湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三年级上册学期期中联考数学试题(含答案)

宜昌市协作体高三期中考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

ix\-l<x<2},B=^\y

1.设集合A2x,xeA\则AP|B=()

A.[-1,2]B.(0,2]C.[-1,4]D.T2

2.设i为虚数单位，若复数z满足z(l+i)=2,贝”zl-i|=()

A.1B.yf2c.5/3D.2

cos70°cos200小

3.Kk等于()

3B。C1

A.D.2

422

4.已知函数/(x)的图象如图所示,则该函数的解析式为()

ex+e-xX2，/、ex-e-x

A.c.fM=D./(x)=-----------

ex+e-xX2X2

5.如图，在平行四边形ABC。中，AB=4,A。=3,点E是AB的中点，点F满足丽=2%,且。E=JTJ,

则EF•DF=()

97713

A.9B.C.D.4"

22

6.生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速

度较为缓慢、在发展阶段速度加快，在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为

生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为

K

“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为；-------一种刚栽种的果树的

生长曲线的函数解析式为/(x)=T—(xeN),x表示果树生长的年数，/G)表示生长第x年果树的高

度，若刚栽种时该果树高为1m,经过一年，该果树高为2.5m,则/(4)一/(3)=()

A.1B.1.5C.2D.2.5

7.在△ABC中，“tanAtanB=1”是“cos2A+cos23=1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知定义在R上的偶函数/(Q满足/卜―野一/(—x-|)=0J(2022)=/,若/(x)〉/'(—x),则

不等式/(x+2)>±的解集为()

e2

A.(l,+8)B.(-00,1)C.(-00,3)D.(3,+00)

二、选择：本面共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知。>力〉0,则下列说法正确的是()

A.B.2y/a>yja-b+Jb

aa+2

1,1,a+bIga+lnb

C.a+->b+-D.lg---->--------

ab22

10.已知函数/(x)=4$皿4次+中)卜>0,〃〉0,1如<])的部分图象如图所示，州下列说法正确的是()

A./(x)的图象可由g(x)=Acossx图象向右平移，个单位长度得到

9

B.7(x)图象的一条对称轴的方程为x=-5：

C./(x)在区间(-等，一萼］上单调递增

I3636)

D./(x)?2的解集为牛,葛+殍(ksZ)

6ZX+1,X＜0,

H-已知函数小)=0吗皿〉。,,若g(x)=/6x))+l，则下说法正确的是()

A.当。＞0时，g(x)有4个零点B.当。＞0时，g(x)有5个零点

C.当。＜0时，g(x)有1个零点D.当。＜0时，g(x)有2个零点

12.已知函数/(x)=(x2+l)lnx-加《2-1),则下列说法正确的是()

曲线＞=/G)在点GJ(D)处的切线方程为y=2x-2

A.当机=一1时,

B.若对任意的e(0,+8)QH尤)，都有/(\)―/('?)〉0,则实数机的取值范围是(-8,1］

II12X-X

I2

C.当机＞1时，/(X)既存在根大值又存在极小值

D.当机＞1时，/Q)恰有3个零点,且XXX=1

I23I23

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4/5兀、

13.若角a的终边在第四象限，且cosa=g,则tan［彳-aj=

_2

14.己知函数/(》)=冲:是奇函数，用实数a的取值范围为

1-lx+ll----------

15.在△ABC中，ZBAC=60。，点。是BC上一点，AD是NB4C的平分线，A。=2,3C=3,则4ABC

的面积为.

16.已知函数/(x)=xe3x,g(x)=X3Inx,若a＞0力〉0,且f(a)=g(b),则3a-h的最大值为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

已知平面向量凡方满足2a+b=(2m+5,4),a+3b=(m+10,-3),其中meR.

(1)若求实数加的值;

(2)若£，5,求a+五与£一25夹角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

已知关于X的不等式“方2+b：―24+5<0的解集是.x-l<x<->.

（1）求实数a,6的值；

Yl1

（2）若加〉0,〃〉0,且。机+〃〃=1,求一+—的最小值.

mn

19.（本小题满分12分）

记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,上空=三-l,sin8=彳.

tanA43

（1）求△ABC的面积；

（2）若sinAsinC=*,求6.

20.（本小题满分12分）

已知函数,f（x）=（logx»+alogx+3（aeR）.

22

（1）若。=1,求/G）在区间1,4上的值域；

（2）若关于x的方程/G）+a=O在[1,81上有解，求实数a的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=2sin（3x+（p）（3>—0,[（pl<]｝再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为

一组已知条件，使/G）的解析式唯一确定.

（1）求/G）的解析式；

（2）设函数8（》）=/。）+/[+看），若且=求/（卜引的值.

条件①：/（o）=o;

条件②：/G）图象的一条对称轴为x=一；；

4

条件③：若/（匕）=2,/（1；）=-2,且卜的最小值为&

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

22.（本小题满分12分）

已知函数/(X)=——一InX+ln(a+1)(«>0)(e是自然对数的底数).

x

(1)当。=1时.，试判断了(x)在(1,+8)上极值点的个数；

(2)当4>」不时，求证：对任意X>1

e-1a

宜昌市协作体高三期中考试・数学试卷

参考答案、提示及评分细则

1.D集合A=[—1,2],集合8=1,4,.♦.AnB=1,2.故选D.

2.C由已知得7=二二工2(二)「二]一」所以上|=右，所以-故选C.

1+1(l+i)(l-i)

cos70°cos20°sin20°cos20°，sin40。1

3C______________=______________=________=—故i先C

'l-2sin2250cos50°sin4002,

4.D由题图知：/(x)的定义域为(—8,0)U(0,+°0),排除A；

C-V+c-.v+exg-x+c.rc,e*+e-x

当f(x)=---------,f(-x)=----------=-----------=-/(x),故〃X)=----------是奇函数，排除B.

X3(-X)3X3Xi

当f(x)=—土一,/(-x)———=-/(X)，故/(x)=---是奇函数，排除C.故选D.

C-V—e--ve~x-e*-e-*—e-x

5.A因为而=皮+/=而_；而，所以而2=(而标)=通2_|丽.而+J诟2,即

2________________1.2-

13=16—-AB-AD+1,解得AB-AD=6,又EF=EB+BF=—AB+—AD,所以

前.丽=(而V而)•&而+：而)4初+;殖而q而2=9,故选A.

6.B根据己知/(0)=lm,/(l)=2.5m,得1+3”10且1+3"〃=4,得6=2,火=一1,所以

小)1''从而/⑶:二「—即/⑷、'-%,所以"4)—(3)"5m.故选

B.

4•八i,sinAsinB,

7.A若tan4tan8=1,则-----------=1,即cosAcos3-sin4sin3=cos(A+3)=-cosC=0,所

cosAcosB

c7171n*—B

以C=T所以A+B=-即A=--B所以cosA=cos所以

222

cos2A-cos21L-5j=sin2B=1-cos2B,所以cos2A+cos28=1,所以“tanAtanB=1"是

cos2Acos2Bi

“cos2A+cos2B=1”的充分条件,若cos2A+cos2B=1,则------------+-------------=1,即

sin2A+cos2Asm?B+cos2B

--------+---------=1,所以tan2Atan28=1,所以tanAtanB=1或tanAtanB=-1,所以

tan2A+1tan2B+l

“tanAtan5=1”不是“cos2A+cos2B=1”的必要条件,所以“tanAtan8=1”是"cos2A+cos23=1”

的充分不必要条件.故选A.

8.A因为定义在R上的偶函数/(x)满足了=0,即

/卜一|)=/卜+|),即/(X)的周期为3.又/(2022)=：,故e3/(3x673+3)=e2,即e3〃3)=e2.因

为/(x)>/'(—x)=—/'(x),即/(x)+/'(x)〉0,故构造函数g(x)=ex/(x),则

g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>Q,所以g(x)=ex/(x)在R上单调递增，且且闭=62.又/(x+2)>-L,即

e.v

g(x+2)>J_,g(x+2)>e2=g(3),所以x+2>3,解得x>l.故选A.

ex+2e*

9.BD因为a>天—•=2s<0,故A错误；因为。>匕>0,所以G>拓,々>yja-b,

a〃+2a\a+2)

所以2>yjci—b+yfb，故B正确；当〃=2,〃=工时，。+—=h+—9故C错误；因为。>人>0,所以

2ab

fa+b,2dah,r-rIga+lgh,,,,

lg->lg2=lg\Jab=——-——,故D正确.故选BD.

10.ABD由题意知4=4,；7=萼-(一2],解得T，所以8=%=3,所以

/(x)=4sin(3x+(p).又点(浮,一4]在/(x)的图象上，所以4sin(3乂夕+邛)=-4,所以

4兀3兀…1r71

—+(p=—+，解得(p7+2101,kEZ,又l(p1(7，所以(P=所以/(x)=4sin3x+—,

626v66;

TCn

将g(x)=4cos3x=4sin|3x+—向右平移.个单位可得

2

、

4sin3x-1兀7171

y+—4sin\3x+—〃尤)，故A正确；令3x+^=k+收水eZ,解得

9)2[662

兀KT兀kTt(29兀17K

x=§+为-,左€2,所以/(_«)图象的对称轴的方程为x=§+>y,ZGZ.放B正确；当xe[-

3636

一兀9兀5兀f(x)>2,即sin|3x+V)N\,,所以

时，3x+—G故c错误；

6442

71兀<5兀2kn2K2kn

+2Kt<3x++2Kt,kGZ,解得<x<——+-，&eZ,即/(x)>2的解集为

666393

2kn2n2kn

+—(左eZ),故D正确.故选ABD.

393

1?

11.AC当。>0时-，令/(x)=f,所以/(。+1=0,解得，=彳或/=3或，=——.作出函数/(x)的图象,

3a

如图1所示，易得/(%)=♦有4个不同的实数解，即当a>0时，g(x)有4个零点.故A正确，B错误;

当。<0时，令/(x)=f,所以/")+1=0,解得f或f=3.作出函数/(x)的图象，如图2所示，易得

/。)=£有1个实数解，即当a<0时，g(x)有1个零点.故C正确，D错误.故选AC.

12.BCD当相=-1时，/(x)=Q2+l)nx+x2-1,所以7(1)=0,r(x)=2xlnx+^^l+2x,所以

尸(1)=4,所以曲线y=/(x)在点(L/(D)处的切线方程为y=4(x—l),即y=4x—4,故A错误；因为

/(x)-/(x)八

对任意的『L(o,+8)G产色)，都有--«_-_。>0,所以在(0,+8)上单调递增，即

X-x

12

Y24-1(1A

fr(x)=2xlnx+-----2mx=x21nx+1+--2m>0在(0,+oo)上恒成立.令

x[X2J

i222G2-1)2(x-lMx+l)

h(x)-21nx+1+--2m,则〃'(x)=——一=--------=—；---------.当x>l时，h\x)>0,当

x2XX3%3X3

0<x<l时，/iz(x)<0,所以/l(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以/l(x)在x=l处取得最

小值公1)=2-2加，所以2-2加20,解得用工1,即实数m的取值范围是(■』］,故B正确；当机>1时,

由B选项知，/i(x)=2-2m<0,令w(x)=4x2-2x4-1-21n2x,x>\,所以

min?

28(2—2x—2

M,(X)=8X-2--=———：--->0在(L+8)上恒成立，所以M(x)在(1,+8)上单调递增，所以

XX

u(x)>w(l)=3-21n2>0,所以力4m2-2m+l-21n2m>0,又/z(x)在(0,1)上单调递减，所以

存在X€I——,1j,使得〃G)=0.又〃(em)=l+_L>0,又/i(x)在(1,+8)上单调递增，所以存在

412m)4e2w

xe(l,e/«),使得/i(x)=O.所以当0<xvx时，/'(x)>0J(x)为增函数，当x<%<%时,

55445

/'(x)<0J(x)为减函数，当x>5时，/'(x)〉0J(x)为增函数，故/(%)既存在极大值又存在极小值，故

C正确；因为/(l)=(12+l)lnl-mG2-l)=。，由c选项知/(x)>/(l)=0,/G)</(D=0.当％f0

45

时，/(x)f-oo；当x->+8时，/(x)f+oo,故函数/(x)有三个零点，不妨设为x,x,x,

2

(0<x<l,x-\,x>1)又

123

=Q+l)lnx

/(、)+/--1

X211

+mG-%2

0»故有x=一则

3X

1

XXX=1.即当加〉1时，/(X)恰有3个零点X,X,x，且xxx=1,故D正确.故选BCD.

1232323

433

13.7因为角a的终边在第四象限，且cosa=h，所以sina=-丁，tana所以

554

tan(竺—a)=tan仔—a]

UJu)

14.(0,1]因为1—lx+llwO,所以XHO且XR—2,。一x220,得-了&x&了,因为函数/(x)是奇函

即汗名j……

数，所以/(x)f(T),即三高

-1—l—x+ll

恒成立，所以一IWXWI,所以J74l,即0<a«l.

15^^一因为S+S=5，所以

2AABDA4DCA4BC

1AB-ADsinZBAD+1AC-ADsinZCAD='AC-ABsinZCAB,即

222

iABx2x2.+1ACx2x1=2.AC-ABx,即AB+AC=，由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZBAC,即

9=AB2+AC2-ABAC^(AB+AC)2-3ABAC=-(AB-AC)2-3AB-AC,解得A8-AC=6,所

4

以△ABC的面积为gA3•AC•sin60。=孑下.

16.31n3-3因为/(a)=gS),所以=加1M，又a>0,所以Inb>0,所以b>1.因为f(x)=xax,

所以尸(劝=(1+3了把3*>()在(0,+8)上恒成立，所以/(x)在(0,+8)上单调递增，又肥3“=加Inb,所以

/(a)=/(ln/>),又a>O,b>l,所以a=lnb,所以3a-b=31n/?-8/>1.令〃(x)=31nx-x,x〉1,

33-x

所以"(x)=--l=―令/i'(x)>0,解得1cx<3,令Z?'(x)<0,解得x〉3,所以〃(x)在(1,3)上单

xx

调递增，在(3,+8)上单调递减，所以力(x)=〃(3)=31n3-3,所以3a-b的最大值为31n3-3.

max

17解：(1)因为2a+b=(2m+5,4),a+3b=(m+10,-3),所以

5a=3(2。+〃)-(〃+3b)=3(2优+5,4)-(加+10,-3)=(5加+5,15),即a=(m+1,3),

所以〃=2〃+万一2〃=(2m+5,4)-2(/n+1,3)=(3,-2).

又〃〃日，所以一2(m+1)-3x3=0,

解得s=_2

(2)因为a_L〃，所以a,B=3(m+1)-2x3=0,

解得加=1,所以a=(2,3),所以£+石=(2,3)+(3,-2)=(5,1),a-2b=(2,3)-2(3-2)=(-4,7),

所以M+6l=J52+I2=底|£一2石1=J(-4)2+72=辰,

Q+万)•(£—2万)-4x5+lx7_VTO

所以COS(Q+五,Q—2日)=

\a+b\-\a-2b\y/26xy/6510,

18.解：因为关于x的不等式ax2+法—2a+5<0的解集是

a-b-2a+5=0,

所以T和;是方程62+以一2。+5=0的两个根，所以彳i

一。十1/?一2。+5=0,

J1•93

a=3,

解得〈

b=2.

当a=3,〃=2时，an+bx_2a+5<0的解集是符合题意.所以a=3,b=2.

(2)由(1)知a=3,b=2,所以3机+2"=1,

「八八~，几1几3加+2几n3〃i-、八

又机>0,〃>0,所以+—=—+-------=+—+222+2=2昌2,

mnmnmn

当且仅当3=3"，即机=至二±〃=2-&时等号成立,

mn5

所以2+_L的最小值为2JJ+2.

mn

tan3C2.sinBcosA

19.解：（1）因为了f所以

tanAcosBsinAJ

(c2)

所以sin3cos4=--1cosBsinA,

(4J

所以二cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,

4

由正弦定理得2cos8=c,所以accos5=4,

4

所以cos6>0.

又sin8=g,所以cos8=Jl-iy_2V2

3；一丁

ac=---=3\/2,所以S=-acsinB-—

cosB△人sc22

ha

(2)由正弦定理得:

sinBsinAsinC

b?a3a

所以=9,

sin2BsinAsinCsinAsinC也

3

所以b=3,所以b=3sin8=l.

sin8

2

20.解：(1)若Q=l,则/(x)=(logx)+logx+3,xG—,4.

222

令”=logx,uG[-1,2],所以y=必+w+3,ww[-1,2],

所以＞="2+"+3在(-1,一；)上单调递减，在(一3,2)上单调递增,

当“=-]时，,=(_1)2_]+3=3,当〃=_:时，)=一;+3=”，当“=2时，y=2?+2+3=9,

所以y=9,y=11.

maxmin4

所以一(X)在区间1,4上的值域为1,9.

24

(2)令，=log,x,fe[0,3].若关于x的方程/(x)+a=0在[1,8]上有解，即管+Q+l)a+3=。在fe[0,3]

,2+3

上有解，即口二——7在/6^⑶上有解.

令g(x)=-±¥，xe[0,3],所以g，(x)=_"」3)(：[],令g，(x)<0,解得1C3,令g'(x)〉0,

解得0«x<l,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以g(x)=g(l)=-2,

max

又g(0)=-3,g⑶=一3,所以g(x)=-3,

min

所以一34。4一2,即实数”的取值范围是[一3,-2].

21.解：（1）选择条件①②：由条件①/（0）=0,所以2sin（p=0,解得（p=A兀（ZeZ）,

71

又|（p|<5,所以（p=o.

7C

由条件②得3X+-,解得3=—4攵—2（keZ）,所以/（X）的解析式不唯一，不合题意;

选择条件①③：由条件①/（。）=0,所以2sin（p=0,解得（p=攵兀（攵eZ）,

,7T八

又i（pi<5,所以（p=o.

T71271

由条件③得5=,,得丁=兀，所以①=下~=2,所以/（x）=2sin2x.

T兀2兀

选择条件②③：由条件③得彳=2，得T=式，所以3=-^「=2,所以/（x）=2sin（2x+（p）,

71，兀、7T

又/（X）图象的一条对称轴为X=一“，所以2x-二+e=彳+仃，解得（p=（k+1加，

4I4J2

71

又I中卜万，所以r=0,所以/（x）=2sin2x.

(2)由题意得g(x)=2sin2x+2sin2x+—=2sin2x+2sin2xcos—+2cos2xsin一

3J33

3sin2x+Ccos2x=2Csin2x+—,

\6；

an,即sin[a+不n）=5，又71，

因为g3,所以2/sina+_所以

I2662

兀，兀2瓦、兀兀2兀）则sin(a+一,又sin(a+卷

a+6el6-/若a卡萨G母4<#所以

7171n].[711I兀(TC]4

a+G.因为Sim[a+%J+cos21a+-.I=1,所以cos[a+不J=±百,

兀7171,所以cos(a+74

又。十工£

o'6,25

a7ia兀、2sin|a」]71

所以/