2022-2023学年北京市高一（非马班）上册数学期末试题（含解析）

2022-2023学年北京市高一（非马班）上册数学期末试题

（含解析）

一、单选题

1.设集合”={x|x41},8={x|2,21},则ZcB等于（）

A.{x|x<0}B,{x|x<l}C.{x|x>0}D.{x|0<x<l}

【答案】D

【分析】首先解指数不等式得到8={x|xN0},再求4c8即可.

【详解】fi={x|2r>l}={x|x>0},^={x|x<l},

则HnB={x|04xVl}.

故选：D

2.若点尸。,-2）在角a的终边上，则sina=（）

A.-2B.--C.--D.—

255

【答案】C

【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.

【详解】。点为坐标原点，|0尸|=#+（_2）2=瓜

-2_-2_26

根据三角函数的概念可得,sina=

画T7T一丁.

故选：C.

3.计算：2log36-log34=()

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

【分析】由对数的运算法则化简即可求得.

【详解】由对数运算法则化简得

36,

2log36-log,4=log,36-log34=log3—=log,9=log33

故选：B

JT

4-为了得到函数ksin（2x+R的图象，可以将函数…M2x的图象（）

A.向左平移二个单位长度B.向右平吟个单位长度

4

C.向左平移J个单位长度D.向右平移J个单位长度

OO

【答案】C

【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.

7TTT

【详解】因为y=sin（2x+：）=sin[2（x+"）],

48

TTTT

所以由函数V=sin2x的图象向左平移g个单位长度可以得到函数y=sin（2x+f）的图象，

84

故选：C

5.已知”=怆12,6=[080,25,。=4"',则°,b,c的大小关系为（）

A.a>h>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】根据题意得到a>1,b<0,0<c<l,即可得到答案.

【详解】a=lgl2>lgl0=l,即

b-log025<Iog0,1=0,即b<0.

0<4-°5<4°,BP0<c<l.

所以〃>c>b.

故选：C

6.下列函数中，以2兀为最小正周期，且在区间（0,：）上单调递增的是（）

A.y-sin2xB.y=sin^x-^C.y=cos（x+：JD.y=tan2x

【答案】B

【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间（o,：）上的单调性，可得出结论.

【详解】对于A选项，函数y=sin2x的最小正周期为与=n,故A错误：

对于B选项，函数尸sin（x-：）的最小正周期为2兀，当时，

因为y=sinx在[-：,（））上单调递增，所以y=sin（x-£j在（0,：）上单调递增，故B正确；

对于C选项，函数y=cos（x+：）的最小正周期为2兀，当时，x+

因为"cosx在仔3上单调递减，所以…os（x+：）在医）上单调递减，故C错误；

对于D选项，函数y=tan2x的最小正周期为故D错误.

故选：B.

7.下列区间包含函数/(x)=2'+x-4零点的为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.

【详解】因为函数尸2’在(7,+8)上单调递增，函数，=丫-4在(-8,+8)上单调递增，

函数/(x)=2'+x-4在(-如+8)上单调递增，

因为/(-1)=2T—5<0,/(0)=1-4<0,/(1)=2-3<0,/(2)=2>0,/(3)=7>0,

所以/(1)/(2)<0,函数零点在区间(1,2)内，

故选：C.

8.若函数/(x)=cos(3x+s)是奇函数，使得|/(x)|取到最大值时的一个x值为()

A.-7B.0C.-D.-

643

【答案】A

【分析】根据三角函数的奇偶性求出夕,再根据对称轴使得I/(x)|取到最大值，计算即可.

【详解】若函数〃x)=cos(3x+*)是奇函数，所以s=

所以|/(x)|=cos(3x+］+A7t)=卜诒3*,

当I/(x)I取到最大值时,(x)|=|sin3x|=1,sin3x=±1,即3x=1+kn,keZ,可得x=>"#eZ,

当氏=T时，x=~-.

6

故选:A.

9.己知实数a,6，则“a=(2左+1)兀一⑸左wZ”是“cosa=-cos夕”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可.

［详解］当a=(2攵+1)兀_/,左wZ时，cosa=cos［(2Z+1)兀一夕］=cos(兀一£)=-cos/3,

当cosa=-cos/时，cosa=-cosp=cos(兀一4)=>a=2kit土(式一/3)(kGZ),

=>a=（2%+1）兀一夕（左£Z）,或a=（2左-1）兀+夕（左£Z）,

所以“a=（2k+1）兀-4,女£Z”是“cosa=-cos夕”的充分不必要条件,

故选：A

10.已知函数/(x)=sin"x+cos"x(〃eN),则下列说法正确的是()

①〃=1时，/(x)的最大值为近；

②〃=2时，方程"X)=2sinx+1sinx|在［0,2可上有且只有三个不等实根；

③〃=3时，/(x)为奇函数；

④〃=4时，Ax)的最小正周期为

A.①②B.①③C.②④D.①④

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函

数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命

题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.

【详解】因为/(x)=sin"x+cos"x("eN'),

所以当”=1时，/(x)=sinx+cosx=0sin(x+g),此时函数/(x)的最大值为虚，命题①为真命题;

当〃=2时，/(x)=sin2x+cos2x=\,方程/(x)=2sinx+1sinx|可化为2sinx+1sinx|=1,

当04x4兀时，3sinx=l,故sinx=",由正弦函数性质可得方程sinx="在［0,可上有两个解，

当兀<X<2兀时，原方程可化为sinx=l,方程sinx=l在(0,2兀］上无解，

所以方程/(x)=2sinx+1sinx|在［0,2扪上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；

当〃=3时，/(x)=sin3x+cos3x,=+(cos：)

/卜彳卜sin3(q)+cos3(q)=0,所以卜-一£|，所以“X)不为奇函数，命题③为假命

当〃=4时，/(x)=sin4x+cos4x=l-2sin2xcos

IT

所以/(X)的最小正周期为命题④正确:

故选：D.

二、填空题

H.函数/(力=尼。-1)+-4的定义域为.

x—2

【答案】(1,2)。(2,m)

【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.

...11>0

【详解】函数/X=lg+—二需满足Gn，

x-21%-2工0

解得x>l且xw2,

故函数y(x)=lg(x-l)+—二的定义域为(1,2)52,+8),

故答案为：(1,2)0(2,+^)

12.已知sin6=',贝！|sin(?i+e)=.

3------------

【答案】-1

【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.

【详解】sin(7t+0)=-sin0=--,

故答案为：-§

13.已知函数/(》)=*"经过点(9,3),则不等式/(x2-x+l)<l的解集为.

【答案】a|0<x<l}

【分析】首先代入求出yiij/(x2-x+i)</(i),利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.

【详解】由题意得9"=3,解得。=；，故〃幻=£,

则/卜27+1)<1即为/(/-》+1)<41),

根据〃x)=/在[0，+8)上为单调增函数，则有04/—X+1<1,

解得0<x<l,故解集为{x[0<x<l},

故答案为：{x|0<x<l}.

蛆+#0>0),若/(x)4/图对任意的实数x都成立，则。的最小值为

14.设函数/(x)=sin

【答案】1

【分析】由条件确定当x=g时，函数取得最大值，代入即可求。的集合，从而得到。的最小值.

【详解】由条件/(幻4/(三)对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，

当x=g时，ft?--+—=—+2hr,keZ,

3362

解得：co=6k+l,kwZ,ty>0,

所以当心0时，①取最小值为1.

故答案为：1

15.已知=给出下列四个结论:

①若/(2)=1,则a=g或2；

②若0<加<〃，且/.(⑼=/'("),则加〃=1；

③不存在正数h使得g(x)=/(x)-云-1恰有I个零点；

④存在实数a>1，使得g(x)=/(x)-a'恰有3个零点.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】①②

【分析】对于①，解|bg〃2|=l即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得-log“〃2=log“〃,

由对数的运算可判断；对于③，分0<x<l与x>l讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，

根据指对数的图象即可判断.

【详解】对于①，若"2)=1,则|log“2|=l,解得a=；或2,故①正确；

对于②，若0<加<〃，且/("?)=/("),则-log.胴=log,,n,

则log”机+log„n=logo(mn)=0,解得〃?〃=1,故②正确；

对于③，当0<x<l,易知y=Ax+l与歹=/(x)的图象有一个交点，

当上f+00时，y=Ax+l与N=/(x)的图象在(1,+8)上没有交点，

此时g(x)=/(x)-履T恰有1个零点，故③错误；

…八।।f-logx,0<x<1

对于④，当空1时，/(x)=log„^="n',

[log„x,x>l

易知y="与y=/(x)的图象在(0,1)上有一个交点，

因为y=优与/(X)=log”X的图象关于N=X对称，且没有交点,

故g(x)=/(x)-优恰有1个零点，故④错误.

故答案为:①②.

三、解答题

16.已知二次函数/(x)=x2-mx+l,其中机>0.

⑴若/(x)的最小值为0,求"?的值；

(2)若"X)有两个不同的零点X"?,求证：(%—/)+8>4

x,+x2

【答案】(1)5=2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到/5)加=1-?=0,再解方程即可.

(2)首先根据题意得到也=〃?+_!,再利用基本不等式的性质求解即可.

x,+x2m

【详解】(1)/(%)=%2一加x+1=

因为/(X)min=1一；­=0，机>0，解得，77=2.

(2)因为/(X)有两个不同的零点玉衣2，所以垃2一4>0,

又因为〃2>o,所以加>2.

因为X]+々=加，X\X2=1，

所以(X「XJ+8=(N+XJ-4X/2+8=4三/J,

Xj+x2再+x2mm

4

当且仅当加=二，即加=2时等号成立，

m

因为机>2,所以(占一々)+8>4,即证.

X1+x2

17.已知函数/(x)=2sin((yx+s)(0>O,O</<m)的图象过点(0,1),相邻的两个对称中心之间的距

离为£

2

(1)求/&)的解析式；

(2)求/(x)单调递增区间和对称中心.

【答案】⑴〃x)=2sin|2x+-7T

6

⑵/(X)的增区间为1-。+%万,?+版J,(ReZ),对称中心为卜力容0"叼

【分析】(1)根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；

(2)利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.

【详解】⑴由函数/(x)=2sin(s++＞0,0＜夕的图象过点(0,1),/(O)=2sin0=l,则

sin^=-,由0＜°＜三，则8=工，

226

由相邻的两个对称中心之间的距离为:，则函数/(X)的周期r=2x1="=红，解得。=2,

220)

故/(x)=2sin(2x+,

(2)由⑴可知，/(x)=2sin(2x+?),

令-%+2k?i＜2x+2Qr(kGZ),解得一g+左乃＜x＜孑+左不，化£Z),

则函数/(X)的增区间为1-q+%%,A+觊),仕ez)；

令2x+g=m(%eZ),解得》=-2+竺QeZ),则函数/(x)的对称中心为”,。］,(丘Z).

6122I122J

18.已知函数/(x)=/x-2优-1,其中。＞0且

(1)已知〃x)的图象经过一个定点，写出此定点的坐标：

(2)若0=2,求/(x)的最小值；

⑶若/(X)在区间［0,1］上的最大值为2,求。的值.

【答案】(1)(0,-2)；

⑵-2；

(3)3.

【分析】(1)求出/(0)即可得出结果；

(2)由已知/a)=22，-2x2,-l,令f=2，，f＞0,可得/(。=(，-1)2-2,即可求出最小值；

(3)令"=则/(")=“2-2”-1.分类讨论当0＜。＜1以及。＞1时，根据指数函数的单调性求出

〃=/在［0,1］上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出

a的值.

【详解】⑴因为/(O)=d-2xa。-1=-2,所以定点坐标为(0,-2).

(2)当°=2时，/(X)=22I-2X2X-1.

令f=2*,/>0.

则/⑺当/=1,即x=0时，函数/(x)有最小值-2.

(3)令〃=",则f(u)=u2-2u-l.

①当0<a<l时，可知〃=/在［0,1］上单调递减，所以

又根据二次函数的性质可知，当aWwWl时，〃")=/一2“-1单调递减,

所以在处取得最大值f{a^a2-la-\.

由已知可得，a2-2a-l=2,解得。=-1或。=3.

因为所以两个数值均不满足；

②当。>1时,可知"=优在上单调递增，所以14』.

又根据二次函数的性质可知，当时，/(")="2-2"-1单调递增,

所以/(")="2-2"-1在处取得最大值/(。)=/-2。-1.

由已知可得，a2-2a-l=2,解得〃=3或a=-l(舍去)，所以"3.

综上所述，。=3.

19.已知函数/(x)=-2sin2(：-x)+2石.

(1)求并求/(x)的最小正周期；

(2)求/a)在区间-2TT,夕571上的最大值和最小值，并求相应的x值.

612

【答案】=T=兀

⑵“途时,X喑时，/(X)而「2.

【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解;

(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.

【详解】⑴/（X）=-2sin2-xj+273cos2x-^>

=cos--2x+VJcos2x-l=sin2x+VJcos2x-1=2sin2x+--1,

0=2sin（2xri）-1=2cosr1=0'

-27i2n

I=—=—=it.

①2

（2）由⑴知/卜）=25出（2》+三）-1,

717r7T

令2x+—=—+2%兀，得x=--Fkit,%GZ,

3212

当左=0时，，

7C

/（X）=2sinI2x4--I—1=1,

，\/max12

令2工+1=一'|'+2而,得工=一工+如女GZ,

一一、_,兀5兀

与区间无交集，

612

又/=2sin0-1=-1,

-1=-2<-1,

故X哈时，〃x)M=l…喑时，/(丈「2

20.如图，在函数/(x)=logzx图像任取三点/(〃,/(4)),8(bJ(b)),C(cJ(c)),满足“21,b=a+2,

c=b+2,分别过AB、C三点作x轴垂线交x轴于。、E、F.

(2)用a表示/8C的面积S,并求S的最大值.

【答案】(1)5+价;

(2)答案见解析.

【分析】对于(1),由题可得|/。|=1，|叫=\DE\=2,\AB\=y/5.,据此可得答案;

对于(2),设AC与BE交点、为P,则S=；忸4.忸川，据此可得答案.

【详解】(1)由题可得，|/。|=log22=1,曰=2,BE=log24=2.

\A^\=J(忸£|-|月4『+|042=石，则梯形ADEB的周长为5+75;

(2)设AC与BE交点为P,则S=g忸?|.尸卜

又=log2a,|CF|=1。&@+4),且,4D〃BE〃CF,E为DF中煎,贝U

2

由梯形中位线定理得|?目=1[log2a+log2[a+4)]=log2y/a+4a(若a=1,|尸耳变为三角形

中位线，结论不变.)，

_______/\

则|闭=忸@一|尸q=log,(〃+2)—log.Ja?+4==log,/"+

\\la2+4aJ

K，JS

4M-M=21阴=院215TH=i°g2(iw，

其中aNl.因/+4a=(a+2)2-4,则函数y=a2+4a在口,+<®)上单调递增，

■4449

得当〃之1时，/+4〃25n0<-.....<-=>1<1+-.....<

a+4a5a+4a5

当且仅当a=l时取等号.又函数V=log2X在(。，+8)上单调递增，则小,+,4,)<log2M-

-Ia'+4aJ15J

当且仅当a=1时取等号.

即居C的面积S=log?11+24,1，其中a*l；

Ia+4a)

当且仅当a=1时,力6c的面积有最大值log2

21.已知整数加，〃之3,集合％={（%户2,…，七）1升e{0,l},i=l,2,…对于X”中的任意两个元素

A=(al,a2,---,all),8=([也,…也)，定义4与8之间的距离为"(48)=才|4-4|.若

z=l

A„A2,-,AmeX„Rd(Al,A2)=d(A2,A3)=-=d(Am_l,Am),则称是4,心…是X”中的一个等距

序列.

⑴若4=(1,0,0,0),4=。,1,0,0),4=(0,1,1,0),4=(0,1,1,1：,判断4,4,4,4是否是Z中的一个等距

序列？

（2）设4,B,C是＞3中的等距序列，求证：44。）为偶数;

⑶设4,4,…,4是入6中的等距序列，且4"=叫.、°）,1（4,4）=5.求机的最

6个16个0

小值.

【答案】（1）4,4,4,4不是超中的一个等距序列

（2）见解析

（3）7

【分析】（1）算出析4,4）与d