2023届广东省广州市重点初中高二数学第二学期期末调研试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.袋中有大小和形状都相同的3个白球、2个黑球，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白

球的条件下，第二次取到白球的概率是（）

2.二项式［4—的展开式中的系数是（）

A.10B.-10D.-5

3.若函数/（x）=sinCDX-^-）（0<。<10）的图象与8（%）=85（%+0）（0<°<3）的图象都关于直线尤=一右对

\3J12

称，则”与。的值分别为（）

-„7T_7t

A.8,—B.2,—C.8,—D.2,—

12121212

4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是（）

A.假设三内角都大于60°B.假设三内角都不大于60°

C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°

5.在A4BC中，a=6,b=T,则等于（）

7Cp,2兀7C7T_57r兀

A.一或一B.一C.一或一D.—

333666

6.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

1-J1a1310

A.一cnrB.-cmC.—cmD.一cm

23612

7.函数尸、1=._：：，若,,,；=3=:有8个不相等的实数根，则,工的取值范围是

A

-（2\巴司B.p<4]C.（X2通”（、区旬

8.（2x+l）（x+l>的展开式中*5的系数为（）

A.1B.9C.10D.11

9.欧拉公式*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集,

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式

可知，表示的复数的虚部为（）

1

A.-C.BD.乌

222

10.已知函数/(%)=|2%一3|-|2%+1|,g(x)=^5(x-l)+yjl-x,若对X/fe(fo,+oo),玉e[l,7],使

/(r)+aWg(s)(a>0)成立，则实数的“取值范围是()

A.(0,2]B.(2,3]C.[3,6]D.[4,-hoo)

11.下列函数中，既是偶函数，又在区间[05上单调递增的是()

/1\W

A.y=cosxB.y=-x2C.y=-ID.y=|siru|

12.设集合A={1,2,4},B={X|X2-4X+^=0}.若ACB={1},则3=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（〃是奇数）

13.在数列{%}中，4=r,J=%+%+L+%,,贝*吧.

-余（〃是偶数）

14.在极坐标系中，曲线。：。=2被直线/:夕cos6=l所截得的弦长为.

15.已知/'（X）是函数f（x）的导函数，/（x）=2'+21n（x+l>r（0），则/'（1）=.

16.曲线y=-x3+3x2在点（1,2）处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆「：1+4=1（。＞万＞0,4/€"*）的左、右焦点分别为耳，F,,过原点。且斜率为1的直

矿b~

线交椭圆「于A,8两点，四边形耳A与B的周长与面积分别为12与三石.

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）直线/与圆V+y2=i相切，且与椭圆「交于M,N两点，求原点到MN的中垂线的最大距离.

18.（12分）如图，在正四棱柱ABC。-44GA中，已知AB=2,A/=5,

E、F分别为RO、B|B上的点，且DE=B]F=1.

⑴求证：BE_L平面ACF；

（2）求点E到平面ACF的距离.

1

x=­m

2

19.（12分）已知在平面直角坐标系刀，少中，直线/的参数方程为〈（“为参数），以坐标原点为极点，x轴

y=——m

2

2>/152,

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2—22cos6-2=0,点A的极坐标为

37

（1）求直线/的极坐标方程;

（2）若直线/与曲线C交于B,C两点，求A3C的面积.

20.（12分）已知函数/（的=壬二竺士且，g（x）=x//（x）—2x.

e'

（1）当。=1时，求函数g（x）的极值；

（2）讨论函数/（x）的单调性.

21.（12分）已知正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,A4=G，点。为AC的中点，点£在线段上.

4„

(I)当AE:E4,=1:2时，求证OELBC”

(II)是否存在点E，使二面角O—BE—A等于60。？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.

22.(10分)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为a的直线/过点A(2,1).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为p=2sin。，直线/与曲线C分别交于尸，。两点.

(1)写出直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程.

⑵求IAP|•|AQI的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

分别计算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根据条件概率公式求得结果.

【详解】

记”第一次取到白球”为事件A，贝"(A)=：

记”第一次取到白球且第二次取到白球”为事件8,则P(A8)=3X：=S

5410

3

二在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率：夕(卸4)=爷?=普=；

5

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查条件概率的求解问题，易错点是忽略抽取方式为不放回的抽取，错误的认为每次抽到白球均为等可能事件.

2、B

【解析】

利用二项展开式的通项公式，令X的幕指数等于-2,即可求出厂2的系数.

【详解】

由题意，二项式（4—展开式的通项公式为7；+1=G[4）j（—=C；（—l）'x手，

令三上=一2,解得r=3,

2

所以『的系数为Cf（—Ip=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

3、D

【解析】

（7T\7171

分析：由题意得。・一行一]=5+%万，结合0＜。＜10即可求出0,同理可得。的值.

详解：函数“无）=$皿（5-1^（0＜/＜10）的图象与8（力=以%（%+0）（0＜0＜3）的图象都关于直线.丫=一\对

称,

(7l\7171.71

/.CD--------------=----FK7T和-----(0—n7i(女,〃£Z)

I12；3212”

JT

解得口=-10-12攵和°=五+〃万，

0＜。＜10和0＜。＜3

二女=—1时，＜y=2；

〃=0时，。=五.

故选：D.

点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.

4、B

【解析】

反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.

【详解】

假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°,故本题选

B.

【点睛】

本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.

5、D

【解析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求sin8,再求D8.

【详解】

,.71

由正弦定理U丁熹'可得如武第Ixsin—

3]_

2

71

由b<a,可得N8<NA,所以=w.故选D.

6

【点睛】

本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.

6、C

【解析】

分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1,高为1的三角形，三棱锥的高为1,根据三棱

锥的体积公式得到结果.

详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，

11,

三棱锥的底面是一个边长为高为lc〃?的三角形，面积S=-xlxl=-c/«2,

22

三棱锥的高是1cm,所以V=」xLxl=」cm3

326

故选C.

点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影

关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性.

7、A

【解析】

方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数，的图象，可知方程了=C必存在2

个大于1的不等实根.

【详解】

若丫,j+3=J有8个不相等的实数根=关于勺：的二次方程必有两个大于1的不等实根,

J=ms—12>0.

=»2^<m<4

（,1-m+3>0,

【点睛】

与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于,的一元二次方程,

再利用二次函数根的分布求”的范围.

8、D

【解析】

根据组合的知识可求（X+1）’展开式的含.一和/的项，分别乘以（2x+l）的常数项和一次项，合并同类项即可求解.

【详解】

因为（x+l）5展开式中含丁项的系数为以=1,含/项的系数为仁=5,乘以（2x+l）后含/项的系数为

1x1+2x5=11,故选D.

【点睛】

本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.

9、C

【解析】

先由题意得到j'=cos2+isin&,进而可求出结果.

33

【详解】

由题意可得：^cos-+isin-^-+—i,所以虚部为由.

33222

故选C

【点睛】

本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.

10、A

【解析】

由题意得“对Vfe(-o),”)，玉使/⑺+a«g(s)(a>0)成立”等价于“/(旦皿+。4g。)”,”

/(x)=|2%-3|-|2x+l|=<|(2x-3)—(2x+1)|=4,当且仅当(2x-3).(2x+l)>0时等号成立.

：•/(X)max=4.

在g(x)=J5(x-1)+(7-x中,由f解得lWx«7.

令x=4+3cosa。w［O,乃］,

则g(x)=J5(3+3cose)+，3-3cos6=^5［3+3(2cos2-1-1)］+^3-3(1-2sin21)

=J30cos2'+J6sir)2\=后,(sing+加cos勺=娓•瓜sing+夕)K6,(其中tane=A/^).

•••g(x)max=6・

由4+。<6,解得〃<2,

又。>0,故0<〃<2,

・•・实数的，取值范围是(0,2］.选A.

点睛：

(1)对于求产|万一4+|%—4或)=|什4一忖一。|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如

>'=|x—a|+|x—Z?|的函数只有最小值，形如>=|叶。］—|》一。|的函数既有最大值又有最小值.

(2)求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元

的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解.

11、D

【解析】

分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.

详解：四个选项中的函数都是偶函数，

在［0,1］上A,8,C三个函数在［0,1］上都递减，不符合题意，

在［0』上递增的只有O,而故选D.

点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应

用所学知识解决问题的能力.

12、C

【解析】

•.•集合A={1,2,4},3={x|x2—4x+〃?=0},AcB={l}

x=1是方程x?—4x+〃?=0的解，即1—4+僧=0

/.m=3

:.5=^x|x2-4x+m=o|=|x|x2-4x4-3=o|={L3},故选C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、一

8

【解析】

先根据分组求和得S”再求极限得结果.

【详解】

1,（〃是奇数）

因为4=，5,,所以邑.=（/一看）+（/_］）+L+（p|zr一套）

7,（〃是偶数）

因此阳S2“=哽'-

故答案为：!

O

【点睛】

本题考查分组求和以及数列极限，考查基本分析求解能力，属中档题.

14、26

【解析】

将直线和曲线C的方程化为普通方程，可知曲线C为圆，然后计算圆心到直线的距离。和半径「，则直线截圆所得弦

长为25//一屋。

【详解】

曲线C的直角坐标方程为d+y2=4,直线/：X=l,所以圆心到直线的距离为d=l,

所求弦长为2G.故答案为：26。

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几

种方法：

①几何法：计算圆心到直线的距离d,确定圆的半径长广，则弦长为2尸方；

②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去x或V,得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为

J/+1，-X21="之+1+%）2-4X]V或+1，|]

=出1+1,（弘+%）2_4必必（其中人为直线的斜率，且Z/0）；

x=厮+，cosa

③将直线的参数方程,a为参数,a为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于『的二次方程,

y=y0+/sma

列出韦达定理，则弦长为M-GI=小（4+手）2—4v2。

15、In2

【解析】

分析：先求导，再求r（o）,再求r（i）.

2

详解：由题得广（幻=2、In2+—7r（0）,

x+1

2

令x=0得/'（0）=2°In2+--r（0）,/.f（0）=-ln2,

0+1

2

所以/，（1）=？In2+——（~/n2）=/〃2.

1+1

故答案为：ln2.

点睛：（1）本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题。）解答本

题的关键是求f'（0）.

16、3x—y—1—0

【解析】

试题分析：因为旷=-1+3/,所以y=-3/+6x,则在（1,2）点处的切线斜率为％=3,所以切线方程为

y-2=3(x-1),即3x-y-1=0；故填3x-y-l=0.

考点：导数的几何意义.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、(1)—+y2=1(2)-

9-3

【解析】

（1）不妨设点A（Xo，y0）是第一象限的点，由四边形居B的周长求出面积求出方与c关系，再由点A在直线

y=x上，得到七与c关系，代入椭圆方程，求解即可;

（2）先求出直线/斜率不存在时，原点到的中垂线的距离，斜率为0时/与椭圆只有一个交点，直线/斜率存在

时，设其方程为〉=H+加（心0）,利用与圆f+y2=］相切，求出左,机关系，直线/方程与椭圆方程联立，求出肱V

中点坐标，得到MN的中垂线方程，进而求出原点到MN中垂线的距离表达式，结合机"关系，即可求出结论.

【详解】

（1）不妨设点A（x。,%）是第一象限的点，

因为四边形耳囚丹8的周长为12,所以4。=12,a=3,

因为一es=上石，所以:x2cx2yo=qJL

一।-525

得先=?石，点A为过原点。且斜率为1的直线与椭圆的交点,

5c

即点A在直线y=x上，点A（金遂,二君］在椭圆「上，

\5c5c）

所以2+5,326从ttan436八.7

=1,即—I=9—b^

55b29

36

解得层=1或/0=不（舍）,

所以椭圆的标准方程为二+V=1.

9-

（2）当直线的斜率不存在时，直线为x=±l,

线段MN的中垂线为x轴，原点到x轴的距离为0.

当直线/的斜率存在时，设斜率为攵，依题意可设/:丁=依+讯％/0）,

\m\

因为直线/与圆Y+J?1相切，所以=1,

yjl+k2

y=kx+m

设川（西,乂）,N（9,%），联立<

X1+9/=9'

得(1+9炉)d+i8Azm；+9病—9=0,

由d>0,得〃，<9/+1，又因为加2=1+k2,所以后。0,

18/772

所以玉+x=-

21+9小

（9kmm

所以MN的中点坐标为-E,M

所以加的中垂线方程为、一屈=一工1\卜9+k由m

外小r3>8km八

化简，得x+6+----7=0，

1+9Z

I8kmI

原点到直线中垂线的距离d==为284

VT7F1+9/：-13

+9阳

阳

当且仅当小=9|%|,即|幻=!时，等号成立，

I攵I3

4

所以原点到MN的中垂线的最大距离为］.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离，利用基本不等式求最值，考查逻辑推理、数学

计算能力，属于中档题.

18、（1）见解析（2）-

3

【解析】

分析：（1）以。为原点，。4。。,。2所在直线分别为％，，2轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证

明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）BE为平面ACT的一个法向量，向量AE在

BE上的射影长即为E到平面ACE的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.

详解：（1）证明：以。为原点，DA.DC,。。所在直线分别为x、八z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

0(0,0,0)、4(2,0,0)、5(2,2,0)、C(0,2,0)、01(0,0,5)、E(0,0,l)、尸(2,2,4).

•；#=(-2,2,0)、。=(0,2,4)、苏=(-2,-2,1).力=(-2,0,1).

=0,«ZfZ=o,

：.BE±AC,BE±AF,ACHAF=A.

.,.8E_L平面ACF.

(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，

点E到平面ACF的距离〃=卫芈=1

屈1、

故点E到平面ACF的距离为;.

点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察

图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量,

利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相

应的角和距离.

19、(1)0=夕eR)(2)孚

【解析】

(1)先消去参数〃，化为直角坐标方程y=再利用y=Qsin(9,x=Qcose求解.

(X-2夕cos，-2=0

(2)直线与曲线方程联立｛—兀，得P2一夕—2=0,求得弦长

忸C|=|月一闯=+6『一42/和点/到直线/的距离d=2"5sin(二一四］，再求A6C的

3\33y

面积.

【详解】

(1)由已知消去加得y=则psin。=gpcos。，

所以。=3,所以直线/的极坐标方程为6=

p1一2夕cos6-2=0

(2)由<JI9得0~—/?—2=0,

设8,C两点对应的极分别为,。2，则夕1+夕2=1，P\P1=-2,

所以忸q=|月一同=’(/+夕2)2-4。0=3，

又点A(邛5,4］到直线/的距离4=冬叵sin(二一生］=石

I33J3133；

所以SAM=3怛。|。=之£

【点睛】

本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运

算求解的能力，属于中档题.

123

20、(I)/(1)极大值=/(_-)--'/(工)极小值=/⑴=—L(D)答案见解析.

【解析】

分析：(1)代入参数值，对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性即可；(2)直接对函数求导，因式分解,

讨论s的范围，进而得到单调区间.

详解：

(I)g(x]=xex————2x=x3-x2-x

ex9

g(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),

g'(x)=0,则内=_g,4=L

X1。,+8)

~3

/(-)十0-0+

/极大值极小值*

〃x)极大值=H，/(x)极小值=/(I)=T.

(n)r(x)=(2x-a)e'-(：-x+4)e'=-(x-2)(…),

e2xex

当。=2吐r(X)=-(，、.2)-<o,/(为)在(-℃,+<»)单调递减•

当a<20\)",xe(-℃>,a)e(2.+oo)(%)^0,xe(a,2)W/-(x))0,

贝犷(x)在(-OOM)和(2+8)上单调递减，在32)上单调递增.

当a>2时,xe(-oo,2)和xe(a+8)^//(x)^0,XG(2,a)^/(x))0,

财(x)在(-00,2)和(a+00)上单调递减,在(2,a)上单调递增.

点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究，研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方

法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.

21、(I)证明见解析；(II)存在点E,当AE=在时，二面角。―BE—A等于60°.

2

【解析】

试题分析：(I)证明：连接。G，=由48。—44。|为正三棱柱二A45。为正三角形=3。，4。，

又平面ABC_L平面ACCAnBOJ_平面AC&An_LOE.易得OE，DCnDE_L平面

BDC[=>r>£±BC,.(II)假设存在点E满足条件，设AE=%由。Q_L平面n1AD,DD,±BD,建立空

间直角坐标系。一孙z,求得平面的一个法向量为

勺=(—”2,0,1),平面ABE的一个法向量为

MM1V2r

=-'---=L=cos60°=—=>m=---<V3•

2>/m2+122

试题解析：(I)证明：连