2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高二年级上册期末数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省西安市都邑区高二上册期末数学(文)

试题

一、单选题

1.已知实数。、b,那么I。+切=Ial-出I是仍<()的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【正确答案】D

【分析】等式两边平方结合反例即可判断.

【详解】因为Iα+b∣=∣αI—Ib∣=>a。+2ab+b2=a2-∖2ab∖+b2=>∣ab∣=-ab=>ab<0,

所以必要性不成立；

当α=l,λ>=-2时，满足出><(),但∣α+6罔α∣-∣6∣,所以必要性不成立；

所以Iα+6=匕I-1切是必<0的既不充分也不必要条件.

故选:D.

,fx—y≥0

2.若实数x,V满足约束条件“八，则z=x-2y的最小值为()

[x+y-2≤0

A.-1B.1C.-2D.2

【正确答案】A

【分析】画出可行域，平移基准直线x-2y=0到可行域边界位置，由此来求得Z的最小值.

fx-y=0,、

【详解】C八，解得χ=y=ι,设A1,1,

[x+y-2=0

平移基准直线x-2y=0到可行域边界A(Ll)处时,

Z=X-2y取得最小值i-2xl=T.

故选：A

3.已知数列｛6,｝与也｝均为等差数列，且4+4=4,%+4=8,则&+J=()

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为4+仇=4,%+%=8,

所以4+4+%+4=12,

即a3+a5+b5+bg=12,

根据等差数列的性质可知ai+a5+b5+b9=2a4+2⅛7=12,

所以4+3=6.

故选:B.

4.已知，"=α+｝+l(a>O),"=3'(x<l),则用，〃之间的大小关系是()

A.m>nB.∣n<nC.m=nD.m<n

【正确答案】A

【分析】利用基本不等式及其指数函数的单调性即可求解.

【详解】,∙,α>O,Λm=a+-+l≥2Ja--+I=3,当且仅当a=l时，等号成立,即m≥3,

aVa

又,IX<1,∙*∙n=3Λ<3l=3,即〃V3,

则，〃〉〃，

故选.A

5.在..ABC中，内角A,B,。所对的边为。，b,c,若〃=42=4百,4=30。，贝IJB=()

A.30oB.30。或150。C.60oD.60。或120。

【正确答案】D

【分析】根据α=4，,=46,A=30。，利用正弦定理求解.

o

【详解】解：在AβC中，a=4,Z?=4>∕3,A=309

由正弦定理得一j=占，

sinAsinB

所以SinB="皿I=迈包亚=近，

a42

所以B=60。或120。,

故选：D

6.若曲线y=χ2+0v+6在点(0,6)处的切线方程为x-y+l=0,贝必+6=()

A.2B.0C.-1D.-2

【正确答案】A

【分析】求出导数，将X=O代入后，可得“=1,将(。力)代入χ-y+l=O后可得6=1,进而

得至∣JQ+h.

【详解】由y=Y+ar+b得y'=2x+α,

又曲线y=f+0χ+匕在点(0,。)处的切线方程为尤―y+l=0,

故当X=O时，y,=a=1

又点(0⑼在x-y+l=0上,则6=1,故α+6=2.

故选：A.

7.抛物线f=2Py(P>0)上一点M的坐标为(-2,1),则点M到焦点的距离为()

C17

A.3B.2C.1D.—

16

【正确答案】B

【分析】将点M坐标代入抛物线可得P,则所求距离为1+5.

【详解】”(-2,1)在抛物线上，，4=2〃，解得：p=2,.∙.点M到焦点的距离为1+5=2.

故选：B.

8.函数y=∕(x)的图象如图所示，/'(X)是函数/S)的导函数，令“=∕'(2),b=∕,(4),

C='(4)]⑵,则下列数值排序正确的是()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<h<a

【正确答案】C

【分析】利用导数的几何意义判断.

【详解】由函数图象知：r⑵<"4)--2)<

4-2

所以αvcvb,

故选：C

9.已知桶圆/+21=1(,">0)的焦点在),轴上，长轴长是短轴长的2倍，则，〃=()

m

A.2B.1C.-D.4

4

【正确答案】D

【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.

【详解】由条件可知，a1=m3Ir=∖,J⅛2>∕w=2×2,解得.，〃=4

故选：D

②f'(X)在X=-1处取得极小值

③73在区间(-2,3)上单调递减

④/(x)的图像在X=O处的切线斜率小于O

正确的序号是()

A.①④B.②③④C.②③D.①②④

【正确答案】B

【分析】根据导函数广(x)的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断

①②③，对于④：由于/(χ)的图像在X=O处的切线斜率为r(o),从而可由导函数的图像

判断.

【详解】根据尸(X)的图像可得，在(-2,3)上，Γ(x)≤0,所以/(x)在(-2,3)上单调递减,

所以f(x)在区间(-2,3)上没有极值点，故①错误，③正确；

由尸(x)的图像可知，尸(可在(-2,T)单调递减，在(-1/)单调递增，故②正确；

根据r(x)的图像可得/'(0)<0,即/(x)的图像在x=0处的切线斜率小于0,故④正确.

故选：B.

【正确答案】B

【分析】分析函数〃力的奇偶性及其在［0,可上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的了目―兀,兀］,Z(-X)=⅛^=-⅛=-∕(Λ),

elIe-1

所以，函数/(X)=学在［-”,句上的图象关于原点对称，排除AC选项，

WCrʃ/∖sinx..Λ∕2sinx--

当0≤x≤兀r时t，/(x)=∙^~，则rl,鼠)_cos九-SmX________I4),

eJ[x)==

因为q≤>j≤*,由r(x)<o可得0<尤一[≤号，则q<χ≤π,

444v444

由/<x)>0可得_彳5*_：<0,则0≤x<5

所以，函数/(x)在0,：)上单调递增，在(：，兀上单调递减，排除D选项.

故选：B.

12.已知定义在R上的函数”数的导函数为为为),若r(x)<e',fi∕(2)=e2+2,则不

等式/(lnr)>x+2的解集是()

A.(θ,e2)B.(0,2)C.(→o,e2)D.(-∞,2)

【正确答案】A

【分析】设g(x)=∕(x)-e'+2,求导可得g(x)在R上单调递减，再根据/(hu)>x+2转化

为g(lnr)>4,再结合g(x)的单调性求解即可.

【详解】设g(x)=〃x)—e*+2,则g'(x)=r(x)-e*.

因为r(x)<e',所以/'(X)—e'<0,即g'(x)<0,

所以g(x)在R上单调递减.

不等式/(∣∙)>x+2等价于不等式/(InX)—x+2>4,即g(lnr)>4.

因为/(2)=e2+2,所以g(2)=∕(2)-e?+2=4,所以g(lnx)>g(2).

因为g(x)在R上单调递减，所以IIu'<2,解得Ocxve?

故选：A

二、填空题

13.若命题“3xeR,2-/>M'是真命题，则实数m的取值范围是.

【正确答案】(-8,2)

【分析】求得y=2-d的最大值，结合题意，即可求得结果.

【详解】y=2-r的最大值为2,根据题意，2>m,即加的取值范围是(-∞,2).

故答案为∙(-∞,2)

14.已知直线4：≡+2y+l=0(w>0),与双曲线C：?-丁=1的一条渐近线垂直，贝IJ

m=.

【正确答案】4

【分析】求得双曲线C的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.

Y21

【详解】对双曲线C：--y=∖,其渐近线方程为y=±：x,

42

对直线4：,nx+2y+l=0(∕n>0),且斜率为一£<0,

根据题意可得-(/7x7=I=-l,解得机=4.

22

故答案为∙4

,,11

15.设｛可｝是公差不为0的等差数列，4=1且的必，4成等比数列，则一++——=—

a∖a2ci9%0

9

【正确答案】

【详解】分析：由题意先求出｛α,,｝的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.

详解：；数列｛a1,｝是公差不为0的等差数列，a∣=l,且a2,a4,a8成等比数列,

Λ(l÷3d)2=(l+d)(l+7d),

解得d=l,或d=0(舍)，

；・an=1+(n-1)×l=n.

11111111111119

a｝a21×22×39×102239101010

9

故答案为历

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这

一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

(1)/1.∖~τf~-----(2)I——ɪ~~7==γ(∖∕n+k-∖[n]∙(3)

n[n+k)k∖nn+kJ√n+Λ+√∕?k''

1Jjl______!_11=1Γ___1__________1_____^∣

：

(2M-1)(2Π+1)~2^2n-∖~2n+∖)⑷n(n+l)(n+2)^2n(∏+1)^(n+l)(rt+2):此

外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

16.已知钝角三角形的三边a=hb=k+2,c=k+4,则后的取值范围是.

【正确答案】2<Z<6

【分析】先解不等式CoSC<0,再结合两边之和大于第三边求解.

【详解】解：∙.∙c>b>4,且“A3C为钝角三角形，

.∙.∕c为钝角，

2222

.a+b-C+(⅛+2)-(⅛+4)^]i--4^-12

.•COSC=--------------=------i——-l-r---------=------7-------<0,

2ab2⅛(t⅛+2)2⅛(⅛+2)r

“2-4I2<O,解得-2<Z<6,

由两边之和大于第三边得2+左+2>左+4,.∙.G>2.

.'.2<k<6.

故2<%<6

三、解答题

17.设p:α<x<3α,q:x?-1lx+18≤0.

(1)若α=l,"p且q''为真，求实数X的取值范围；

(2)若P是4的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【正确答案】(l){x∣2≤x<3}

(2){α∣α≤0或2≤α≤3}

【分析】(1)先分别求得P为真命题和q为真命题的实数X的取值范围，再根据P且q为真

命题，利用集合的交集运算求解；

(2)记C=Wa<x<3α},根据P是q的充分不必要条件，由C是3的真子集求解.

【详解】(1)解：当α=l时，P为真命题，实数X的取值范围为A={m<x<3},

χ2-llχ+18≤0=(x-2)(x-9)≤0=2≤x≤9,

4为真命题，实数X的取值范围为B={x∣2≤x≤9},

Yp且q为真命题

所以实数X的取值范围为AcB={x∣2≤x<3};

(2)记C={x∣4<x<34}

P是q的充分不必要条件

所以C是8的真子集，

当4≤0时，C=0,满足题意：

fa≥2

当a>0时，。解得2≤α≤3;

[3α≤9

综上所述：实数”的取值范围为{α∣4≤0或2≤α≤3}

18.已知函数f(x)=W+2∣x-9|.

⑴解不等式F(X)<15；

(2)若关于X的不等式f(x)<α有解，求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴{中<x<ll};

(2)α>9.

3X-18,Λ≥9

【分析】(1)根据零点分段法可得/(X)=∙18-X,0≤X<9,然后分段解不等式，即得;

18-3x,X<0

(2)由题可得">∕(x),nta,然后求函数的最小值即得.

【详解】(1)因为函数/(x)=W+2∣x-*,

3x-18,x≥9

所以/(x)=18—x,0”<9,

18-3%,x<0

V∕(x)<15,

∖x≥9[0≤x<9(x<0

所以"IO或有。或4。Oi

[3x-18<15[18—%<15[18—3x<15

解得3vxvll,

所以原不等式的解集为{x∣3<x<ll};

3x-18,x≥9

(2)由/(x)=∙18-x,0≤x<9,可得

18-3x,x<0

函数/(x)在(F,9)上单调递减，在(9,W)上单调递增,

当x=9时，函数/(x)有最小值为9,

'.a>9.

19.如图，已知平面四边形ABCr>,ZA=45。，ZABC=75。，ZBDC=30°,BD=2,CD=B

(1)求/CM

(2)求Ag的值.

【正确答案】(1)60°；(2)√6.

【分析】(1)由余弦定理求BCh根据勾股逆定理知Nf)CB=90。，即可求/C8D

(2)由(1)得NADB=120。，应用正弦定理即可求AB的值.

【详解】(1)在^BCO中，由余弦定理，有3C2=302+Cf>2_23Z>CZ)cos3Oo=l,

.∙.BC2+CD2=BD2,即ZDCB=90°,

,∙.ZCBD=6()°.

(1)在四边形ABa)中，NABr>=75。-60。=15。,

二ZADB=I20°,

BD,3。SinI20。r

在工.中，由正弦定理而前-----,贝π∣JιA4Bn==√62.

sin45o-----------------sin45°

20.已知函数/(x)=(丁一4)(X-α),αeR且/'(-1)=0.

⑴求“的值；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

(3)求函数F(X)在［-2,2］上的最大值和最小值.

【正确答案】(Da

2

(2)调递增区间为(-8,-1),(*+8),单调递减区间为(Tg

(3)最大值为9最小值为-背50

【分析】⑴求导得外幻=3/-2奴-4,代入/(-1)=0,得可得答案；

⑵由题意可得f'(x)=(3x-4)(x+l),分别解∕v(x)>0,∕,(x)<0,即可得函数的单调递增、

减区间；

(3)根据导数的正负，判断函数在［-2,2］上的单调性，即可得答案.

【详解】(1)解:因为函数/(幼=(一—4)(x-*α∈R,

/.fix')=2x(x-a)+(x2-4j=3X2-2ax-4,

由尸(-1)=0,得3+24-4=(),

解得。=；;

(2)解：由(1)可知((x)=3χ2-χ-4=(3x-4)(x+l),

4

解不等式r(x)>o,得或x<τ,

所以函数/(X)的单调递增区间为(f0,-D,(g,m),

解不等式/口)<。，得—lev：,

所以函数/(X)的单调递减区间为(-i,g)；

(3)解：当-2≤x≤2时，函数/O)与/⑶的变化如下表所示：

4

令((X)=0,解得X=;或X=-I,

4

X[-2,T)X=-IX——2

卜用3⅛]

/'(X)+O-O+

“X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

因为AT)=]9，/(2)=();

Q

所以当户-1时，函数/(χ)取得极大值F(T)=］；

又因为/(-2)=0,=

所以当XW时，函数/*)取得极小值FGJ=-为，

950

・・・函数/S)的最大值为最小值为-

,2

21.已知椭圆U*→S=l(a>6>0)的一个顶点为A(0,-l),椭圆上任一点到两个焦点的距

离之和2退.

⑴求椭圆C的方程；

(2)是否存在实数相，使直线Ly=X+机与椭圆有两个不同的交点M、N,并使IAMI=I4N∣,

若存在，求出机的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴三+丁=1

3

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；

(2)首先求线段MN的中垂线方程，根据点A在中垂线上，求〃?，并判断是否满足A>0.

【详解】(1)椭圆匚［+£=1(“>人>0)的一个顶点为A(OD得匕=1

ab^

椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2月得2α=2百即α=6

所以椭圆的方程为三+丁=1

3

(2)设直线/与椭圆。两个不同的交点M(Ax),N(Λ2,%)

∙/∖AM∖=∖AN\

所以，点A在线段MN的中垂线厂，下面求/'的方程

,［y=x+m.,

联立方程｛'ɔ々去H可得4/+6znv+3M-3=0

U+3y~=3*

由A=（6m）2—4X4X（3，/—3）=T2M2+