黑龙江省哈尔滨市122中学2024届高二数学第一学期期末预测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市122中学2024届高二数学第一学期期末预测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过抛物线＞2=4X的焦点厂的直线交抛物线于A3两点，点。是原点，若|AF|=3；则AAO3的面积为()

A.叵B.&

2

c.呼0.272

2.点M是正方体ABC。-A4G2的底面ABC。内(包括边界)的动点.给出下列三个结论：

①满足3G的点"有且只有1个；

②满足D、M1B.C的点M有且只有1个；

③满足//平面的点M的轨迹是线段.

则上述结论正确的个数是()

A.OB.1

C.2D.3

3.数列｛4｝满足4+i=l-'("eN*),且q=2,则4022的值为()

an

A.2B.1

1

C.一D.-l

2

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，

其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),(100,102),[102,104),[104,106],已知样本

中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A.90B.75

C.60D.45

5.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以

至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数

1212

12中的“L”代表无限次重复，设）一一12,则可以利用方程X=——求得了,类似地可得到正数

1■1---1--+-------1---1--+-------［1十-I-XX

72+72+72+7==（）

A.2B.3

C.272D.V2+1

6.已知S“为等比数列｛4｝的前"项和，S4=10,512=70,则§8=（）

A.30B.-20

C.-30D.30或-20

7.今天是星期四，经过81°°天后是星期（）

A.三B.四

C.五D.六

222

8.曲线土+乙=1与曲线^—+。_=1也＜9）的（）

25925-k9-k

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

9.下列双曲线中，以（2,0）为一个焦点，以（1,0）为一个顶点的双曲线方程是（）

AX-/=1B.—-/=1

4-3-

C.x2--=1D.x2-y2=1

3

io.将点河的极坐标化成直角坐标是（）

A.（5,5百）B.（573,5）

C.（5,5）D.（—5,—5）

11.若函数“力=f7,当1＜尤^加时，平均变化率为3,则加等于（）

A.y/5B.2

C.3D.1

12.已知数据XI，X2，%,L,%的平均数是1方差是4,则数据%,马，X3，L,须上的方差是（）

A.3.4B.3.6

C.3.8D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知曲线y=2x—lnx在点（1,2）处的切线与曲线y=（a—l）f+（a+3）x+5相切，则。=.

14.已知向量加=（2,1,0）与"=（/,a,。）是平面a的两个法向量，贝!|a+Z?=

15.设a、尸、/是三个不同的平面，，九、〃是两条不同的直线，给出下列三个结论：

①若mJ_a,n±a,则/*〃〃；

②若加J_a,m±j3,则tz〃尸；

③若al/,/3Vy,则all/3

其中，正确结论的序号为—

16.已知圆锥底面半径为1,高为出，则该圆锥的侧面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机

器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，

居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表

年份20152016201720182019

编号X12345

企业总数量y

2.1563.7278.30524.27936.224

（单位：千个）

5555

注：参考数据Zx=74691,ZX/=312.761,2z,.=10.980,J；x,.z;=40.457（其中z=lny）.

i=li=lz=li=l

_n___

2%/一〃盯__

附：样本a，x）（i=l,2,…,72）的最小二乘法估计公式为6-------,由=亍—玩

Xx；-nx

i=i

（1）根据表中数据判断，y=a+乐与y=ce”“（其中e=2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适

宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程；

（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司

参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行

下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公

113

司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为彳，甲胜丙的概率为-，乙胜丙的概率为二,若首场由甲乙比赛，则求甲

235

公司获得“优胜公司”的概率.

2222

18.（12分）已知P：方程」—+二—=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：方程」―+二―=1表示焦点在y轴

m-24-m2-m4-m

上的双曲线，其中加eR.

（1）若“Y”为真命题，求加的取值范围：

（2）若“。八4"为假命题，“pvq”为真命题，求加的取值范围.

22_

19.（12分）已知双曲线C：=―1=1（a>0,b>0）的一条渐近线的方程为—2y=0,双曲线C的右焦

ab

点为F（3,0）,双曲线C的左、右顶点分别为A,B

（1）求双曲线C的方程；

（2）过右焦点厂的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点（点尸在x轴的上方），直线AP的斜率为左一直线5。的

斜率为42,证明：3为定值

20.（12分）如图，在直四棱柱ABC。—中，AD//BC,AB1AD,AB=AD=AAl=2BC=2

4

（i）求二面角q-^c-D,的余弦值；

（2）若点尸为棱A。的中点，点。在棱A3上，且直线与。与平面4PQ所成角的正弦值为蜡，求A。的长

21.（12分）（1）若/（x）=-/V+mlnx在［1,+8）是减函数，求实数机的取值范围；

（2）已知函数/（x）=gor3—gg+Dr+x+KaNl）在R上无极值点，求”的值.

22.（10分）已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前4项和为15,且%=3%+4q.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵若优=2〃y（〃eN*）,记数列也｝前〃项和为S",求S”.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】抛物线V=4x焦点为尸（1,0）,准线方程为x=-1,

由|AF|=3得4（2,2四）,-0）或A（2,-2后）,B（g,也）

所以5乂底=；><|。司义|力_甫=白,2应+后卜半，故答案为C

考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系

2、C

【解题分析】对于①，根据线线平行的性质可知点四即为A点，因此可判断①正确；

对于②，根据线面垂直的判定可知耳平面2A3,,由此可判定”的位置，进而判定②的正误；

对于③，根据面面平行可判定平面平面2AC,因此可判断此时“一定落在AC上，由此可判断③的正误.

【题目详解】如图：

对于①，在正方体ABC。—46G2中，2ABCX,

若闻异于A,则过2点至少有两条直线和BG平行，这是不可能的，

因此底面ABC。内（包括边界）满足2M〃台G的点”有且只有1个，即为A点，

故①正确；

对于②，正方体A3CD—44Gq中，A3,平面3CG瓦，与Cu平面3CG4，

所以A3,5c,

又B[CAXD,\D±AD,,所以3]C，AD],

而A3AR=A,A5,AD]u平面2AB澈月C,平面。1AB,

因此和BiC垂直的直线一定落在平面DXAB内，

由加是平面ABC。上的动点可知，河一定落在AB上，这样的点有无数多个，故②错误;

对于③，AG〔AC,ACu平面2AC，则4Gli平面AAC,

同理5G〃平面AAC,而AG?BqG,

所以平面ABCj平面'AC,而RM〃平面ABG，

所以DjM一定落在平面DXAC上,

由是河平面ABC。上的动点可知，此时河一定落在AC上，

即点”的轨迹是线段AC,故③正确，

故选：C.

3、D

【解题分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到%022=%，即可求解.

【题目详解】解：由题意，数列｛4｝满足%+1=1-，5eN*),且q=2,

an

口jQ2=~=-1，〃4=2,。5=~'9

可得数列｛4｝是以2,g,-1三项为周期的周期数列,

所以«2022=牝73x3+3=«3=•

故选：D.

4、A

【解题分析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)x2=0.3,频数为36,

二样本总数为斓乩

顺息

•.•样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)x2=0.75,

.•.样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120x0.75=90.

考点：频率分布直方图.

5、A

【解题分析】设x=[2+H7三，则》=反推，解方程可得结果.

【题目详解】设x=42+E丁，则工=反；且x＞也，

所以％2=2+X，所以f―%—2=0，

所以(x—2)(x+l)=0,所以X=2或％=—1(舍).

所以，2+也+亚+「=2•

故选：A

【题目点拨】关键点点睛：设x=12+是解题关键.

6、A

【解题分析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.

【题目详解】由4=70同=10得3s4,则等比数列｛4｝的公比

s

12]—n1_〃121_,3

则,/八得^^=7,令q4=/〉o,则匚=7即1+/+/=7,

小)107-

S4

i—q

解得/=2或—3（舍去）,/=2,则5g=54+q4s4=30

故选：A

7、C

【解题分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1,然后利用周期性进行计算即可

【题目详解】解：一个星期的周期是7,

KMWOKX)K)

则8=(1+7)=1+C：0c.7+C>72+…+C器•7=1+(C；00-7+C372+―+C^7°),

即6°°除以7余数是1,

即今天是星期四，经过000天后是星期五,

故选：C

8、D

【解题分析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.

22

【题目详解】曲线上+乙=1表示焦点在X轴上的椭圆，长轴长为10,短轴长为6,

259

4

离心率为二，焦距为8,

22

曲线—一+上一=1（左＜9）焦点在*轴上的椭圆，长轴长为2mI,

25-k9-k

____4____________

短轴长为2^^二1，离心率为行T，焦距为入/25—Z—（9—Q=8,

故选：D

9、C

【解题分析】设出双曲线方程，根据题意，求得。涉，即可选择.

2

【题目详解】因为双曲线的一个焦点是（2,0）,故可设双曲线方程为工=1,

a

SLCI2+b2=4

又(1,0)为一个顶点，故可得。=1,解得廿=3,

2

则双曲线方程为：必—匕=1.

3

故选：C.

10、A

【解题分析】本题考查极坐标与直角坐标互化

由点M的极坐标I。.：知夕=10,，=工

\3/3

X=PCOS0，厅、717tL

极坐标与直角坐标的关系为｛."，所以UI.的直角坐标为x=10cos丁=5,y=10sin==5,

y=psm。13)33

即(5,5⑹

故正确答案为A

11、B

【解题分析】直接利用平均变化率的公式求解.

【题目详解】解：由题得势=/(”')_/(1)=^1=一+]=3,.•.一二2.

♦%m—1m—1

故选：B

12、B

【解题分析】利用方差的定义即可解得.

[题目详解]由方差的定义，(%-x)+NT+(3-X)=,

所以数据%,%2，为3，L，/,X的方差为:

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2或10

【解题分析】求出y=2x—Inx在九=1处的导数，得出切线方程，与y=(a—1)£+(。+3)]+5联立，利用A=0可

求.

【题目详解】令/(X)=2x-lnx,g(x)=(«-l)x2+(a+3)x+5,

贝!|/'(x)=2—L/'⑴=2—1=1,

X

可得曲线y=/(x)在点(1,2)处的切线方程为y=x+1.

y=x+l

联立,得(a—+(a+2)x+4=0,

y=(a—1)x~+(a+3)x+5

。一1H0

,解得a=2或a=10.

A=a2-12a+20=0

故答案为：2或10.

14、2

【解题分析】由“=2m且”为非零向量可直接构造方程求得a,b,进而得到结果.

a2-2A

。=0a=2

【题目详解】由题意知：〃=Xm(2wO),4解得:(舍)或＜:.a+b=2.

'b=0b=0

8=0

故答案为：2.

15、①②

【解题分析】利用线面垂直的性质可判断命题①、②的正误；利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.

【题目详解】a、B、/是三个不同的平面，加、〃是两条不同的直线.

对于①，若加_La,由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m〃",故①正确;

对于②，若加J_a,加工分，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得。〃尸，故②正确;

对于③，若a，/,/3工丫,考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断尸相交，则。〃万不正确

故答案为：①②

【题目点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.

16、2兀

【解题分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解

【题目详解】由已知可得r=l,h=6,则圆锥的母线长1=后三=2,

二圆锥的侧面积S=nrl=2n

故答案为2n

【题目点拨】本题考查圆锥侧面积的求法，侧面积公式S=nrl.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=ce*

(2)y—«0.7517%—0.0591

⑶—

10

【解题分析】（1）根据表中数据判断y关于x的回归方程为非线性方程;

（2）令z=lny,将y关于x的非线性关系，转化为z关于x的线性关系，利用最小二乘法求解;

（3）利用相互独立事件的概率相乘求求解；

【小问1详解】

根据表中数据y=ce"'适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.

【小问2详解】

&

■y=Ce,Iny=dx+Vac,

令z=lny,贝！Jz=6k+lnc',

55

10.980_IL%1+2+3+4+5

丫_i=l

=2.196A—

555

40.457—3x10.98

由公式计算可知b=号......-=0.7517,

^xr-nx55-45

i=l

Inc=z-rfx=2.196-0.7517x3=-0.0591

Iny=0.7517x-0.0591,即

..」ny=0.7517%—0.0591,即丁=e°75i7x-°059i

所以y关于x的回归方程为y=e°-75I7x-00591

【小问3详解】

设甲公司获得“优胜公司”为A事件.

皿…、11123112113

232352253210

3

所以甲公司获得“优胜公司”的概率为二.

18、(1)加<3或mN4

⑵（2,3]

【解题分析】（1）先假设。命题为真命题，求出加的取值范围，下为真命题，取补集即可

（2）假设q命题为真命题，求出冽的取值范围，根据题意，则命题假设，和命题q—真一假，分类讨论求加的取值

范围

【小问1详解】

解：若。为真命题，则〃?一2>4-〃2>0,

解得3（机<4,

若“Y”为真命题，则0为假命题，或机N4；

【小问2详解】

4-m>0,

若q为真命题，则｛…2〉o,

解得2<加<4,

若为假命题，贝！|为真命题,

则。与4一真一假，

3<m<4,

①若，真q假，则

m<2或m>4,

解得me0，

m<3或加>4,

②若。真夕假，贝!I。,

2<m<4,

解得2<加<3,

综上所述，me0u（2,3]=（2,3],即加的取值范围为（2,3].

（2）证明见解析.

【解题分析】（1）由题可得c=3,2=或，即求；

a2

（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证

【小问1详解】

由题意可知在双曲线C中,c=3,—=,c2=a2+b2>

a2

4=2,

解得

b=后

X2

所以双曲线C的方程为上--=1;

45

【小问2详解】

证法一：由题可知4(—2,0),5(2,0),

设直线/：丁=左(％-3),。(%,弘)，。(马,％)，

由,得(5—4左2)x2+24左2尤—36左2—20=0,

5%2-4/=20、7

小〉0,W36尸+20

贝!IX[+々=>0,

4^-5-4k2—5

.k,=^-%

''1%+2“2'

占_%(%2—2)_(不一3)(%2—2)_玉%2—2玉一3九2+6_石%—3(石+/)+石+6

后2%(玉+2)(x2-3)(%,+2)%+2々一6千%一3(芯+%2)+5%2—6

36左2+203%4424k2

0H------------%+6

4左2—54左2—54k2—5

36左2+203々4)

+5%2—6

4k2-54k2-5

12F-1012尸一10

止―5—%九2

4人2—51

50—60F(12^2-1025;

+5%2_5一九2

I2—

4r—54k57

k,1

当直线/的斜率不存在时，/心3,此时

综上，2为定值

证法二：设直线P。方程为x=my+3,2(%,%),。(占,％)，

x=my+3,/

联立得四十=20整理得Gim2-4)V+30my+25=0,

由过右焦点尸的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点,

5m2-4w0,

-30m八

—；——>0.

5m2-42

则「。解得0＜加＜

75，

5m"-4

A=（30m）2—4x25x（5疗—4）〉0,

—30m25一+%-30m65/、

%+%=

5m2—4凶为—5疗_4'%必25

由双曲线方程可得4(—2,0),5(2,0),勺=。，&=上

%］十/%2—

Vx=my+3,/.x2-2=my2+1,+2=my1+5,

5zA15

X=X（%-2）=%（外+1）=期必+必=-6（、+%）+%=6%—6%=_1

%一%（石+2）-%（冲1+5）一期%+5%-_沁।+%）+5%--2%+至%—5

6'66

证法三：设直线产？方程为x=/*+3,P（x2,y2）,

x=my+3,/,2、，

联立得I5/jy2_2Q整理得（5m-4）/+30my+25=0,

由过右焦点F的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点，

5m2-4w0,

-30m

—：——>0.

5m2-42

解得

则4<。0<m<忑'

5m2-4

A=（30m）2—4x25x（5病—4）〉0,

•••乂+%=答二，乂%=3■二，由双曲线方程可得4(一2,0),5(2,0),

5m—45m—4

75k_5

所以占=1{

KBPk24kPB,k2

25

%.%=3V2=5m2-4

xx-1x2-2(myx+1)+m(％+%)+1

25

__________5m2_4______________________________25

一_225~'-30m,-25m2-30/n2+5m2-4T

m---z--------\-m-----z------bl1

5m—45m—4

0x0」

...e4I25J5为定值

2

20、(1)-,(2)AQ=1

【解题分析】(1)推导出以A为原点，分别以AB,AD,所在的直线为％轴,

y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角。-4C-R的余弦值;

(2)设AQ=〃0<2<2),则Q(40,0),求出平面与PQ的法向量，利用空间向量求出AQ的长

【题目详解】解(1)在直四棱柱ABC。—A4GA中，

因为44)_1_平面ABC。，ABi平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以A3,AApA。，然，

因为ABLAD,所以以A为原点，分别以AB,AD,A4所在的直线为x轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

因为AB=AD==2BC=2,

所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),£>(0,2,0),A(0，。，2),4(2,0,2),Q(2,1,2),。(0,2,2),

所以4〃=(一2,2,0),B,C=(0,1,-2),

设平面4c2的一个法向量为n=(x,y,z),则

n-B,D,=-2x+2y=0

〈,，令x=2,则〃=(2,2,1),

n-BxC=y-2z=0

ULU

因为平面4cC,所以平面4cle的一个法向量为A5=(2,0,0)，

设二面角G-4C-2的平面角为a,由图可知a为锐角,

所以二面角G-4。一