数学-福建省百校联考2024届高三正月开学考（金科大联考）试题和答案

55座位号AA 55座位号AA、、全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：符合题目要求的.1.已知集合A={x∈Z||x-1|<4},B={x|log₂x>0},则A∩B=A.{-1,0,1,2}B.{1,2,3,4}C.(3,4}A.第一象限B.第一象限C.第三象限D.第四象限3.过点P(1,0)的直线l与圆C:(x-3)²+(y+1)²=5相切，则直线l的方程为A.y=x-1B.y=2x-2C.y=3-3x5.如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP⊥AQ,则PQ=日分别在边CB分别在边CB,CD上，且CE=CF在区间(a,a+6)上存在最小值，则实数在区间(a,a+6)上存在最小值，则实数a的取值范围为【高三数学第1页(共4页)】要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.年8月社会消费品零售总额同比增速如下：1-2月C.除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值D.2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多,则11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍B.存在一点E,使得点A,和点C到平面AEB,的距离相等C.正方体被平面AEB,所截得的截面的面积随着D₁E的增大而增大D.当正方体被平面AEB,所截得的上部分的几何体的体积为时，E【高三数学第2页(共4页)】D.若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D,E两点，与双曲线C分别交于M,N两,13.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若的展开式中x³的系数为240,则实数a=的值域为R,则实数a的取值范围为16.方程cos2x=3cosx一2的最小的29个非负实数解之和为17.(本小题满分10.分)(1)求数列{an}的通项公式；18.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,且c(5co(1)求A;的周长.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC,AB⊥AD,ADDE=2PE.PAC与平面EAC的夹角的余弦值为,求AB.【高三数学第3页(共4页)】上420.(本小题满分12分)城员费端值，方能合法的驾被是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能政很架的考试项自，机动举机动车例，考试内容和合格标推全国统一，根据不同准驾车级定相应称“种目机动德地人考试内容分为灌路交通安金法律、法规和相关知识考式目(以常识考试料目(杨地驾驶技能考试科目《以下滴称“科自一：、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目(以下简称“科目三”).申请人科目一科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证，某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率),科目=平均通过的概率为,科目三平均通过的概率为该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶(1)记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X,求X的分布列和娄学期望及方差；(2)根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4,请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?(我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生)参考数据：0.99≈0.9975,1g2≈0.301022.(本小题满分12分)(3)若f(x)>0,求实数a的取值范围.2023～2024学年福建百校联考高三正月开学考·数学2345678DABBCCAD9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】由A={x∈Z|-3<x<5}={-2,-1,0,1,2,3,4},B={x|x>1},可得A∩B=《2,3,4},故选D.,可得复数z在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限，故选A.【解析】由点P在圆C上，又由直线PC的斜率为,可得直线l的斜率为2,则直线l的方程为故选B.【解析】高OP=x,OQ=y,有AP=√x²+1,AQ=√y²+1,由AP⊥AQ,有AP²+AQ=PQ,可得x²+1+y²+1=(x+y)²,可得xy=1,又由上下圆锥侧面积之比为2:1,可得PA=2QA,有√x²+1=2√y²+1,有x²=4y²+3,代人整理为x⁴-3x²-4=0,解得x=2,可得.故选C.,.有,解得(舍),可得EF=1.故选C.【解析】由f(x)=3x²-6x=3x(x-2),可得函数的单调增区间为(一～,0),(2,+心),减区间(0,2),f(2)=-1,当x³-3x²+3=-1时，x³+1+3(1-x²)=(x+1)(x-2)²=0解得一l≤a<2.故选A.有设直线x=2与x轴的交点为Q,设|PQ|=t,有【高三数学参考答案第1页(共7页)】二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【解析】对于A选项，由2023年1～8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，可得社会消费品零售总额的月平均值约.1亿元，故A选项错误：对于B选项，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长4.6%,可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为.8亿元，故B选项正确；对于C选项，由图表可知去掉-5.9,18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C选项正确；26.4%,24.3%<26.4%,故D选项错误.故选BC.【解析】设等比数列{an}的公比为q,由a₁a:=8,有aza₃=8,联立方程解得或(舍去),有,可得a₁=a₂q⁻²=2×2~-²=2¹.对于A选项，由as=2⁵=32,as=2⁴=16,有a₆-4as=32-64=-32,f()<f(2)=f(3)>/(4)>…有,可得数列{b₄}中的最大项为b₂或b₃,故D【解析】对于A选项，正方体外接球的半径为,内切球的半径为.可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的倍，故A选项正确对于B选项，由点A₁和点B到平面AEB₁的距离相等，若点A,和点C到平面AEB₁的距离相等，必有BC/平面AEB₁,又由BC//AD.可得AD//平面AEB₁.与AD∩平面AEB₁=A矛对于C选项，如图，在C₁D₁上取一点F,使得EF//C₁D,连接B₁F,设D₁E=a(0<a<1),由EF//C₁D//AB₁,可得平面AB₁FE为过A,B₁,E三点的截面，在梯形√I²+(I-a)²=√a²-2a+2,梯形AB₁FE的高为【高三数学参考答案第2页(共7页)】体被平面AEB₁所截得的截面面积随着D₁E的增大而增大.故C选项正确；被平面AEB₁所截得的上部分的几何体的体积为,整理为a²+a-1=0,解得故D选项错误.故选AC.【解析】对于A选项，由a=√3,b=1,c=2,可得双曲线C的离心率为,故A选项正确；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为2.由对称性，不妨设直线l与渐近线重合，点P位的倾斜角为有,又由|OP|=√3,可得|OT|=2.又由|OF|=2.故直线l过双曲线C的一个焦点.故B选项正确；对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性，不妨设直线l的方程为2直线(的方楼为2解方程组可得点Q的坐标为,可得,故C选项错误；联立方程对于D选项，设点P的坐标为(s,l),可得直线l的方程为sx+ty=3,其中s²+t²=3.联立方程可得线段DE的中点的横坐标为.联立方程·消去y后整理为(35²-f²)x²-18sx+(3t²+27)=0.可得线段MN的中点的横坐标为·可得线段DE和MN的中点相同，故有|DM|=|EN|,故D选项正确.故三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).有,可得【高三数学参考答案第3页(共7页)】x³的项为15a¹x³,则15a¹=240.解得a=±2.域不可能为R;②当a<0时，函数f(x)在(一o,a),(a,+～)上单调递增，若函数f(x)的值域为R,只需|al-2≤-1,可得-1≤a<0.由上知，实数a的取值范围为【解析】方程cos2x=3cosx-2可化为2cos²x-3cosx+1=0,因式分解为(cosx-1)·.解得cosx=1或,方程的最小的29个非负实数解中有10个是以0为首项，2π为公差的等差数列，其和为10个是以·为首项，2π为公差的等差数列，其和为;有9个是以为首项，2π为公差的等差数列，其和为可得方程的最小的29个非负实数解之和为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.可得数列{√am}是公差为1的等差数列，可得数列{aw}的通项公式为an=n²;2分3分5分,解得0<n<9,的正整数n的集合为{n∈N'|1≤n≤8}.……………10分整理为2cos²A-5cosA+2=0,,……………………………7分【高三数学参考答案第4页(共7页)】1分3分分1分3分分代入AB=√3AD,可得AD=2,AB=2√3,…………………9分又由,代人AB=2√3,可得AC=√3,有△ABC的周长为2√3+√3+3=3+3√3.………………12分 ∵OE//BP,OEC平面ACE,BP±平面ACE.∴BP//平面ACE; 4..由AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD,过点A作底面ABCD的垂线l,垂线在平面PAD内，以A为坐标原点，AB,AD,直线l分别为x,y,x轴建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0.0,0),D(0,2,0),,可得点P的坐标为(0,-1,1),………………6分又由),有AE=AP+PE=(0,-1,1)+设平面PAC的法向量为m=(x.y,z),由AC=(a,1,0),AP=(0,-1,1),有取x=-1,y=a·x=a,可得平面PAC的一个法向量为m=(-1,a,a),……8分设平面EAC的法向量为n=(p,q,r),由AC=(a,1,0),;,由m·n=-a²-1,|m|=√2a²+1,|n|=√a²+1,有又由平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为化简为5a²+5=6a²+3,解得a=√2或a=-√2(舍).,(2)这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证【解析】(1)1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为,根据题意可知X的取值分别为0,1,2,3,4,…………………1分【高三数学参考答案第5页(共7页)】故X的分布列为：X01234P……………………6分(2)增加k(k为正整数)天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有<0.0025,有k>logo₄0.0025-1,………………10分故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证.【解析】设M,N的坐标分别为(x₁,yi),(xz,y₂),(1)由抛物线的定义有,,可得,…………1分联立方程消去y后整理为2x²-(p+8)x+8=0,有