出磁场，故B正确，ACD错误；故选B.

6.（2022•全国•高三阶段练习）如图所示，等腰梯形abed内存在匀强磁场，边长αb=be=cd=gad,

电子以大小不同的速度从a点沿着ad方向射入磁场，已知垂直于Cd边射出磁场的电子轨迹半径为r,在磁

场中运动的时间为t,则下列说法中正确的是（）

a,A_________yd

∖××××××/

∖××××/

∖××××∕

bc

A.电子的速度越大，运动轨迹越长，在磁场中运动的时间越短

B.垂直于A边射出磁场的电子轨迹半径为什

C.垂直于A边射出磁场的电子在磁场中运动的时间为It

I）.电子从a点运动到6点所用的时间是从a点运动到C点所用时间的2倍

【答案】D

【解析】A.电子在磁场中运动的轨迹半径R=与，电子的速度越大，其在磁场中运动轨迹半径就越大，轨

迹可能越长；但由数学知识可知，在磁场中运动轨迹长的电子在磁场中轨迹所对应的圆心角不一定越大，

例如：从ab射出的所有电子轨迹所对圆心角均为120。，根据t=*∙T=*∙爷=”

2π2πqBqB

可知这些电子在磁场中运动的时间均相等，故A错误；

BC.设αb=be=cd=^ad=I,由数学知识知该等腰梯形的顶角N¾αd=60。，利用几何知识可求得垂宜

于Cd边射出磁场的电子轨迹半径r=2√3∕

在磁场中运动轨迹所对的圆心角为30。，即。=3故有t=如=W

6qB6qB

垂直于A边射出磁场的电子轨迹半径为r=αhsin60o=-l=-r

24

在磁场中运动轨迹所对的圆心角为90。，即。’=?故有t'=Y=岂=3t故BC错误；

D.由数学知识：弦切角等于所夹弧所对圆心角的一半。可知电子从a点运动到分点轨迹所对应的弦为a6,

弦切角等于Nfead=60。，可得轨迹对应的圆心角为8=120。：从a点运动到C点轨迹所对应的弦为ac,圆

心角等于N¾αc=30。，可得轨迹对应的圆心角为。=60。，根据t=4,可知电子从a点运动到6点所用的

qB

时间是从a点运动到C点所用时间的2倍，故D正确。

故选Do

7.（多选）如图所示，竖直平面内一半径为/?的圆形区域内有磁感应强度为8的匀强磁场，方向垂直纸面向

里。一束质量为以电荷量为一g的带电粒子沿平行于直径助V的方向以不同速率从一点进入匀强磁场，入

射点。到直径的距离左日凡不计粒子重力，下列说法正确的是（〉

→⅝'∙

×××

、«*

R

××××

×××

A.若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则粒子在磁场中运动的时间为中

qB

B.若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为黑

4qB

C.若粒子恰好能从N点射出，则粒子的速度为坐

m

D.若粒子恰好能从"点射出，则粒子在磁场中偏转的半径为遮R

【答案】AC

【解析】A∙若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，即粒子在磁场中偏转180°,粒子在磁

场中运动的时间为t=F=JX粤=W选项A正确；

22qBqB

C.若粒子恰好能从JV点射出,连接月V即为粒子做圆周运动的弦长,连接外,由I='R,所以/PoN=120°。

由几何关系可得PN=r=2Rsin600

解得r=√3∕?=?V=CqBR选项C正确；

qBm

B.粒子从P点经磁场到加点的时间为t=里一X等=舞选项B错误；

360qB3qB

D.若粒子恰好能从M点射出，连接掰即为粒子做圆周运动的弦长，连接PO,由4=FR可得NPOM=60°

所以ZIPoM为等边三角形，即PM=R=2rsin60°解得r=^R选项D错误。

故选AC。

8.如图所示，一半径为"的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为必、电荷量为O的负电荷

（重力忽略不计）以速度y沿正对着圆心。的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变角。磁场的

磁感应强度大小为（）

Pmvτnv

J.θD.

qRnsιn-qRcos-

【答案】B

有几何关系可知T=当根据qvB=m-可知B=处=?tan?故选B。

tanɪrqrqR2

9.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，半径分别为爪2〃的两个同心圆，圆心为0,大圆和小圆之

间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的尸点沿收

方向以速度片射入磁场，其运动轨迹所对的圆心角为120°。若将该带电粒子从。点射入的速度大小变为

七，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则也最大为（）

A.√3B.—C.—D乎

42

【答案】B

【解析】粒子在磁场中做圆周运动，如图

由几何知识得r∣=备盗

洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得q%B=nιM解得力=鬻

当粒子竖直向上射入磁场时，粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域，粒子竖直向上

射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径上=ɪ

洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得也」解得W=等则艺=¥ACD错误B正确。

<4r22mv14

故选Bo

10.（2022•河南•濮阳一高模拟预测）（多选）如图所示，在Xa坐标平面第一象限的圆形区域内有垂直

于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为反圆的半径为此与X轴和y轴分别相切于一点和0点,

圆心在C点，在y轴上4（0,|/?）点沿X轴正向射出一质量为加、电荷量为q（q>0）的带电粒子，粒子进

入磁场后经偏转刚好经过圆心C,不计粒子的重力，则下列判断正确的是（）

y

X

A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为B.粒子出磁杨时的速度方向沿y轴正向

C.粒子出磁场时的速度大小为理D.粒子在磁场中运动的时间为空

m

【答案】CD

【解析】A∙根据题意可以得到如图轨迹

圆心为8点，进入磁场的点为4’,出磁场的点为。，因为/(0,,则根据几何关系可得=30°

则N。'生60°得到△/'6C为等边三角形，圆周运动的半径为几A错误；

B.粒子出磁场时速度方向为左向上，与竖直方向成30°,B错误；

C.洛仑兹力提供向心力，则BqD=萼得到U=警C正确；

2

D.粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为120°,则运动时间为t=丝=空D正确；

V3qB

故选CD。

11.(2021•海南)(多选)如图，在平面直角坐标系。町的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁

感应强度大小为以大量质量为加、电量为°的相同粒子从y轴上的P((),百乙)点，以相同的速率在纸面内沿

不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(()≤a≤18(F)°当□=150"时，粒子垂直

X轴离开磁场。不计粒子的重力。则()

B

AX

A.粒子一定带正电

B.当α=45。时，粒子也垂直X轴离开磁场

C.粒子入射速率为2岛BL

m

D.粒子离开磁场的位置到。点的最大距离为36L

【答案】ACD

【解析】ʌ.根据题意可知粒子垂直X轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确;

BC.当α=150°时，粒子垂直无轴离开磁场，运动轨迹如图

粒子运动的半径为r=*⅛=26z

cos60

洛伦兹力提供向心力qvB=m—

r

解得粒子入射速率v="^qBL

tn

若α=45°,粒子运动轨迹如图

根据几何关系可知粒子离开磁场时与X轴不垂直，B错误，C正确；

D.粒子离开磁场距离。点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图

根据几何关系可知（2r）2=（√3Z.）2+£

解得小=3旧LD正确。

故选ACDo

12.（2022•辽宁•大连二十四中模拟预测）（多选）如图所示，为一磁约束装置的原理图，圆心为原点。,

半径为A的圆形区域I内有方向垂直Xoy平面向里的匀强磁场当，环形区域II内（包括其外边界）有方向垂

直XOy平面向里的匀强磁场为=√3B1>,一带正电的粒子若以速度见由小点(0,RO)沿y轴负方向射入磁场区

域I,则第一次经过I、H区域边界处的位置为0,P点在X轴上，速度方向沿X轴正方向。该粒子从1点

射入后第5次经过I、II区域的边界时，其轨迹与边界的交点为0,OQ连线与X轴夹角为J(。未知)。不

计粒子的重力，下列说法正确的是(

；B∖B.O[<Θ：

I42∖II/

A.在I、∏区域内粒子做圆周运动的轨迹圆的半径之比为1:b

B.OQ连线与X轴夹角。=60°

C.粒子从A点运动到。点的时间为(|+#)ɪjɪ

D.若有一群相同的粒子以相同的速度大小又从｛点入射时，速度方向分布在与y轴负向成±60°范围内,

则若想将所有粒子束缚在磁场区域内，环形区域大圆半径"至少为"叱RO

【答案】BC

【解析】A∙由qv0B=

可得在］、II区域内粒子做圆周运动的轨迹圆的半径之比为R1^2=B2rβ1=73:1A错误；

B.粒子每次从II区域返回I区域通过两区域边界时速度偏角都为。，/?为图中所示角，由几何关系

'、

B2Blo

tanβ="=立得β=30°则α=90。-2。=30。

HO3

该粒子从/点射入后第4次经过I、II区域的边界时，即第二次从II区域返回I区域通过两区域边界，此

时速度偏离4点入射速度60。。此后在I区域转过;圆周，即从4点射入后第5次经过I、II区域边界处的位

置为0。由儿何关系可知，OQ连线与X轴夹角。=60°B正确；

C.粒子从4点运动到。点的时间为每次偏转运动时间为

t=3X2叫I2X24。0.2吗=3"Ro∣g¾=(3∣8巧叫C正确：

4V0360V02V09v0\29JV0

I).速度方向分布在与y轴负向成60。向X轴正向偏转时，则若想将所有粒子束缚在磁场区域内，环形区域

大圆半径4最小为如图所示的如长度。

由几何关系可得ZOEC=150°

2

由余弦定理可得OC=JRo+(苧RO)2-2R0-孚ROCOSl50。=亨RO

OD=OC+^Ro=^^-RoD错误；

故选BC。

13.如图所示，在边长£=lm的等边三角形4切区域内，存在磁感应强度大小8=0.8T、方向垂直纸面向外

的匀强磁场。现有一束比荷包=IXIO2∈7kg的带正电粒子，从1C边的中点一以平行于中边的某一速度射入

m

磁场，粒子的重力不计。

(1)若粒子进入磁场时的速度大小V0=20m/s,求粒子在磁场中运动的轨道半径;

(2)若粒子能从4C边飞出磁场，求粒子在磁场中的运动时间。

A

/、

//∖、

/t∖、

//∙∙∖∖

„//∙_∙_∖∖

Pj.∖

//∖、

/••••'、

∕B）、

/∙∙∙∙∙、

∕/∙_∙∙∙∙∙∖∖

CD

【答案】（I）0.25m；（2）0.052s

【解析】（1）在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力可得qvnB=m^

带入数据解得r=0.25m

(2)若粒子从/C边飞出磁场，运动轨迹如图所示

根据几何关系可知，圆心角。=:乃，根据T="K可得T=岑

3VqB

则粒子在磁场中的运动时间为r=(∙T

TT

联立上式解得，=丁。∙O52s

14.(2022•贵州贵阳•模拟预测)如图所示，一质量为加、带电量为q的粒子以初速度北沿X轴正方向从

坐标原点。射入，并经过图中M点，M点的坐标XO=百，，尢=八不计粒子重力。

(1)若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，求磁感应强度B的大小；

(2)若上述过程仅由方向平行y轴的匀强电场实现，求粒子经过M点时的动能。

%----------------∙Λ∕

__________________X

O

【答案】⑴署；⑵加诏

ZQL6

【解析】(1)若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子在磁场的轨迹如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=TnF

由几何关系可得r2=(√3Z)2+(r-I)2

解得粒子的轨道半径为r=2l

联立解得磁感应强度B的大小为B

=等2ql

(2)若上述过程仅由方向平行y轴的匀强电场实现，粒子在匀强电场中做类平抛运动，

则有√3∕=vtI=-at2a=—

02m

联立解得电场强度大小为E=W学

3ql

根据动能定理可得qEl=Ek-^mvQ

解得粒子经过M点时的动能为Ek=诏

15.(2022•江西南昌•模拟预测)如图所示，仅在Xoy平面的第I象限内存在垂直纸面的匀强磁场，一

细束电子从X轴上的P点以大小不同的速率射入该磁场中，速度方向均与X轴正方向成锐角。。已知速率为

%的电子可从X轴上的0点离开磁场，不计电子间的相互作用，电子的重力可以忽略，已知做=/,0431,

电子的电量为e,质量为期求

(1)磁感应强度的大小和方向；

【答案】（1）8=列竽”，方向垂直纸面向外；（2）u=6%

【解析】（1）电子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿运动定律得e%B=m'

又由几何知识可得，从。点射出的电子，其半径R=占

2smθ

联立解得8=2m-

el

电子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动，由左手定则可知：磁感应强度的方向垂直纸面向外。

（2）设电子从y轴垂直射出的速率为外半径为八根据几何关系有rsin。=3/

又由牛顿运动定律得evB=m-

r

解得电子的速率D=詈=6%

16.（2022•湖北•襄阳五中二模）如图所示，在X。平面内，有一个圆形区域的直径18与X轴重合，圆

心。’的坐标为（2a,0）,其半径为a,该区域内无磁场。在y轴和直线％=3α之间的其他区域内存在垂

直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为8。一质量为必、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入

磁场。不计粒子重力。

（1）若粒子的初速度方向与y轴负向夹角为60°,且粒子不经过圆形区域就能到达8点，求粒子的初速度

大小匕；

（2）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°,在磁场中运动的时间为C=受，且粒子也能到达〃点，

3qB

求粒子的初速度大小V2。

【答案】（1）%=吧；（2）W=理

1ml2m

【解析】（1）粒子不经过圆形区域就能到达6点，故粒子到达6点时速度竖直向下，圆心必在X轴正半轴

上，如下左图所示

设粒子做圆周运动的半径为r/,由几何关系得ηlsin30=r1-3α

粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得q%8=m?

解得巧=耍

m

(2)粒子在磁场中的运动周期为T=驾

粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为为a=T■X360=60

如上右图所示，粒子到达少点的速度与X轴夹角夕=30°

2

设粒子做圆周运动的半径为n,由几何关系得3Q=2r2sin300+2αcos30°

由牛顿第二定律得qι⅛B=

解得吸=黑

17.如图所示，在X轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T,方向垂直于X0平面向外。尸是y轴

上距原点∕=3m的一点，No为X轴上距原点α=4m的一点。A是一块平行于X轴的挡板，与X轴的距离为T=

1.5m,A的中点在y轴上，长度为2m,带电粒子与挡板碰撞前后，X方向的分速度不变，y方向的分速度反

向、大小不变。质量为m=2Xl()T2kg,电荷量为q=4Xl()T2C(q>0)的粒子从尸点瞄准吊点入射，最

后又通过P点。不计粒子重力。

(1)若粒子不与挡板相碰恰能回到一点，则初速度巧为多少？

(2)若粒子与挡板相撞2次后恰能回到尸点，则粒子的初速度也为多少？

【答案】(l)gm∕s;(2)^m∕s

【解析】(1)若粒子不与挡板碰撞，且恰好能回到〃点，根据对称性可知，粒子在磁场中运动的圆心一定

在y轴上，如图

根据几何关系可知R=M

sιn8

又tanθ=-=ɪ

a4

根据牛顿第二定律可知qv1B=等

可得V1=ym/s

(2)若碰撞两次，运动轨迹如图所示

由几何关系可知6∕?Sine—4×BCOte=2a

解得R=^m∕s

根据qv2B=£2

可得粒子的初速度V2=ym/s

18.（2023•全国•高三专题练习）空间存在如图所示相邻的两个磁场，磁场I宽度为&垂直纸面向里,

磁感应强度为反磁场∏方向垂直纸面向外，宽度为2成现让质量为勿带电量为g的正粒子以水平速度也=

警垂直磁场【从〃点射入磁场，粒子在磁场中运动后恰好从磁场∏边缘。处水平射出。若让同样的粒子以

3m

W的水平速度从P点射入，粒子恰好从C点上方T处水平射出（图中未标出）。不计粒子重力，Sin37°=0.6,

cos370=0.8,求：

（1）以内的速度射入的粒子在磁场中运动的时间：

（2）粒子的速度％和％的大小之比。

×XX;•

×××：•

【答案】（1）t=弁;（2）J

【解析】（1）以%的速度射入的粒子在磁场I做匀速圆周运动，有q%B=τn?%=警

联立得粒子在磁场I中运动的轨迹半径为rɪ=y

由几何知识可得，此时运动轨迹所对的圆心角％有sinθ1=-r=ɪ

I5

得θ1=37"

粒子恰好从磁场∏边缘C处水平射出，由几何知识可得粒子在磁场∏中运动轨迹所对的圆心角也为当,故

粒子在磁场∏中运动的轨迹半径为r2=ɪ=当=2%

“sιn37o3ɪ

则根据quB=r^-

1r2

可得磁场Il的磁感应强度为B=≤

则粒子在磁场中运动的总时间为t=tι+t2

其中t=刍-7t=-^-T

1360o1N2360oN2

,2πmE2πm

Trr=——T=--

1qB2qB

联立以上式子求得t

=职60qB

(2)设粒子以外的速度射入磁场]、H中运动的轨迹半径为r'1，r’2,轨迹所对应的圆心角为&，根据(1)

问可知r=—

12Sine2=—

r1

以速度%从。点水平飞入磁场I的粒子恰好从C点上方T处水平射出磁场1【，则由几何关系可得

,Zd

Cr1+r2)(1-cos02)=(rɪ+r2)(l-cosθ1)+-

代入数据得r'1=∖d

根据r=9，可得△=二-=[

QBV2r3

19.(2023•全国•高三专题练习)如图所示，半径为"的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，大

量比荷为%速度大小范围为0〜的粒子从制/和〃间平行于ZW射入圆形磁场区域，/W与圆心。在同

一直线上，PV和水间距离为0.5反已知从M点射入的速度为火的粒子刚好从N点射出圆形磁场区域，N点

在。点正下方，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：

(1)圆形区域磁场的磁感应强度6及带电粒子电性；

(2)圆形区域内有粒子经过的面积；

(3)挡板CX闻?下方有磁感应强度为28、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，AZH?,直线切与圆形区域相

切于〃点，到达N点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，挡板A〃绕4点在纸面内顺时针旋转，八小板下表

面上有粒子打到的区域长度/与板旋转角度α(0o≤σ<90o)之间的函数关系式。

B

O-

Ni/D

【答案】(1)8=黄，带正电；(2)(∣7TR2-HR21(3)见解析

【解析】(1)速度为火的粒子从M点射入，从川点出，轨道半径为八

依题意有r=Rq»oB=TnFB=黄由左手定则判断可得粒子带正电;

(2)速度为√5%的粒子从"射入，射出点为人如图1所示，依题意有

q师B=m”也

MO1=r=>∕3R

R

tanθ=—

r3

θ=30°

ZMOA=120°

例:间入射的速度为0〜百%的粒子能到达的区域为图中阴影部分，面积为

/1√31\

S=[-πR72--R×-R∖+WX争B=（沿-例2）

(3)如图2所示，由几何关系可知，能到达N点的带电粒子速度均为孙，半径均为吊AKOB中有

从4点射入带电粒子速度偏转角为60。，从切入射带电粒子速度偏转角为90°,从N点出射的粒子速度与

OV的夹角最大值为90。-S=30°

挡板下方磁感应强度为25,粒子均以速度必进入(如图3),

在三角形刖叨中有=NDcosa=2rcosa

INF

连接法构成三角形，中有。

ANHGNWVH=30INC=2rcos(α+30°)

他板下表面被粒子打到的长度为I=INFTNG=RCoSa-Λcos(α+30o)(0o≤α≤60°)

或I=Rcosa(60o<a<90°)

20.如图，在XOy坐标系的第一象限内，直线y=g∕-fcv(k>O)的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁

感应强度大小为艮在∕(θ,∣∕)点有一粒子源，能以不同速率沿与y轴正方向成60。角发射质量为必、电荷

量为4(q>0)的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿一N方向通过X轴，且速度最大的粒子通过X轴上的V点,

速度最小的粒子通过X轴上的N点。已知速度最大的粒子通过X轴前一直在磁场内运动，NM=BI,不计

2

粒子的重力，求：

(I)粒子最大速度的值与A的值；

(2)粒子从。点到穿过X轴经历的最长时间;

【答案】⑴VT；T⑵"+3侬；(3)S=5(4/3√¾∕2

MqB36

【解析】(1)设粒子的最大速度为匕，由于速度最大的粒子穿过X轴前一直在磁场内运动，过一点作速度

的垂线交X轴于。I点，就是速度为4的粒子做圆周运动的圆心，POI即为半径8，山几何关系可知

o

RISin60≈yp解得Rl=√3∕

由洛伦兹力提供向心力，贝IJqvxB=m^

Rl

解得K=正迎

m

由于所有粒子离开磁场时方向均沿y轴负方向，所以它们在磁场中偏转的角度均相同。即从磁场射出的粒

子，射出点一定在P用连线上，PM连线即为y=∣∕-区直线k=⅞Γ=oo∖

解得k=B

(2)所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒子