圆中常作的辅助线-中考数学复习题练习（教师版）

专题15圆中常作的辅助线（解析版）

第一部分警啊却析

类型一连半径

1.（2021秋•温州期中）如图，在。。中，NBAC=15°,ZADC=20°,则/ABO的度数为

思路引领：连接AO,根据同弧所对圆周角与圆心角的关系求出NAO2,进而求解.

解：连接AO,CO,

则NAoC=2NAQC,NBOC=2NBAC,

二乙4OB=NBoC+NAOC=2/BAC+2∕AOC=2X15°+2×20o=70°,

,:OA=OB,

：.ZABO=（180o-ZAOB）=55°,

故答案为：55°.

总结提升：本题考查圆周角定理，解题关键是通过添加辅助线求解.

2.（2022•双柏县模拟）如图，Z∑ABC内接于。O,∕C4B=30°,NCBA=45°,CCAB于点。，若G）O

的半径为2,则CD的长为（）

C

A.1B.2√2C.√2D.√3

思路引领：连接04OC,根据圆周角定理得圆心角为90°,根据勾股定理求出AC,再根据在直角三

角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD

解：如图，连接。A,OC.

VZCOA=2ZCBA=2×45o=90”,

在Rt△4OC中，根据勾股定理得：

AC=√0½2+OC2=√22+22=2√2.

∖,CDLAB,ZCAB=30°,

.,.CD=^AC=√2.

故选：C.

总结提升：本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中构造圆心角，利用圆周角

定理是解题的关键.

二、作弦心距

3.(2020秋•雁塔区校级期中)如图，AB为Oo的弦，半径。C,分别交AB于点E,F.且前=6¾.

(1)求证：AE=BF↑

(2)作半径ONJ_AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长.

思路引领：(1)连接04、OB,证明AAOE岭A1BOF(AS4),即可得出结论；

1

(2)连接。A,由垂径定理得出AM=与W=6,设OM=JI,则OA=ON=X+3,在RtZVlOM中，由勾股

定理得出方程，解方程即可.

(1)证明：连接04、OB,如图1所示：

'.uOA=OB,

：.ZA=ZB,

•：AC=BDf

：.ZAOE=ZBOF,

在AAOE和408尸中,

乙4=乙B

OA=OB，

.∆A0E=Z-BOF

：AAOE@ABOF(ASA),

LAE=BF.

(2)解：连接0A,如图2所示:

∖'OMlAB,

.∙.AM=%8=6,

设0M=x,则OA=ON=X+39

在RtAAOM中，由勾股定理得：62+X2=(X+3)2

解得：X=4.5,

总结提升：本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.(2022秋•慈溪市期中)如图，。尸与X轴交于点A(-5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若

ZACB=60°,则点C的纵坐标为.

思路引领：过尸点作PHj_AB于，点，Po_LoC于。点，连接力、PB、PC,如图，根据垂径定理得到

AH=BH=3,则OH=2,再根据圆周角定理得到∕APB=2NACB=120°,所以NA/77=60°,则利用

含30度角的直角三角形三边的关系计算出PH=√3,∕¾=2√3,接着利用四边形PHOD为矩形得到OD=

√3,PQ=2,然后利用勾股定理计算出C。，从而得到OC的长.

解：过尸点作于”点，PDLoC于D点,连接以、PB、PC,如图，

VA(-5,0),B(1,0),

.∙,OA=5,OB=∖1

,CPHJLAB.

1

：.AH=BH=^AB=3f

：.OH=2,

VZAPB=2ZACB=2×60o=120°,

.∙.ZAPH=60°,

在Rt中，'：PH=^AH=√3,

：.PA=2PH=2W,

•：NPHo=NPDO=NHoD=90°,

.∙.四边形W)为矩形，

ΛOD=PH=√3,PD=OH=2,

在RtZ∖PCQ中，VPC=B4=2√3,Pz)=2,

.∙.CD=J(2√3)2-22=2√2,

.,.OC^OD+CD=√3+2√2,

/.点C的纵坐标为百+2√2.

故答案为：√3+2√2.

总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆

周角定理.

5.(2020秋•肇源县期末)已知：如图，在AABC中，ZACB=90o,NB=25°,以点C为圆心、AC为

半径作OC,交AB于点O,求而的度数.

思路引领：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着

和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考.

解：解法一：（用垂径定理求）

如图，过点C作CELABF点E,交助于点F,

：.DF=AF,

又∙.∙∕AC8=9(Γ,NB=25°,

：.ZFCA=25°,

二番的度数为25°,

.∙.⑰的度数为50°；

解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交。C于点E,连接EQ,

E是直径,

ΛZADE=90°,

VZACB=90o,ZB=25o,

：.NE=NB=25°,

.∙.而的度数为50°；

解法三：（用圆心角求）如图，连接CD,

VCA=CD,ΛZADC=ZA=65°,

.∙.NACO=50°，

而的度数为50°.

总结提升：本题可以利用：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.2、

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆。的直径，弦CO交AB于点E,NCE4=30°,OE=4,DE

≈5√3,求弦C。及圆。的半径长.

思路引领：过点。作OMLC。于点M,联结。。，根据垂径定理解答即可.

解：过点。作OMLCf）于点M,联结Or>,

,：ZCEA=30o,,NOEM=NCE4=30°，

在RtZXOEM中，VOE=4,

/O

:.0M=W1oE=2,EM=OE-cos30o=4X号=2√3,

,.,DE=5√3,

：.DM=DE-EM=3√3,

过圆心，OMJ_C£>,

：.CD=IDM,

：.CD=6√3,

"：0M=2,DM=3√3,

22

在RtZ∖Q0M中，OD=√0M2+CM2=J2+(3√3)=√∏,

弦CD的长为6g,QO的半径长为√JI.

总结提升：此题考查了垂径定理和直角三角形.有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角

三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法.

类型三圆周角为直角，连接直径

7.如图，AB,AC是00的两条弦，且NcAB=90°,若AB=I0,AC=S,求。。的半径.

思路引领：连接BC,由圆周角定理得BC是。。的直径，由勾股定理求出BC=2WT,则OB=WI.

解：连接8C,如图所示：

VZCAB=90o,

.∙.BC是OO的直径，BC=y∕AB2+AC2=√102+82=2√41,

OB=√41,

即。。的半径为"I.

总结提升：本题考查了圆周角定理和勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键.

类型四有直径，做直径所对的圆周角

8.（2021•济宁一模）如图，Z∖ABC是。。的内接三角形，AB^BC,ZBAC=30o,AO是直径，AD=S,

则ΛC的长为.

思路引领；连接CQ,根据等腰三角形的性质得到NACB=N8AC=30°,根据圆内接四边形的性质得到

/0=180°-∕B=60°,求得/C4O=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论.

解：连接Cτ>,

∖'AB=BC,NBAC=30°,

.∙.∕4CB=/BAC=30°,

ΛZfi=180°-30°-30°=120°,

ΛZD=180o-ZB=60o,

：AQ是直径，

ΛZACD=90o,

,.'ZCAD=30°,AD=S,

.∙.CD=%Z)=4,

：.AC=√82-42=4√3,

故答案为：4Λ∕3.

总结提升：本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，

正确的识别图形是解题的关键.

9.(2021秋•南宁期末)如图1,已知AB为。。的直径，C为。。上一点，AC平分ND4B,C。于点

D,并与G)O交于点E.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若OE=8,OC=I2,求。。的半径；

(3)如图2,尸为通中点，连接EF,在(2)的条件下，求EF的长.

思路引领：(1)连接0C,利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定

与性质和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)连接0C,过点。作。尸，AE于点凡利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可;

(3)连接AF,BF,BE,过点、B作BHLEF于点H,利用(2)的结论，等腰直角三角形的判定与性质，

圆周角定理，勾股定理解答即可.

(1)证明：连接0C,如图，

平分ND4B,

：.ZDAC=ZBAC.

,：0A=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

：.ZOCA=ZDACf

.∖AD∕∕OC.

・・・4。，。。于点。，

：・OCA.CD.

•・,OC为。。的半径,

・・・CO是OO的切线;

(2)解：连接。C,连接CE,过点。作AE于点片如图,

D

则AF=EF=^AE.

由（1）知：C。是OO的切线,

；.NDCE=NDAC

∖λZD=ZD,

ΛΔCDE^ΔADC,

.∙.CD2=DE∙DA,

VDE=8,DC=12,

ΛDA=18.

.∖AE=DA-DE=18-8=10,

ΛEF=5,

.β.DF=EF+DE=5+8=13.

由（1）知：OCLCD,

VDA±CD,OFLAD1

.∙.四边形OFaC为矩形,

/.OC=DF=13,

.∙.0O的半径为13:

(3)解：连接ARBF,BE,过点B作BHLEFT点H,如图,

由(2)知：。。的半径为13,AE=IO,

.∙.A3=26,

；43为。。的直径，

ΛZAEB=90°,

：.BE=>∕AB2-AE2=24.

：尸为丽中点，

：.AF=BF,

：.AF=BF=13√2,

；.NjSAB=NFBA=45°,

；NFEB=NFAB,

：.NFEB=45°,

...△84E为等腰直角三角形，

BH=HE=专BE=VIa.

；BHLEF,

.'.HF=y∕BF2-BH2=5√2,

：.EF=EH+HF=Yl丘+5√2=17√2.

总结提升：本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，圆的切线的判

定与性质，切割线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连

接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线.

类型五见切线作半径

10.(2020•八步区一模)如图，在RtAABC中，/8AC的角平分线交BC于点O,E为AB上一点，DE=

DC,以。为圆心，OB的长为半径作AB=5,BE=3.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)求线段AC的长.

思路引领：(1)过点。作。F,AC于F,求出8。=Z)F等于半径，得出AC是。。的切线.

(2)先证明ABOEZAOCF(，乙)，根据全等三角形对应边相等及切线的性质的A8=4F,M⅛AB+EB

=AC.

(1)证明：过点。作QFLAC于F；

为。。的切线，

ΛZβ=90o,

.,.AB±BC,

。平分ZBAC,DFLAC,

JBD=DF,

JAC与OO相切；

(2)解:在△&)£：和△£＞，尸中;

(BD=DF

IDE=DCf

：.Rt∆BDE^Rt∆DCF(HL),

,EB=FC.

9：AB=AF,

LAB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

・・AC=5+3=8.

总结提升：本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线

的判定方法，证明三角形全等得出EB=BC是解决问题（2）的关键.

11.（2020秋•临邑县期末）如图，8。为AABC外接圆。。的直径，且NBAE=NC.

（1）求证：AE与。。相切于点A；

（2）AE//BC,BC=2√3,AC=2,求0。的直径.

思路引领：（1）连接半径04,由等腰三角形的性质及圆周角定理得出NOAE=90°.即可证出结论；

（2）连接。C,连接OA交BC于点H,证出OALBC,CH=BH,分别在AAB",aOBH中通过勾股定

理即可求出结果.

（1）证明：连接OA.

.".0A=0D.

：.ZD=ZDAO.

VZD=ZC,

：.ZC^ZDAO.

,：ZBAE^ZC,

：.ZBAE=ZDAO.

YB。是。。的直径，

：.ABAD=Wo,即NnAo+∕BAO=90°.

ΛZBAfi+ZBΛO=90o,即/OAE=90°.

：.AELOA.

又：OA为Qo的半径，

.∙.AE与。。相切于点A.

（2）解：连接OC,连接AO交BC于点从

∖'AE∕∕BC,OAVAE,

.'.OA±BC,

：.CH=BH=/C=√3,

在RtAAW/中，

AH=∖∣AB2-BH2=1,

在RtZsOBH中，设03=r,

•；OH2+BH2=OB2,

.".(r-1)2+(√3)2=ι2,

解得：r=2,

OB=2r=4.

即。。的直径为4.

总结提升：本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定

理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.

类型六连切点

12.(2020•湘西州)如图，PA,PB为圆。的切线，切点分别为A、B,Po交AB于点C,PO的延长线交

圆。于点Q.下列结论不一定成立的是()

PA

A.48%为等腰三角形

B.AB与PO相互垂直平分

C.点A、B都在以尸。为直径的圆上

D.PC为aB%的边AB上的中线

思路引领：根据切线的性质即可求出答案.

解：(A)∖∙PA.P8为圆。的切线，

：.PA=PB,

...△8F是等腰三角形，故A选项不符合题意.

(B)由圆的对称性可知：PQ垂直平分A8,但AB不一定平分PQ,故8选项符合题意.

(C)连接OB、OA,

,.,PA.P8为圆。的切线，

：.ZOBP=ZOAP=9Q0,

.∙.点A、B、P在以。尸为直径的圆上，故C选项不符合题意.

(D)∙.∙4B附是等腰三角形，PDLAB,

JPCRXBPA的边AS上的中线，故。选项不符合题意.

故选：B.

B

总结提升：本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型.

13.(2020•青海)如图，在aABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,则4(8C的内切圆半径r=1

思路引领：在BC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,根据勾股定理可得AB=5,设448C的内切圆与

三条边的切点分别为D、E、F,连接OD.。£、OF,可得OCA8,OELBC,OFYAC,可得矩形EOFC,

再根据切线长定理可得CE=CF,所以矩形EOFC是正方形，可得CE=CF=r,所以AF=Az)=3-r,

BE=BD=4-r,进而可得AABC的内切圆半径r的值.

解：在aABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,

根据勾股定理，得48=5,

如图，设448C的内切圆与三条边的切点分别为。、E、F,

连接。£＞、OE,OF,

：.ODLAB,OELBC,OFLAC,

VZC=90°,

.∙.四边形EOFC是矩形，

根据切线长定理，得

CE=CF,

，矩形EoFC是正方形,

：・CE=CF=r,

：.AF=AD=AC-FC=3-r,

BE=BD=BC-CE=4-r,

,

∖AD+BD=ABf

Λ3-r+4-r=5,

解得r=l.

则4ABC的内切圆半径r=I.

故答案为：1.

总结提升：本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心.

类型七构造弦或圆

14.(2021秋•江宁区期中)如图，。。经过菱形ABC。的8,。两顶点，分别交A8,BC,CD,AO于点E,

F,G,H.

(1)求证AE-AH；

(2)连接ERFG,GH,EH,若8。是G)O的直径，求证：四边形E尸G”是矩形.

思路引领：(1)连接引E、BH,利用AADE丝ZXAB〃即可得出结论；

(2)连接DE,DF,通过证明AAOE<Z∖C7)尸和E〃丝AbG得到四边形EFGH的两组对边相等,

可以判定四边形EFGH为平行四边形，再利用平行四边形的性质和圆内接四边形的性质证明NFE”=

90°,则四边形EFGH为矩形.

证明：(1)连接力E、BH,如图，

Y四边形ABCD是菱形,

：.AB=ADt

在△■£>£>和AABH中，

Z-ADE=乙ABH

AD≈AB，

.∆A=Z-A

：.∕∖ADE^ΔABH(ASA)9

.∖AE=AH.

(2)u：AB=AD,AE=AH.

/.AB-AE=AD-AH.

即BE=DH.

：.BE=DH.

同理呼=DG

：.BE+BF=DH+DG.

即6=GH.

：.EF=GH.

连接OE,DF,如图，

：8£)是。。的直径，

：.NBED=NBFD=90°.

：.ZAED^ZCFD=90o.

在△Ν£>£■和ACDF中，

∆A=Z-C

Z-AED=乙CFD,

AD=CD

：.ΛADE^ACDF(AAS).

IAE=CF.

：用(1)中同样的方法可证CF=CG

：.AH=CG.

在和aCFG中,

AE=CF

Z-A=ZC，

AH=CG

Λ∆ΛEW⅛∆CFG(5A5).

J.EH=FG.

.∙.四边形EFG，是平行四边形.

ZFEH=ZFGH.

•••四边形EFGH是。O的内接四边形,

FEH+/FGH=I80°.

；.NFEH=90°.

.∙.四边形EFGH是矩形.

总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的匹配度与性质，菱形的性质，矩形的判定，利用

同弧所对的圆周角相等是解题的关键.

15.（2021•鄂州）如图，RtZ∖ABC中，NAeB=90°，AC=2√^,BC=3.点P为AABC内一点，且满足

PA1+PC2=AC2.当PB的长度最小时，＜∆ACP的面积是（)

3√33√3

A.3B.3√3C.—D.——

42

思路引领：取AC中点O,连接OP,BO,由勾股定理的逆定理可求NAPC=90°,可得点P在以AC为

直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BPBBO-OP,当点尸在线段8。上时，BP有最小值，由锐

角三角函数可求∕BOC=60°,即可求解.

解：取AC中点。，连接OP,BO,

∖"PA2+PC2=AC2,

.∙.NAPC=90°,

.∙.点P在以AC为直径的圆上运动，

在48Po中，BP^BO-OP,

/.当点P在线段BO上时，BP有最小值，

；点。是AC的中点，ZAPC=90°,

：.PO=AO=CO=√3,

VtanZBOC=∣^=√3,

.∙.N8OC=60°,

...△COP是等边三角形，

.".SACOP=乎OC2=5×3=皑

YOA=OC,

Λ∆ACP的面积=2SAC0P=ɪ.

故选：D.

总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知

识，找出点P在以AC为直径的圆上运动是解题的关键.

第二部分专题提优训练

1.（2020秋•宝应县期末）如图，点A、B、S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的百倍，则NASB的度数是

A.30oB.60oC.90oD.120°

思路引领：连接。4OB,过。作。C_LAB于C,求出4C=BC,解直角三角形求出NeMB的度数，求

出/AOB,再根据圆周角定理求出答案即可.

解：连接。4,OB,过。作OeLAB于C,

设OA=OB=R,

∙.∙弦AB的长度等于圆半径的百倍,

.∖AB=√37?,

'：OA=OB,OCLAB,

：.AC=BC=∣Aβ=∣√3Λ,

AC⅛V3R√3

ΛcosZOAB=^=⅞-=f,

二/048=30°,

<OA=OB,

/O8A=NoAB=30°,

.∙.∕AO8=180°-ZOAB-ZOBA=120°,

NASB=；NAo8=60°,

故选：B.

总结提升：本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和圆周角定理，注意：一条弧所对的圆周角等

于它所对的圆心角的一半.

2.(2021秋•逊克县期末)如图，。。的半径为2,弦A8=2√l,AC=∣4B,则OC的长为.

Q

思路引领：过0作。OjLAB于力，根据垂径定理求出BZ),根据勾股定理求出。。，根据勾股定理求出

OC即可.

解：过。作OO_LA8于£),

VODlAB,ODHO,AB=2√3,

：.AD=BD=4AB=√3,

VAB=2√3,点C在弦48上，AC=I48,

A1

ΛAC=i√3,CD=AD-AC=铸,

在RtAOBQ中，由勾股定理得：OD=22-(√3)2=1,

在RtAOCD中，由勾股定理得：OC=√0D2+CD2=Jl2+(i√3)2=孝，

√7

故答案为：τ.

总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形，运用定理进行推理和计算

的能力.

3.(2021•吉林三模)如图，四边形ABCz)内接于00,连接BD.若念=阮，ZBDC=50°,则/AOC

的大小是度.

思路引领：根据圆周角定理求出NABC,根据圆内接四边形的性质计算，得到答案.

解：'：AC=BC,

：.ZABC=ZBDC=50°,

：.ZADC=180o-ZABC=180°-50°=130°,

故答案为：130.

总结提升：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关

键.

4.(2021秋•哪阳区期中)如图，射线PG平分/EPF,。为射线PG上一点，以。为圆心，13为半径作OO,

分别与NEP尸的两边相交于A、B和C、D,连接。4,且。A〃PE.

(1)求证：AP=AO;

(2)若弦AB=24,求OP的长.

n

思路引领：(1)由PG平分NEP尸可得NCPo=NAP。，由4。〃。。可得NCPo=N40P,从而有NAPo

ZAOP,则有AP=A0.

(2)过点0作OHl-AB于H,如图.根据垂径定理可得AH=B”=12,从而可求出在Rt△?1HO

中，运用勾股定理可求出。”的长，从而进一步可得OP的长.

(1)证明：如图，

；PG平分NEPF,

.".ZCPO=ZAPO.

,JAO∕∕PE,

：.ZCP0^ZAOP,

：.ZAPO=ZAOP,

：.AP=AO.

(2)解：过点。作0""LAB于”，如图.

根据垂径定理可得AH=BH=∣4B=12,

.'.PH=PA+AH=AO+AH=]3+∖2=25.

在RtΛAHO中，

OH=∖∕OA2-AH2=√132-122=5,

由勾股定理得：OP=√0H2+PH2=√52+252=√650=5√26.

则OP的长为5√26.

A

B

F

总结提升：本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定

义等知识，综合性比较强.

5.(2021秋•思明区校级期中)已知aABC内接于C)O,AB=AC,点。是OO上的点.

(1)如图1,若NBAC=40°,8。为Oo的直径，连接CD,求NOBC和NAC。的大小；

(2)如图2,若C连接A/),延长OC到E,连接使得3NBAC-NE=90°,判断。E与

Oo关系并证明.

思路引领：(1)如图1,利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NABC=70。，再根据圆周角定

理得到∕8CO=9(Γ,NO=40°,利用互余计算出/Q8C的度数，利用圆周角定理计算。的度数,

从而得到/AC。的度数;

(2)利用三角形内角和定理证明NQOE+NE=90°,推出OCDE,可得结论.

解：(1)如图1中,

'：AB=AC,

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