2024届高考物理第一轮复习重难点练习：第十一章 强化二十　带电粒子在组合场中的运动

专题强化二十带电粒子在组合场中的运动

【目标要求】1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路2学会处理磁场与磁场组合

场、电场与磁场组合场中带电粒子的运动问题.

1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出

现.

2.分析思路

(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图.

(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.

(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.

3.常见粒子的运动及解题方法

牛顿第二定律、

运动学公式

电

场

中

带电

粒子

在分

离的

电场、

磁场磁

场［运动学公式］

中运

中

动

圆周运动公式、

牛顿第二定律

以及儿何知识

分解成直线运动

和匀速圆周运动

题型一磁场与磁场的组合

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的

速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同.解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点

与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系.

【例1】如图所示，在无限长的竖直边界AC和间，上、下部分分别充满方向垂直于平面

ADEC向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为瓦，OF为上、下磁场的水平分界

线.质量为，小带电荷量为+q的粒子从AC边界上与。点相距为〃的尸点垂直于AC边界

射入上方磁场区域，经。尸上的。点第一次进入下方磁场区域，Q点与。点的距离为3”.不

考虑粒子重力.

A；.D

\'B；

\E

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小囱应满足的条件；

(3)若下方区域的磁感应强度8=3&,粒子最终垂直OE边界飞出，求边界DE与AC间距离

的可能值.

答案(2)8N缥(3)4,皿(〃=1,2,3,…)

解析(1)粒子在0月上方的运动轨迹如图所示，

设粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R2—(R—〃)2=(3幻2,则R=5〃，由牛顿第二

定律可知qvBg=＞卷,解得詈取

(2)当粒子恰好不从AC边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在。尸下方做圆周运动的

半径为n,

由几何关系得n+ncos6=3。,

由(1)可知COS所以门

根据亚囱=誓，联立解得8]=竽，故当Bi2华时，粒子不会从AC边界飞出.

(3)当B=3&)时，粒子的运动轨迹如图所示，粒子在OF下方的运动半径为r=,a,设粒子的

速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时，粒子的位置为Pi点，则P点与尸।点的连线

一定与。尸平行，根据几何关系知PP}=4a,所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界OE

与AC间的距离为L=nPP\=4na(n=1,2,3,…).

AD

题型二电场与磁场的组合

1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示.

2.带电粒子在匀强电场中做类平抛（或类斜抛）运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示

考向1先电场后磁场

【例2】（2018•全国卷125）如图，在）>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小

为E；在）'<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场.一个笈核IH和一个宛核汨

先后从），轴上），=八点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向.已知IH进入磁场时，速

度方向与x轴正方向的夹角为60。，并从坐标原点。处第一次射出磁场.]H的质量为机，电荷

量为4.不计重力.求：

（DiH第一次进入磁场的位置到原点。的距离；

（2）磁场的磁感应强度大小；

（3）汨第一次离开磁场的位置到原点O的距离.

答案⑴芈h（3）芈（啦一1）/?

解析（，H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示.设|H

在电场中的加速度大小为初速度大小为。它在电场中的运动时间为“，第一次进入磁

场的位置到原点0的距离为51,由运动学公式有51=U|/1@

h=^a\ti2®

由题给条件，|H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角a=60。.用进入磁场时速度沿y轴

方向的分量的大小为ai/i=vitan仇③

联立以上各式得S\=

(2)|H在电场中运动时，由牛顿第二定律有

qE=mai@

设|H进入磁场时速度的大小为s',由速度合成法则有。J=y]vi2+(cnti)2©

设磁感应强度大小为3,|H在磁场中运动的圆轨道半径为Ri,由洛伦兹力公式和牛顿第二定

律有

由几何关系得5I=2/?Isin仇⑧

联立以上各式得3=

(3)设彳H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为02,在电场中的加速度大小为。2,由题给

条件得;（2〃2加2=2mv12⑩

由牛顿第二定律有处=2"S⑪

设汨第一次射入磁场时的速度大小为02,，速度的方向与X轴正方向夹角为。2,入射点到原

点的距离为52,在电场中运动的时间为及.由运动学公式有S2=。2,2⑫

/?=52友2⑬

V?'=«V声+（。2亥）2⑭

smV■©

V2

联立以上各式得S2=S]。2=仇,V2

设汩在磁场中做圆周运动的半径为由⑦⑯式及粒子在勺强磁场中做圆周运动的半径公式

得

&=姿一=也以⑰

所以出射点在原点左侧.设彳H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为S2‘，

由几何关系有$2’=2&sin6»2⑱

联立④⑧⑯⑰⑱式得，彳H第一次离开磁场时的位置到原点。的距离为S2'一S2=¥（也一

\）h.

I：_考_向__2__先_磁__场_后_电__场_________________

【例3】（2023•河北唐山市模拟）平面直角坐标系X。），中，直线OP与x轴正方向的夹角为30。,

其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x轴负方向

的夹角为60。，如图所示.质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度。从坐标原点沿y轴

正方向进入磁场，经磁场偏转后由P点进入电场，最后从x轴上的。点离开电场，已知0、

尸两点间距离为LP。连线平行于y轴.不计粒子重力，求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小;

（2）匀强电场的电场强度E的大小.

解析（1）粒子在磁场中运动时（如图所示），设轨迹半径为R,根据洛伦兹力提供向心力可得

由几何关系有乙=2Rcos30°

联立解得B二翳

⑵粒子进入电场时，速度方向与边界。尸的夹角为60。，由几何关系可知，速度方向和电场

方向垂直.粒子在电场中的位移x=PQ=Lsin30。

又xsin300="

xcos30°

Eq=ma

8小nw?

联立解得E=

qL-

考向3粒子多次进出电场、磁场的运动

【例4】(2021•广东卷J4)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆。、b、c

围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆〃之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆

心角均略小于90。的扇环形匀强磁场区I、II和HI.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均

垂直纸面向外.电子以初动能Ro从圆。上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子

每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆人之间电势差为U,圆人半径为R,圆c半径为小

R，电子质量为加，电荷量为e,忽略相对论效应，取tan22.5。=0.4.

(1)当Eko=O时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角6

均为45。，最终从。点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求I区的磁感应强度大小、

电子在I区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；

(2)已知电子只要不与I区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当Eg=keU时，要保证

电子从出射区域出射，求上的最大值.

答案⑴呼嘤28eU(2)普

解析(1)电子在电场中加速有2eU=g加。2,在［区磁场中，由几何关系可得r=Rtan22.5。=

OAR

v2

根据洛伦兹力提供向心力有B\ev=m—

联立解得81=工'解

电子在I区磁场中的运动周期为7=当

由几何关系可得，电子在I区磁场中运动的圆心角为9="

电子在I区磁场中的运动时间为片方

联立解得，=

电子从P到。在电场中共加速8次，故在。点出射时的动能为Ek=8eU

⑵设电子在I区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm,此时圆周的轨迹与I区磁场边界相

切，

222

由几何关系可得(小R—rm)=R+rm

解得rm=?R

2

根据洛伦兹力提供向心力有田㈤口尸加上v-

2eU=方如n?-keU

13

联立解得A="

o

【例5】如图所示，一对足够长平行栅极板M、N水平放置，极板与可调电源相连.极板外上

方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场向和&,8和&的大小未知，但满

足&=?田，磁场左边界上距M板距离为2/的A点处的粒子源平行极板向右发射速度为。的

带正电粒子束，单个粒子的质量为机、电荷量为粒子第1次离开M板的位置为C点，已

知C点距离磁场左边界距离为/.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重

力.

XXXXXXXXXXXXN

XXXXXXXXXXXX

XXXX诙XXXXXX

XXXXXXXXXXXX

(1)求磁感应强度场的大小；

(2)当两板间电势差UMN=O时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C点再次返回极板上方

的磁场，求两板间距”的大小；

(3)当两板间所加的电势差UMN=—若时，在M板上C点右侧尸点处放置一粒子靶(忽略靶

的大小)，用于接收从M板上方打入的粒子.问当P点离磁场左边界多远的地方能接收到粒

子？

小通4inv

答案⑴石"(2)0.8/

(3)(1+136")/,用=0、1、2、3、…

7

解析(1)粒子从A点发射后运动到C的过程，洛伦兹力提供向心力卯小=百

A1

由几何知识可得用2=(2/一4)2+尸，解得R|='/,

B尸5ql

M

xxxxxxxxxN

IXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxx

:XXXX扬xxxxxxxxxx檎xxxxxx

IxxxxxXxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(2)粒子经过C点时的速度方向与竖直方向的夹角为。，则2=卷=。.8

nvn33

粒子进入磁场&之后，圆周运动半径为&=7瓦=；&=1/，

又因为dtan0=R2cos仇解得d=0.8/

由R2=l/得，粒子在&磁场中不会从左边界飞出.

20cos0

(3)粒子到达C点后第一次在电场中向左运动距离Ax=usin0-=0.64/

dm

粒子在自磁场中运动到最左边时，距C点距离

xc=Ax+7?|-/=O.89/</?i

所以不会从左边界飞出，尸点离磁场左边界的距离为知=/+〃(2/-0.64/)=(1+1.36〃)/,〃=0、

1、2、3、…

xxxxxxxxxxxx

XXXX板XXXXXX

XXXXX攵XXXXXX

课时精练

1.(多选)(2023•辽宁沈阳市模拟)圆心为0、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为反

方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，

MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强

电场，电场强度大小为E.当粒子的速度大小为。o且沿4。方向时，粒子刚好从B点离开磁场,

A.圆形区域内磁场方向垂直纸面向外

B.粒子的比荷为悬

C.粒子在磁场中运动的总时间为罂

D.粒子在电场中运动的总时间为攀

C.

答案ABD

解析根据题意可知，粒子从A点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，

圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确；根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如

图甲所示

7T

根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R,粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为,，根

2

据洛伦兹力提供向心力有quoB=n蚩,

可得2=粕，故B正确；根据题意可知，粒子从8点进入电场之后，先向右做减速运动，再

向左做加速运动，再次到达3点时，速度的大小仍为火，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所

示.

则粒子在磁场中的运动时间为，■=q=¥，故c错误；粒子在电场中，根据牛顿第二定律有

ZVo

Eq=ma,解得a=甄=餐,根据。（）=4/结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为/电

mDK

2v02BR.〜…

=a=E，故D正确.

2.（多选）（2023•广东省模拟）如图所示的平面直角坐标系xOy,在y轴的左侧存在沿y轴负方

向的匀强电场.在y轴的右侧存在垂直坐标平面向外的匀强磁场.一比荷为人的带正电粒子（不

计重力）从X轴上的A点以沿着与x轴正方向成6=53。角的初速度开始运动，经过电场偏

转从y轴的8点以垂直y轴的速度进入磁场，磁场的磁感应强度大小为耳》粒子进入磁场后

电场方向变为沿y轴正方向.该带正电粒子经过磁场偏转，粒子先后经过x轴上的C点、y

43

轴上的。点，粒子经。点后，再次回到x轴上的A点，sin53°^^,cos53°^^,下列说法正

确的是（）

A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为“

B.A、C两点之间的距离为3d

C.匀强电场的电场强度为翦

D.粒子从A点开始到再回到A点的运动时间为笔衿

答案AD

解析设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R,由几何关系可得08=R,OC=R,

AC=OA+OC,粒子从A到8做类斜抛运动，在3点的速度方向与匀强电场垂直，由逆向思

维可知粒子从B到A做类平抛运动，把粒子在A点的速度加分别沿x轴的正方向和），轴的正

方向分解，设粒子在8点的速度为0B,则有。0cos。=办，由洛伦兹力充当向心力有BWB=

啖,粒子从8到A做类平抛运动，沿x轴方向与y轴方向的位移大小分别用0A、08来表

示，由类平抛运动的规律可得，过A点的速度加的延长线交于x方向分位移的中点，由几何

关系可得市罚，结合学，联立解得OB=d,AC=2.5d,正确，错误;

tan6»=U.DCz/18=DKclR=d,AB

2

粒子在A点沿y轴正方向的分速度为pv=Posin9,由类平抛运动的规律有uy=2^OB,联立

解得匀强电场的电场强度为£=碧［,C错误；粒子从A点到3点的运动时间以8=招\粒

£3KaU.Oc/o

jr/7

子从B点到D点的运动时间为tBD=7K，根据运动的对称性可知，粒子从点开始到又回

U.OOoA

到A点的运动时间为t=2tn+t,综合计算可得I」"±5吗口正确.

AIID如0

3.平面直角坐标系xOy中，第二象限存在沿），轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E,第

三、四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示.一质量为〃八带电荷量为夕的正

粒子从坐标为(一八"的尸点沿)，轴负方向进入电场，初速度大小为。0=、/繁，粒子第二

次到达X轴的位置为坐标原点.不计粒子的重力.

X

QX

X

(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小;

等，求粒子第二次到达X轴时与

(2)若粒子由尸点沿x轴正方向入射，初速度仍为%=

坐标原点的距离.

⑵苧乙

答案(1)4-

解析(1)由动能定理得EqL=^mv2—^mv^

粒子进入磁场时速度大小为V—

m

fTID2

在磁场中L=2R,qvB=-^-

联立可得8=4

(2)假设粒子从)，轴离开电场，运动轨迹如图所示

L=vot,

州=呼尸,

Eq=ma

联立解得力=1<L,假设成立

Vy=Clt

速度偏转角tan0=r~

vo

*3

=-

第一次到达x轴的坐标92

在磁场中R'=上-

及=2夕sinO=R-sin0=宣=至

粒子第二次到达x轴的位置与坐标原点的距离为

6+1

x=x\+x2=4L.

4.如图所示，xOy平面内，0P与x轴正方向的夹角为6=53。，在xOP范围内(含边界)存在

垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8=0.1T.第二象限有平行于)，轴向下

的匀强电场，电场强度大小为£=椒1。5v/m.一带电微粒以速度vo=5Xl()6m/s从工轴

上a”,0)点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点垂直于OP离开磁场，与y轴交于c点,

54

--不

最后回到X轴上的"点，图中6、1两点未标出.4n5

计微粒的重力，求:

(1)微粒的比荷2；

(2)”点与O点的距离I;

(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度&大小满足什么条件时，微粒能到达第四

象限.

答案(l)5X107C/kg(2)4m(3)&20.2T

解析(1)微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得r=Lsin53°=lm

2

由牛顿第二定律得qv()B=nry

代入数据解得2=5X107C/kg

⑵微粒进入电场后做类斜抛运动.由几何关系得

Leos530+r

如产sin53。

2

在），轴方向有y0（=—votcos53°+^X誓r

在无轴方向有/=oo/sin53°

解得/=4m

⑶微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP相切时，恰好能到达第四象限.

由几何关系知/?=2^sin53°

2

由牛顿第二定律得qvnBt=nr^-

解得丛=0.2T,故当磁感应强度420.2T时，微粒能到达第四象限.

5.（2023•湖北宜昌市联考）如图所示，在矩形区域ABCC内存在竖直向上的匀强电场，在BC

右侧I、II两区域存在匀强磁场，心、上、上是磁场的边界（BC与小重合），宽度相等，方向

如图所示，区域I的磁感应强度大小为3.一电荷量为+q、质量为〃?的粒子（重力不计）从AD

边中点以初速度如沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从8点进入磁场，经区域I后又恰好

从与B点同一水平高度处进入区域II.己知AB长度是BC长度的小倍.

I.••eIXXXX

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A••••xxxx

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DCj,Bi•1x期x

•••••5XX

i•••!x娘xx

⑴求带电粒子到达B点时的速度大小；

⑵求区域I磁场的宽度以

（3）要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域II中的磁感应强度B2的最小值.

2yl3vo2y]3/nvo

答案（1尸尸（2）力：⑶L5S

解析（1）设带电粒子进入磁场时的速度大小为力与水平方向成。角，粒子在匀强电场中做

类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有12!1。=等=虫，则。=30。

LAB3

根据速度关系有。=岛=苦生；

（2）设带电粒子在区域[中的轨道半径为，1,由牛顿第二定律得W囱="£,轨迹如图甲所示：

2G

XXXX；

xxxx!

XXXX[

xxxx!

XXXX;

xxxx!

XXXX;

XXnXX!

XX；