中考数学知识点与经典题型练习 相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版)

专题11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

【模型证明】

“三垂直”揍塞

乜£

BCD

如图，ZB=ZD=ZΛCE=90o,则4A8CS∕∖COE

解决方

“一线三等角”模型

案

A

BCD

如图，ZB=ZACE=ZD,则△ABCSACOE

特别地，连接AE,若C为3。的中点，51'）ΔACE^∕∖ABC^ΔCDE.

【题型演练】

一、单选题

I.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片,

使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=4,

则AF的长为（）

B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6,AD=BC=8,NBAD=ND=90。，通过证明

∆pΓ）P

△ABF^∆DAE,可得——=——,即可求解.

ABAD

【详解】解：•・•矩形ABCD,

ΛZBAD=ZD=90o,BC=AD=8

.,.ZBAG÷ZDAE=90o

折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,

；•BF垂直平分AG

，NABF+NBAG=90°

.,.ZDAE=ZABF,

；.△ABFs/XDAE

.AFAB,AF6

..---=----即lπ----=—

DEAD48

解之：AF=3.

故答案为：C.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换

和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键.

2.如图，边长为10的等边.ABC中，点。在边4C上，且AD=3,将含30。角的直角三角

板（"=30。）绕直角顶点。旋转，DE、OF分别交边A3、BC于尸、。.连接PQ,当EF〃PQ

时，。。长为（）

A.6B.√39C.10D.6石

【答案】B

【分析】过点。作QKLAC于K,根据等边三角形，和含30。角的直角三角形，易证得

ΛADP^ΛBPQ,从而求得线段BP,AP,BQ,C。，CK,QK,DK的长度,最后在RtΛDQK

中利用勾股定理可以求得。Q的长度.

【详解】解：过点。作QKJ_AC于κ,

在等边4ABe中，ZA=NB=NC=60。，AB=BC=AC=10,

在RtEFD中,NE=60°,ZF=30°,

・・•EFUPQ,

ΛZDPβ=60o,NDQP=30。,

：.ZAPD+ZADP=ZAPD+NQPB,

：,ZADP=ZQPB,

XVNA=N3=60。，

：.4ADPsABPQ,

.ADAPPD

・,.在RtZ∖PQO中，NooP=30。，

PD=^QP,

,PD1

Lψ----=一,

QP2

.ADAPPD\

u'^P~~BQ~~QP~21

β.∙AD=3,

,3I

・・—=—,

BP2

・・・BP=G,

已知AB=IO

AP=AB-BP=∖0-6=4,

.41

,,蔽二5，

・•.BQ=Sf

.∖CQ=BC-BQ=]0-8=21

在RtZkCQK中，NC=60。，

/.NKQC=30。，

・・.KC=^-=-=lf

22

：・DK=AC-AD-KC,

：.Dλr=10-3-l=6,

而…奇

.∙.sin60°=^=—,

22

/.KQ=B

22

在Rt∆DQK中，DQ=y∣KQ+DK，

∙-∙DQ=7(√3)2+62=√3+36=√39，

即DQ=晒.

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找

到相似三角形是解题的关键.

4

3.如图，在矩形ABC。中，CD=4,E是BC的中点，连接AE,tanN4E8=§,P是AO边

上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点3处，当△/的是直角三

角形时，PO的值为()

A.I或5B.3或T

【答案】B

【分析】根据矩形的性质得到43=CZX/8=90。，根据勾股定理求得AE,当AAP。是直

角三角形时.，分两种情况分类计算即可；

【详解】・・・四边形ABCO是矩形，

：.AB=CD./8=90。，

4

VCD=4,tanZΛEB=-,：.BE=3,

3

2222

在放AABE中，AE=y∣AB+BE=√3÷4=5»

YE是BC的中点，

.∙.AD=6,

由折叠可知，PD=PD,

设ΛD=x,则PO'=x,AP=6-χf

当AAPO是直角三角形时，

①当NAQ'P=90。时，

，ZAD,P=ZB=90o,

∖uAD∕∕BC,

：.ZPAD'=ZAEB,

：.∆ABE^∆PD,A,

.APPD,

**AE-TF,

.6一%X

•・-----=—，

54

②当NAPD=90。时，

JNAw=N8=90。,

∖'ZPAE=ZAEBf

：.XkPaSXEBb,

.APPD,

Β,BE^7B,

.6-xX

..---=—,

34

综上所述：当AAPO是直角三角形时，PO的值为I或,；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与

性质，准确计算是解题的关键.

4.如图，在矩形ABC。中，Aβ=4,AD=5,E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF

过矩形的中心0,且“尸=AD.E为AB的中点，G为CD的中点，则四边形EFG尸的周长

为()

A.3√5B.6√5C.8√3D.6√3

【答案】B

【分析】连接EG,证明四边形E"G尸是矩形，再证明求得AH与Q”的

长度，由勾股定理求得E"与阳，再由矩形的周长公式求得结果.

【详解】解：连接EG,

・四边形ABS是矩形，

.∙.AB=CD,ABHCD,

E为AB的中点，G为CD的中点，

.∙.AE=DG,AEHDG,

四边形4EGf)是平行四边形，

.-.AD=EG,

矩形是中心对称图形，，尸过矩形的中心0.

.〔EG过点0,S.OH=OF,OE=OG,

■■四边形E"G尸是平行四边形，

HF=AD=EG,

四边形EaGF是矩形，

.-.ZEWG=9()°,

,ZA=Nr)=90°,

.∙.ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

.-.ZAEH=ZDHG,

.ΛAEH^∕∖DHG,

AHAE

..——=——,

DGDH

设AH=%,则

AE=IX)=-AB=2

2f

X_2

.∙.—=------，

25-x

解得，X=I或4,

.∙.A∕∕=1或4,

当AH=I时，DH=4,则HE=JAH心厉=Jl+4=行，

HG=4DH-+DG2=√42+22=2√5，

四边形EFGH的周长=2×(2√5+√5)=6√5；

同理，当A4=4时，四边形EFG〃的周长=2x（26+病=66；

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明

四边形EHG尸是矩形.

5.如图，E、F、G、“分别为矩形ABeQ的边48、BC、CD.D4的中点，连接AC、HE、

EC、GA、GF,已知AGLGF,AC=√6,则下歹（∣结论：①NDGA=NCGF；®/\DAG^∕∖CGF-,

③AB=2；④BE=gCF.正确的个数是（）

C.4个D.5个

【答案】B

【分析】由余角的定义可推出NE>G4+NCGb=90。，并不能说明NZ）G4=NCGF,说明①

错误；再根据NΩ4G+NL>G4=90o,可推出NDAG=NCGF,进而可证明CD4G^CGF,

说明②正确；连接BD,由三角形中位线可知GF=IgO=迈，再由=ZMG=CGF可进一

22

步推出义=孚，即CF=YZCG，即BE=夜CF，说明④正确；在M,Gb中,

CGCF2

GF2=CF2+CG2）即可求出CG长度，即可求出AB=2,说明③正确.

【详解】解：：ZAGF=90。，

.*.ZDGA+ZCGF=90°,

不能说明ZDGA=ZCGF,故①错误.

∙."ZDAG+ZDGA=90°,

：.NDAG=NCGF,

又∙/ZADG=ZGCF=90°

.∙.jDAGCGF,故②正确.

如图连接BD,

由题意可知AC=BO=#，

VG和F分别为CD和BC的中点,

GF=-BD=-,

22

,/DAGCGF

.ADDG,,2CFCG

••二，1a、IJ=

GCCFCGCF

∙,.CF=-CG

2

在用GCF中，GF2=CF1+CG2,即(CG)2+CG2,

解得CG=I

ΛAB=2CG=2,故③正确.

∙/BE=CG,

：.CF=*BE,即BE=夜CF，故④正确.

综上正确的有②③④共3个.

故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定

理，综合性强.能够连接常用的辅助线和证明CD4G-CGE是解答本题的关键.

4

6.如图，在，ABC中，ZC=90o,AB=5cm,cosB=-.动点。从点A出发沿着射线AC的方

向以每秒Icm的速度移动,动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已

知点。和点E同时出发，设它们运动的时间为r秒.连接8D.下列结论正确的有()个

ΦBC=4;

②当Ar)=AB时，tan∠A8L>=2;

25

③以点8为圆心、BE为半径画B,当f=■时，DE与B相切；

④当NCBO=NADE时，：=泉

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC,BD,AG,再用正切锐

角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判

定与性质建构方程，解方程求解可判断④

44

【详解】解：在ABC中，NC=90°,AB=5cm,CosB=M.BC=ABcosB=5×-=4.

故①8C=4正确；

作AGj于G,

在RtΔ,A8C中,AC=yJAB2-BC2=√52-42=3>

∙.∙A3=A8=5,AG-LBD

：.CD=AD-AC=5-3=2,DG=BG,

在Rt中，BD=√CD2+BC2=√22+42=2√5>

JDG=BG=B

222

在RtABGA中，AG=√AB-BG=y∣5-(75)"=2√5.

•∙ZAG2√5.

••tanZ4AβBnD==—?=-=2,

BG√5

故②当AZ)=AS时，tanZA8f>=2正确;

A

AΓ3

AD=t,BE=2t,COSA=M==,

AB5

当f*时，3咛，8E=2f=2x*瑛

.*.AE=AB—BE=5-2/=5—-=—

1313

15

••空_亘_3

・ΛD-25^5

AΓAQ

ΛcosΛ=-----=-----,ZDAE=ZBAC/

ADAB

：.∆ADE^∆ABC,

.∖ZAED=ZACB=90∖

JZDEB=90o,

DE与-8相切，

25

故③以点8为圆心、BE为半径画。瓦当/=”时，OELj8相切正确;

过《作LAC于”,

当NCBO=NA。E时，

,.∙NEHD=NDCB=9。。,

.∖LEHDsdDCB,

.HEDH

•.---=----,

CDCB

VΛE=5-2Λ

AH=—(5-2z),EH=W(5-2f),CD=3—t>HD-AD—AH—t—3+—t——f—3,

∙∙∙∕-2f)g-3,

3-t4

整理得Ilf2-8(⅛+125=0,

因式分解得(IIf-25)(-5)=0,

；•/=提或f=5(舍去)，

故④当NCBD=NAz)E时，t=正确；

正确的结论有4个.

故选择D.

【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，

一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的

切线判定，一元二次方程的解法是解题关键.

二、填空题

7.如图，正方形ABCo的对角线AC,8。相交于点0,A8=50，E为OC上一点，OE=I,

连接BE,过点A作AFɪBE于点F,与BD交于点、G,则EF的长是.

AD

【答案】好叵

29

FFAρ

【分析】根据正方形的性质求出Ao=BO=CO=5,证明^EBOSÆEA尸得到煞=寸,

OEBE

即可求出答案.

【详解】解：四边形ABCO是正方形，ΛB=5√2.

.∙.ZAOB=90o,OA=OB=OC=OD,

：2OA1=AB2.

：.AO=BO=CO=5,

AFYBE,

.-.AEBO=ZEAF,

EFAE

EAF,即一=—

OEBE

OE=2,OB=OA=5,

.∙.BE=√29,AE=I,

.EF-7黜为FF14则

-2-√29-MEF=^-

故答案为：巴叵.

29

【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并

运用各知识点是解题的关键.

8.如图，在矩形ABC。中，AB=9,BC=12,尸是边AD上一点，连接将△回尸沿

B尸折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CO于点E,连接GZX若ADEG是以。G为腰

的等腰三角形，则AF的长为.

【答案】27-94或?

22

【分析】分两种情形：如图1中，当GQ=GE时，过点G作GMLAO于M,GNLCD寸N.设

ARApA

AF=x,证明△BAFSAADE,推出一=一,可得DESX,再证明AM=MZ>6,在RtXFGM

DADE3

中，利用勾股定理构建方程求解.如图2中，当。G=OE时，利用相似三角形的性质求解即

可.

【详解】解：如图I中，当G£>=GE时，过点G作GM_LA/）于M,GNLeD千N.设AF=x.

图1

：四边形ABeO是矩形，

.,.AD=BC=12,NBAF=NADE=90°,

由翻折的性质可知，AF=FG,BFLAG,

/.ZDAE+ZBAE=Wo,ZABF+ZBAE=90o,

：.ZABF=ZDAE,

'：/84F=NAOE=90。，

：.ABAF^ΛADE,

.ABAF

DADE

-2__L

"12"DE,

4

ΛDE=

3

VGΛ∕1ΛD,GNLCD,

：.ZGMD=ZGND=ZMDN=90o,

J四边形GMDV是矩形，

.∖GM=DN=EN=-x

3f

•：GD=GE,

：・ZGDE=ZGED9

∙.∙NGQA+∕GOE=90°,/GAO+/GEQ=90。,

JNGZM=NGAO,

：.GA=GD=GE,

YGM∕∕DE,

.∙.AM=MD=6,

在放AFGM中，则有V=(6-X)2+(∣X)2,

解得*=27二9占或27+9«(舍弃)，

22

∙∙.AF=27-9后.

2

：.ZBAG=ΛBGA,

•：DG=FE,

：.ΛDGE=ZDEG,

uCAB//CD,

：,/BAE=ZDEG,

：.ZAGB=ZDGEf

.∙.8,G,。共线，

1122

∙∙∙BD=4AB+AD=√9÷12=15BG=BA=91

：.DG=DE=6,

YXBkFSXNDE,

.AFAB

tt~DE~~ADr

.AF9

..---=一,

612

•人厂9

..AF=-,

2

综上所述，AF的值为27-9石为2

22

【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.如图，A8C为等边三角形，点。，E分别在边AB,ACl.,BD=3,将VAz)E沿直线

OE翻折得到VFr>£,当点尸落在边BC上，且BF=4C9时，OE∙A尸的值为.

【分析】根据△ABC为等边三角形,ΔAoE与A尸Z)E关于。E成轴对称,可证ABDFsilCFE,

根据8P=4CF,可得CF=4,根据AF为轴对称图形对应点的连线,QE为对称轴,可得。ELAF,

根据S附5;ADFE=^DE∙AF=SACEF=-SAABC-SΔCEF,进而可求DEAF=更坦.

23

【详解】解：如图，作AABC的高AL,作ABO/的高

∙.∙AABC为等边三角形，△4。七与4FDE关于DE1成轴对称,

ZDFE=ZDAE=60o,AD=DF,

：.ZCFE+ZFEC=ZCFE+ZDFB=120°,

：・ZDFB=ZCEF9

又NB=NC=60°,

/.△BDFSACFE,

.BDCF

ΛΛ~BE~~CE'

BFCF

HPCE=-—―,

BD

设CF=X(X>0),

∙;BF=4CF,

BF=4x,

•；BD=3,

•万口4x2

3

•：BC=BF+CF=4x+x=5x，

4χ

：・AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3,AE=EF=5x—--

3

,：&BDFs>CFE,

.DFBD

"EF^CF,

_5x-3_=3

∙*∙4X2X

5Cx-------

3

解得：户2,

.∙.CF=4,

.*.BC=5x=10,

•・•在mZkABL中，NB=60。，

.*.AL=ABsin60o=l0×旦56

2

；.SΔABC=∙ɪ×10×5√3=25y∕3,

2

,/在RmBHD中，BD=3,Z8=60°,

DW=BDsin60°=3x且=—,

22

SzjBCF=』BF∙OH=工X8X至=6石,

222

,.∙ABDFSACFE,

l≡√M√2Y-2

SCFE\CF){2)4

SΔBDF=6>∕3，

.SACEF工B

3

又尸为轴对称图形对应点的连线QE为对称轴,

：.AD=DF,△AO尸为等腰三角形，DELAF,

S噌旅ADFE=^DE-AF=SACEF=-SΔABC-SΔCEF

=25√5一6瓦地=侦，

33

,___98√3

•∙DE∙AF=-------.

3

故答案为:混目.

3

【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明&型相似，以及“垂美

四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半.

三、解答题

10.如图，在矩形ABC。中，E为AO的中点，EFLEC交AB于F,延长FE与直线Co相

交于点G,连接尸C(AB>AE).

(1)求证：ZAEFSXDCE;

(224EF与AEC尸是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(3)设器=Z,是否存在这样的人值，使得AAEF与ABFC相似？若存在，证明你的结论并

求出A的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)相似，证明见解析

(3)存在，k吗

【分析】(1)由题意可得/4EF+/OEC=90。，又由NAEF+/AFE=90。，可得/OEC=

ZAFE,据此证得结论；

(2)根据题意可证得RrAAEFgRdOEG(ASA),可得EF=EG,ZAFE=ZEGC,可得CE

垂直平分FG,ΔCGF是等腰三角形，据此即可证得AAEF与AECF相似：

(3)假设△/1E尸与△8fC相似，存在两种情况：①当NAFE=N8CF,可得NEFC=90。，根

据题意可知此种情况不成立；②当∕4FE=∕8FC,使得AAEF与ABFC相似，设8C=α,

12

则AB=h,可得AF=Ifa/,BF=-ka,再由AAEFS∕∖QCE,即可求得％值.

(1)

证明：'CEFLEC,

/.ZFEC=90°,

ZAEF+ZDEC=9Q0,

,.∙∕AEf+NAFE=90°,

：./DEC=NAFE,

又；ZA=ZEDC=90o,

；.△AEfS△”1£■；

(2)

解：七AEFs∕∖ECF.

理由：为AO的中点，

.,.AE=DE,

":ZAEF=ZDEG,NA=NEDG,

：.ZXAE尸丝ZXDEG(ASA),

：.EF=EG,NAFE=NEGC.

又；EHCE,

...CE垂直平分尸G,

...△CGF是等腰三角形.

NAFE=NEGC=ZEFC.

又YZA=ZFfC=90°,

t∖AEFsXECF*、

(3)

解：存在&=里使得AAEF与ABFC相似.

理由：

假设AAEB与△8R7相似，存在两种情况：

①当NAFE=NBCF,则有NAFE与/8FC互余，丁一是NE尸C=90。，因此此种情况不成立;

②当/AFE=NBFC,使得AAEF与ABFC相似，

设BC=a,则AB=ka,

:XAEFsXBCF,

.AF_AE∖

,'~BF~~BC~2,

12

'.AF=-ka,BF=-ka,

33

∙/XAEFsXDCE,

•空一空即ɪ必ɪ,

DCDEka—Ica

2

解得，k=室.

，存在后=当使得AAEF⅛Δ8尸C相似.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，

等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

11.(1)问题

如图1,在四边形ABCo中，点P为AB上一点，当Nr)PC=∕4=NB=90。时，求证：

ADBC=APBP.

(2)探究

若将90。角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

(3)应用

如图3,在.ABC中，ΛB=2√2,NB=45。,以点A为直角顶点作等腰心&OE.点。在

BC上，点E在AC上，点尸在BC上，且NEFo=45。，若CE=非,求CQ的长.

图1图2图3

【答案】(1)见解析：(2)成立,理由见解析；(3)CD=5

【分析】(1)由N/)PC=/4=8=90。，可得NAQP=N8PC,即可证到△A。PS△BPC,然后

运用相似三角形的性质即可解决问题；

(2)由NoPC=NA=NB=α,可得NADhNBPC,即可证到△A。PS△台尸然后运用

相似三角形的性质即可解决问题；

(3)先证△ABD^ΔDFE,求出。尸=4,再证△EFCSʌDEC,可求FC=I,进而解答即

可.

【详解】(1)证明：如题图1,

∙."NDPC=NA=NB=90。,

o

：.ZADP+ZAPD=90fZBPC+ZAPD=90°f

ZADP=NBPC,

.∙.∕∖ADP^△BPC,

.ADAP

'~BP~~BC9

.∙.ADBC=AP+BP,

(2)结论仍然成立，理山如下，

ZBPD=ZDPC+ZBPC,

又，ZBPD=ZA+ZADP,

NDPC+/BPC=ZA+ZADP,

ZDPC=ZA,

设NoPC=ZA=α,

.∙./BPC=ZADP,

:△ADPs∕∖BPC、

.ADAP

''~BP~~BC,

LADBC=AP∙BP,

(3)/EFD=45。,

.∙.NB=ZADE=45。,

ZBAD=ZJEDF.

:.ABD^DFE，

ABAD

'~DF~~DE'

VADE是等腰直角三角形，

：.DE=6AD,

AB=2∖∣2，

。尸=4,

,ZEFD=45o,ZADE=45°,

NEFC=NDEC=135。,

:._EFCs.DEC,

.FCEC

,'EC~'CDt

,EC=BCD=DF+FC=4+FC,

ΛEC2=FC∙CD=FC∙(4+FC)=5,

.∖FC=1,

.,.CD=5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45。角将问题转化为

一线三角是解题的关键.

12.【感知】如图①，在四边形ABCC中，点P在边48上（点P不与点A、8重合），

ZA=NB=NDPC=90°.易证4。，钎6/^尸8。.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点尸不与点A、B重合），

ZA=NB=NDPC.若PD=4,PC=8,BC=6,求4P的长.

【拓展】如图③，在.ABC中，AC=BC=8,AB=12,点P在边48上（点P不与点4、

8重合），连结CP,作NePE=NA,PE与边BC交于点、E,当△（7/>£：是等腰三角形时，直

接写出AP的长.

【答案】【探究】3；【拓展】4或

【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

拓展：证明AAC尸S分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性

质计算即可.

【详解】探究：证明：：NOPB是AAPO的外角，

ZDPB=ZA+NPDA,

即ZDPC+NCPB=ZA+NPDA,

,?ZA=ZDPC,

：.ZPDA=ZCPB,

XVZA=ZB,

ADAPSAPBC,

.PDAP

^~PC~~BC1

∙.∙QD=4,PC=8,BC=6,

4AP

•・•一=_，

86

解得：AP=3；

拓展：♦:AC=BC,

，NA=N8,

YNCPB是AAPC的外角，

，ZCPB=ZA+ZPCAtBPZCPE+ZEPB=ZA+ZPCA,

∙/ZA=ZCPE9

：.ZACP=ZBPE.

ZA=ZB9

：.AACPsABPE,

当CP=CE时，NCPE=NCEP,

•；NCEP>NB,ZCPE=ZA=ZBf

,CP=CE不成立；

当PC=PE时，△ACP^ABPE,

则PB=AC=S.

ΛAP=Aβ-PB=12-8=4;

当EC=E尸时，ZCPE=ZECPf

YZB=ZCPE1

：.ZECP=ZB1

LPC=PB,

•：XACPsABPE,

.ACAP_PC

^~BP~~BE~~EP9

口口812-PBPB

.`•——,

PBBES-BE

解得：PB=y,

AP=AB~PB=12--=—,

33

20

综上所述：ACPE是等腰三角形时，AP的长为4或

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质,

灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

ΛΓ)

13.如图，在矩形A8C3中，E是8C上一点,。尸_LAF于点尸，设弁=4(4>0)∙

（1）若4=1,求证：CE=FE;

（2）若Aβ=3,AP=4,且。、B、厂在同一直线上时，求/1的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）ɪj

【分析】（1）根据矩形的性质可得，N8=90。，AD∕∕BC,AB=CD,AD=BC,再根据已知

条件DF_LAE,即可证明.Z）E4丝AABE,则AF=BE,进而通过线段的和差关系求得；

（2）由勾股定理求得8。的长度，再由AABO的面积求得加'的长度，则可用勾股定理求得

。户的长度，则可得BF的长度，再由SQEA=NBE,求得硝的长度，在RtABE中，根

据勾股定理即可求得AE,即可求得4的值.

【详解】（1）V2=1,

.AD,

••---=1,

AE

：,AD=AEf

又Y四边形ABC。是矩形，

ΛZB=90o,AD∕∕BC,AB=CD,AD=BC,

：•ZDAF=ZAEB,

:DFLAE,

・•・NoE=NB=90。，

・•・在.∙W¾和zM5f中，

NDFA=NB

<ZDAF=NAEB

AD=AE

・•...DFAqAABE,

：・AF=BE,

,.∙AE=AD=BC,

：.AE-AF=BC-BEf

：.CE=FE;

（2）如图，D、B、尸三点共线，

AD

∙'∙BD=√AB2+AD2=√32+42=5»

∙.,DFLAE,

：.S=-ABAD=-BDAF

ΛLSAΛDRLΠ∕229

..LABAD3×412

..Ar=-----------=----=一,

BD55

：.DF=y/AD2-AF2=^42-(y)2=y,

169

：,BF=BD-DF=5一一=-,

55

'."ADHBE,

・•・在ZXAOb和△£»尸中，

/FAD=/FEB,ZADF=ZEBF,ZAFD=NEFB,

：.丛ADFsAEBF,

.ADDF

,,~EB~~BF'

16

即名=等，

EB9

5

,AD416

Λ=----=----=—

AE1515.

Z

【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾

股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定

理求解线段的长.

14.如图，矩形ABCD中，AB=I,BC=3,点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），

AE的垂线AF交CD的延长线于点F,点G在线段EF上，满足FG:GE=I：2,设BE=工

(1)求证：—=—

ABBE

(2)当点G在aADF的内部时，用X的代数式表示NADG的余切;

(3)当/FGD=/AFE时,求线段BE的长.

AD

B

备用图

【答案】（1）见解析；（2）君：（3）9-√77

6x-12

【分析】（1）根据题意可证明/DAF=NBAE,又由于NABE=/ADF=90。，即证明

∆Γ)DF

△ADFS^ABE，所以-

ABBE

（2）作GHLCF于H,根据题意可求出DF=3BE=3x,根据平行线分线段成比例得出

隼=，即可列出关于X的等式，从而得出GH和FH的长，即可求出HD的长,

ECFCFE3

COtNADG=COt/DGH=黑，即可求出结果.

HD

（3）作EM〃GD交DC于点M,即可知P芸D一F会G=：1,可求出DM,从而求出CM,根据图

DMGE2

形可证明AABES^ECM,即可得至嚅=得，即列出关于X的方程，解出X即可.

【详解】（1）如图，因为AF_LAE,

ZEAF=ZBAD=ZADF=90o.

：同角的余角相等,

ΛZDAF=ZBAE.

*：ZABE=ZADF=90o.

Λ∆ADF<^∆ABE.

.ADDF

,ÆB-^BE

(2)由募=M=］得DF=3BE=3x.

BEAB1

如图，作GH_LCF于H,那么GH//BC//AD.

根据题意结合平行线分线段成比例得：票=饯=黑=L

ECFCFE3

YEC=BC-BE,FC=CD+DF,

；•普=^7=<∙即GH=:(3-x),FH=ς(3x+D.

3-X3x÷l333

在RlAGHD中，HD=DF-FH=3x-g(3x+l)=2x-g=g(6x-l),

；/ADG=NDGH,

GHJ(3-x)

/.COtZADG=COtZDGH=-=f--------=

HDl(6x-i)61

(3)当点G在AADF内部时，很明显/FGD和NAFE不相等.所以点G在AADF外部.

如图，作EM//GD交DC于点M,那么照=言=：.

DMGE2

ΛDM=6x,

ΛMC=1-6%.

如果NFGD=NAFE,那么AF//GD//EM.

ΛZAEM+ZEAF=180°.

ΛZAEM=90o.

Λ∆ABE^∆ECM.

.ABEC13-x

・∙--=--.tπψrι-=----.

BECMX∖-6x

整理，得X2-9X+1=0.

解得Λ,=%Ξ普，弓=2±产＞3（不符合题意，舍去）.

所以be=9-√77

2

【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质.综合性较强，作

出辅助线是解答本题的关键.

15.如图，已知四边形ABCD,NB=NC=90。，P是BC边上的一点，ZAPD=90°.

（1）求证：ΛABPAPCD；

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得NW=NCPD,再根据相似

三角形的判定即可得证；

（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得.

【详解】（I）N8=NC=90°,ZAPD=90°,

.∙.NBAP+ZAPB=NCPD+ZAPB=90°，

:4AP=NCPD,

NBAP=NCPD

在&4?P和.PCD中,

NB=NC

:..ABP-PCD；

(2)在∕⅛VP8中，CD=3,PD=3√5,

.∙.PC=yjPD2-CD2=6-

8C=10,

JPB=BC-PC=A,

由(1)已证：AABPAPCD,

ABPBFWAB4

PCCD63

解得A8=8.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题关键.

16.如图，四边形ABCO和四边形AEFG都是矩形，C,F,G三点在一直线上，连接4尸并

延长交边CD于点M,若/AFG=ZACD.

(1)求证：①AMFCs∕∖MCA;

CF

②若AB=5,AC=S,求力;的值.

BE

(2)若QM=CM=2,AD=3,请直接写出长.

【答案】(1)①见解析；②兽=1：(2)M=2叵.

EB565

【分析】(1)①根据两角对应相等两三角形相似，证明即可.

ApAp,Δ17Δ(~,

②证明△AEFs∕∖ABC,推出芸=F7,推出F=F•,推出AFACsaEAB,可得结

ACABAEAB

论.

CMFM

(2)利用勾股定理求出AM,AC,由MFCSZSMCA,推出=,求出MF,AF,

AMCM

FFΛF

由AAEFsZSABC,推出鼻=能，可得结论.

oCAC

【详解】(1)①证明：YNARJ=/ACD,

JZFCA+ZFAC=ZFCA+ZMCFf

：.AFAC=AMCF,

•：/FMC=∕CMA,

：・丛MFCS∕∖MCA∙

②解：Y四边形AEFG,四边形43Cz)都是矩形,

.∖FG∕∕AE,CD//AB.

：.ZAFG=ZFAE9ZACD=ZCAB9

•・•ZAFG=ZACD,

：.AFAE=ACAB,

o

∙.∙ZAEF=ZABC=90f

∆AEF^ΔAβC,

・AF_AE

9tAcTB1

-A——AC

"AE^∑i,

VZFAE=ZCABf

：.ZEAC=ZEAB9

Λ∆MC^∆EAθ,

.FCAC8

,9~EB~~AB~5,

(2)解：•・・四边形A8CO是矩形，

ΛZD=90o,AD=BC=3,

'JDM=MC=2,AO=3,

22222222

.∖CD=4fAM=JAD+DM=√3+2=√13»^C=y∣AD+CD=√3+4=5,

T∆MFC^∆MCA,

.CM_FM

,,∑w-CM,

.CM'4√13

..FM=------=——，

AM13

AF=AM-FM=Mɪ,

13

,.∙∆ΛEF^∆ΛβC.

.EF_AF

'"^BCAC'

,EF_即

5

.S27√13

..EF=——--.

65

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理

等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

17.如图，在正方形ABe。中，点E在上，EFLBE交CD于点F.

(I)求证：AABE/SDEF；

(2)连结BF,若AABEAEBF,试确定点E的位置并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)点E为4。的中点.理由见解析

【分析】(1)根据同角的余角相等证明/A8E=/OE凡再由直角相等即可得出两三角形相

似的条件；

4«AR

(2)根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出行=丁，即可得出DE=AE.

DEAE

【详解】(1)证明Y四边形ABCD是正方形，

ZΛ=ZD=90o,

/.ZAEB+ZΛBE=90o,

YEF上BE,

：.∕AEB+NDEF=90°,

：.ZABE=ZDEF.

在AABE和aOM中，

jZABE=ZDEF

[ZA=ZD

；・4ABESADEF；

(2)Y4ABEsADEF,

.ABBE

UΛ~DE~~EF,

∙.FABES4EBF,

.ABBE

"^E~~EF,

.ABAB

..-----=-----,

DEAE

：.DE=AE,

.∙.点E为AO的中点.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解

决(1)的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决(2)的关键.

18.如图，正方形ABCD的边长等于6,P是BC边上的一动点，ZAPB.NAPC的角平分

线PE、P尸分别交A8、CD于E、F两点,连接EF.

(1)求证：△BEPS4CPF；

(2)当N∕¾B=30。时，求△PEF的面积.

【答案】（1）详见解析：（2）2-空.

3

【分析】（1）由于PE平分NAPB,PF平分NAPC,所以NEPF=90。，然后根据相似三角形

的判定即可求证4BEPSZ∖CPF;

（2）由题意可知NBPE=30。，ZFPC=60°,根据含30度的直角三角形的性质即可求出答

案.

【详解】（1）/PE平分NAPB,PF平分NAPC,

ΛZAPE=∣ZAPB,ZAPF=IZAPC,

.∙.∕APE+NAPF=g（ZAPB