人教A版高中数学 选修第二册 常考题型练习 17 等比数列概及其前n项和

专题17等比数列概念及其前n项和

目录

【题型一】等比数列概念.........................................................................1

【题型二】等比数列通项计算....................................................................3

【题型三】等比数列前n项和....................................................................4

【题型四】等比数列Sn与an的关系..............................................................5

【题型五】等差等比纠缠数列...................................................................7

【题型六】等比数列性质........................................................................8

【题型七】等比数列“不定方程型”计算.........................................................10

【题型八】S„,S2n,SM应用......................................................................11

【题型九】插入数构成等比数列................................................................13

培优第一阶——基础过关练.....................................................................15

培优第二阶——培优拔尖练.....................................................................19

热点题型归纳

【题型一】等比数列概念

【典例分析】

已知等比数列｛4｝中，4=3,公比夕=-3,则下列说法正确的是()

A.数列｛3%+α,,+J是等比数列B.数列。+「叫不是等比数列

C.数列｛、丽工｝是等比数列D.数列｛1嗝明是单调递减数列

【答案】C

【分析】先求得勺，然后结合等差、等比数列的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】匚等比数列｛叫中，6=3,公比q=—3,a,,=3×(-3Γ'=-(-3Γ.

π+

由此可得3an+an+i=-3(-3Γ-(-3)'=0,故A错误;

%-综=-(-3严+(-3)"=4∙(-3)",故数列｛4“-4｝是等比数列，故B错误;

=√(-3)n.(-3)"+2=3"+1,故数列｛麻二;｝是等比数列，故C正确；

22,J

log,∣¾∣=Iog33=2H,故数列｛1叫。;｝是递增数列，故D错误.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

等比数列基础：

(1)通项公式：α,,=a∣q"^^l;

ItaI,q=1>

(2)前"项和公式：Sn='αl(l-q")a\—a”q

[l-g∖-qY

【变式训练】

1.已知数列｛4｝为等比数列，则“｛4｝为常数例F是''6,4,4成等差数歹『’的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.

【详解】解：如果｛q｝为常数列，则6，4，%成等差数列，所以“｛q｝为常数歹『'是'"，％，心成等差数歹『'的充

分条件；

4，。2，。3等差数列，所以2%=6+。3，，244=4+4/,；.4=1,所以数列为％,4,4,

所以数列是常数列，所以''｛α,,｝为常数列''是"4，%必成等差数列”的必要条件.

所以“｛叫为常数列”是“4,出，4成等差数列”的充要条件.

故选：C

2.已知等比数列｛α,J的公比为4,则“他,J是递增数歹『，的一个充分条件是()

A.<2∣>0B.⅛>ɪ

C.o1<0,q<0D.q<0,0vg<l

【答案】D

【分析】由等比数列仅“｝满足递增数列，可进行勺和”,川两项关系的比较，从而确定卬和4的大小关系.

【详解】由等比数列｛4｝是递增数列=4<α.∣=卬Tyaq'="qi(lr)<0,

若4>0,则q"T(l-q)VO,得它1；

若4<0,则q"T(l-q)>O,得。<广1;

所以等比数列U｝是递增数列o4>0,夕>1或《<0,0<9<l;

故等比数列｛对｝是递增数列是递增数列的一个充分条件为4<0,0<⅛<l∙

故选：D.

3.已知数列｛%｝是各项均大于O的等比数列，若。=∣og2a,,,则下列说法中正确的是()

A.｛〃｝一定是递增的等差数列；B.｛2｝不可能是等比数列；

C.｛2⅛2,I+1｝是等差数列；D.但，｝不是等比数列.

【答案】C

【分析】设出等比数列｛%｝的公比，求出a的表达式，再逐项分析判断作答.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为<?,依题意有4>0,q>0,¾=^π^',〃eN”,

,1

b„=log2(a1⅛-)=Iog2q+(∕1-l)Iog2q,⅛,,+l-bn=Iog2q为常数，即数列｛bn｝是公差为Iog2q的等差数列，

当O<q<l时，lθg2q<0,等差数列｛"｝是递减的，A不正确；

当q>O,“产Lg=I时，⅛,,=Iog2α,≠0,即数列也“｝是非O常数数列，它是等比数列，B不正确；

2仇的+l-(2%τ+l)=2(%田-处τ)=41og2"为常数，即｛2%τ+l｝是等差数列，C正确;

2=3%F=3啕。是不为0的常数，即数列｛3%｝是等比数列，D不正确.

故选：C

【题型二】等比数列通项计算

【典例分析】

等比数列｛%｝是递增数列，若。5-4=60,a4-a2=24,则公比q为()

A.ɪB.2C.■或—2D.2或《

［答案］D

【分析】由题意可知q>0且q*I,由已知条件可得出关于实数夕的等式，解出9的值,进一步求出《的值

和数列｛4,,｝的通项公式，对数列｛%｝的单调性进行验证，由此可得出结果.

【详解】因为等比数列｛4｝是递增数列，则数列｛%｝的公比q满足4>0且4工1，

∣

_4(∕^^l)宁堞弓即5q+2=0,解得或2∙

所以,

a4-a2WI)

2

若q=W,WJa4-α2ɪαl<7(<7-ɪ)=-∣alɪ24,解得“∣=-64,

20

此时％=401=-64X击，此时数歹u｛4｝为递增数歹∣J,合乎题意；

若4=2,则%-丹="∣g(∕-l)=6α∣=24,解得4=4,

此时4=αα"τ=4χ2"τ=2"+∣,此时数列｛为｝为递增数列，合乎题意.

综上所述，9=；或2.故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

等比数列性质：

若p+q=∕w+”,W∣Ja,,∙at,=am∙a,„特别地，若p+q=2k,则斯•。“=加

【变式训练】

1..已知递增等比数列｛α,,｝,4>0,a2a4=64,4+%=34,则4=()

A.8B.16C.32D.64

［答案］D

【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可.

【详解】因为递增等比数列｛为｝中外04=64,所以4%=64,又4+G=34,

解得“∣=2,%=32,所以/=&=16,解得q=2,所以4=2%=64,故选：D

a∖

77

2.已知等比数列｛〃〃｝的各项均为正数，S〃为其前〃项和，且满足：aι+3a3=gS3=-,贝∣J/=()

C.4D.8

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项公式、求和公式求解即可.

77

【详解】设等比数列｛α"｝的公比为q,则q>0∙∖a1+3a3=2,邑=2,

a∣+3a∣q2=ɪ,α∕(l+⅛+ςr2)=ɪ,联立解得O∕=2,q=ɪ.则/=2x(；)=：(,故选：A

3.在等比数列｛α,,｝中，a4+α7=2,a2a9=-8,则q+ακ>=()

A.5B.7C.-5D.-7

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质，可以求出巴«的值，连同已知4+%=2,可以求出

%,%的值，进而求出首项和公比，分类求出4+4。的值.

【详解】等比数列｛氏｝有=4,%=-8,而出+%=2,

a.a=-81兄=4[a,=­2<、

｛αn=2'解得5=-2或|；=4,设等比数列｛《，｝的公比为4,

ax=-8

解得，31Cll+4()=4+=—8+(—8)=-8+1=-7

q=一一

、2

c.

“∣=l

解得，α+α=«,+aq)=l+l×(-2)3=1-8=-7；故选:D

y=-2,ll0x

【题型三】等比数列前n项和

【典例分析】

已知等比数列｛。〃｝的首项为1,公比为2,则“+疗+…+加=()

A.(2n-1)2B.∣(2,,-1)C.4〃-1D.1(4"-1)

【答案】D

【分析】根据等比数列定义，求出a=Y=4"T,可证明｛，｝是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等

比数列的求和公式，可得解

h4w^,

l

【详解】由等比数列的定义，¾=l∙2"-=2"-'o故”,=展=221=41。由于广_==4,Z>∣=l≠0

h

,,-l4

故｛〃｝是以1为首项，4为公比的等比数列。“+芯+…+-=l∙(l-4")=B

1-43

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

等比数列仅“｝公比夕不确定，其前〃项和5“直接用公式S“=驾二©处理问题，漏掉对q≠1的讨论.

τ-q

【变式训练】

1.已知公比为q("Hl)的等比数列m｝的前〃项和为s“，则数列的前几项和为()

ALcB2]ɪ

cd

■S,标

【答1套1D

【分析】首先利用等比数列｛q｝的性质可知，数列也为等比数列，然后利用等比数列求和的公式求解

化简即可.

【详解】不妨设数列的前〃项和7；,｛%｝为等比数列，且公比4(4/1),

1

牛=d∙=L,：数列也为等比数歹U,且公比为L,S,,=丝工2,

a

_Lnq[an]q∖-q

an-∖

ɪfl-ɪɔ

τq人q(l-q")_Sa

n1_1α%"'(l-q)a:qn-''

q

故选：D.

2.若等比数列｛α,,｝的前"项和SJ=3〃+〃，则。的值为()

A.3B.OC.-1D.-3

【答案】C

【分析】根据α"=S"-S〃/求得数列的通项公式，进而求得α/,根据α∕=S,求得α.

l+

【详解】解：Sn=3n+a,Sn,l=3n+a,("≥2,〃N),

an=Sn-Sn.∣=2∙3n',又α∕=57=3+0,由通项得：&=6,公比为3,

□α∕=2,Da=-1.

故选：C.

23nl

3.数列1,1+2,1+2+2?,...,I+2+2+2++2^,的前〃项和为()

A.2"-n-iB.2"+l-n-2C.2"D.2n+1-n

【答案】B

【分析】设此数列的第〃项为。“，先求出此数列的通项α,,=2"-l,再分求和求出前〃项的和即可.

【详解】设此数列的第”项为明,则%=1+2+2a+2'+…+2"<+2"T

=≥≡y=2n-l所以数列｛α｝前〃项和为：q+2+…+a-,--+…+2”-I=芈"一〃

=2,,+'-rt-2，“eN".故选：B.

【题型四】等比数列Sn与an的关系

【典例分析】

.数列｛%｝的前“项和为，若，

"4=1απ+1=3Sn(n≥l),则。“等于

72l,n=l

A.3x4"B.3x4"+1

3×4M^2÷1√7≥2

【答案】C

【分析】讨论片1和佗2两种情况，当栏2时•，通过--4=3(5〃-BI)及等比数列的定义得到答案.

【详解】A=I时,2=3,=3%=3,

"≥2时，⅛=3∖-∣,所以4+∣-4=3(S〃一SI)=34n%+∣=4%,

而4=3〃]≠44∣,

所以数列｛%｝从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列,

所以叫[13,xΛ4=∖1≥2∙故选：C

【提分秘籍】

基本规律

通项α〃与前n项和Sn的关系是：

Si,n=1,

Sw-Srt-∣,心2.

【变式训练】

1.已知数列｛《,｝的前〃项合为5,，且S,,=2α,-2("∈N+),则Sg=()

A.510B.511C.1022D.1023

【答案】C

【分析】令〃=1,由4=，可求出4的值，再令〃≥2,由S,=2”,,-2得出Sflτ=2",ι-2,两式相减可得出

数列｛《,｝为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的求和公式可求出的值.

【详解】因为S"=2αz,-2("∈N+),当〃=1时，α,=S,=2a1-2,所以q=2,

当“≥2时，S,,-,=2an.l-2(∏>2),所以=S”-Sfl-∣=2α,,-2α,τ(〃22),SPan=2a,,-l.

则｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，故Sl)=2x(T)=2∣。一2=1()22.故选:C

1-2

3

2.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且对任意正整数〃都有%=jS.+2,若勿=1Og24,则九H)=().

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【分析】先令〃=1代入¾=^5n÷2ψ,求得为,再根据递推式得到4用二WS"+∣+2,将%+∣=1s用+2与

444

己知乙==S,,+2相减，可判断数列｛4｝是等比数列，进而确定〃，，求得答案•

333

【详解】因为q=WS“+2,令”=1，则q=H=8，又4m=]S,用+2,故向S)，

即“^=4α,,,故数列｛%｝是等比数列，则∕=8χ4"T=22"M,

所以勿=k>g2%=2"+l,所以4o∣o=2x1010+1=2021,故选：C.

3.已知数列｛《,｝的前〃项和为邑，且满足S,,+4+2=0,则为=()

a6

A.63B.252C.364D.728

【答案】B

【分析】证明数列｛“"｝是以-1为首项，以3为公比的等比数列，即得解.

【详解】解:当〃=1时，4+4+2=0,.∙.α∣=-l.当〃≥2时，SΛ+¾+2=0,S,,.I+an,1+2=0,

两式相减得为+4-%τ=0，，区=；，所以数列｛4,｝是以-1为首项，以J为公比的等比数列，

Il-(1)663Il4S4x(-fl)

所以q,=-(5τ.所以s，=——~=一"，4=一(不)5=-不，所以3=—产-=252.故选：B

232232a6__

~2~32

【题型五】等差等比纠缠数列

【典例分析】

已知数列｛%｝是等比数列，数列也｝是等差数歹U,若%q∙%=-3月,b4+bx+bg=2π,则tan♦+[=()

a3'a∖∖~i

A.-√3B.√3C.--D.走

33

【答案】A

【分析】设数列｛“,J是公比为4的等比数列，数列｛4｝是公差为"的等差数列，运用等差数列和等比数列的

通项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，化简已知得％=-后，"=4，代入tan即得解.

3«3∙«∣l-l

【详解】设数列伍“｝是公比为4的等比数列，数列｛〃｝是公差为d的等差数列，

若4.〃9=一3百,也+4+%=2乃，则.∣∕Xα∣∕Xqq*=-3石，bl+3d+bi+7d+bl+Sd=2π,即为百,

H+6”=葛,

BPa1=-√3,b1=—,则tan-"+”=tan弋[=tan]=->^.故选：A

3«3-«ii-ɪch-13

【提分秘籍】

基本规律

等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。

L一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。

2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。

【变式训练】

1.设｛4｝是公差为d的等差数列，也｝是公比为q的等比数列.已知数列｛q+2｝的前”项和

S,,=∕+5"-1("GN"),则d-q=()

A.-3B.—1C.2D.4

【答案】A

【分析】设数列｛叫和也｝的前“项和分别为4,纥，然后利用分求出再利用5,,=4+纥列方程,

由对应项的系数相等可求出结果

(详解】设数列｛«„｝和｛b,,｝的前〃项和分别为Al,,B,,,则

n(n-∖∖dW——L(g≠l),

4=W+2

l-<7l-c∕

若9=1,贝IJ纥="4，则S,=4+纥=〃2+5"-l=(q-g)〃+g〃2+〃4,显然没有出现5”,

z所以4≠1,

〃+与+_L%小2+5』,

所以

2∖-q∖-q

由两边的对应项相等可得4-4=0,<=lM=5,γ^J=T,

22∖-q

解得4=l,d=2,g=5,4=4,所以d-g=-3.故选：A

2.数列｛〃〃｝中，an=3n-7(∏□N+),数列｛加｝满足6/=g,加_/=27ZW(〃之2且∕rZ3N+),若IogHW为常

数，则满足条件的％值()

A.唯一存在，且为gB.唯一存在，且为3

C.存在且不唯一D.不一定存在

【答案】B

【分析】由题意加=(g)3"2,代入化简可得加+1OgA加=(3+31。以上〃一7—210g*；,若为常数有

3+31ogA；=0,求解即得解

【详解】依题意，加="(，∙)〃7=^(∣)3π,=(ɪ)'w

an÷∖ogkbn=3n~l+IogA(ɪ)3n一2=3〃一7+(3〃——2)log%；=(3+3IOgAg)〃——7——2Iog左;.

□即+logZ⅛〃是常数，□3+31og⅛^=0,即log攵3=1,口%=3.

故选：B

3.已知各项均为正数的等比数列｛〃"｝中，4=1,其前〃项和为5.，若2%,；〃5,4成等差数列，则57-36=()

A.128B.64C.32D.1

［答案］B

【人加】根据基本量法，将所给条件转化为首项与公比的关系式，再结合等比数列的通项公式求解即可

【详解】解：设｛凡｝的公比为q.

2%，3。5，包成等差数列，，45=243+“4.即α∣q4=204+α∣∕,

化简得/-g-2=0,解得q=2或q=T.

f6

由己知，¢=2,:.S7-S6=a1=aiq'=2=64,故选：B.

【题型六】等比数列性质

【典例分析】

已知数列｛/｝的首项为1,数列也｝为等比数列，且〃=号"，若九如=202(徜，则，I=()

A.1008B.1024

C.2019D.2020

【答案】D

【分析】根据数歹U｛%h为等比数列，bb=202()5和2=%L,利用等比数列性质得到组=2020而，再利用

10a

"nam

/\10

累乘法结合性质，山&■=旦∙.∙∙∙⅛∙0L=区求解.

«1«1«2«3%9。2。V‰；

【详解】由数列｛4｝为等比数列，

1

i5

得blb20=b2bl,==/瓦=2020•

又么=%l,所以"&■=包.氏==%.呃=①=2020盘,

%生0。2494()41。10

0

IO1V

所以.¾l.¾L==2020历=2020.

aaaa

∖∖23。19〃20IaloJ(>

又数列｛%｝的首项4=1,所以％=202。

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

若｛为｝为等比数列，公比为《，前〃项和为S,,则有：

(1)"高斯”技巧：若o+g="?+",则alt∙a。=Ctm•0,,特别地，若p+q=2k,则U•&=苏；

(2)“跳项”等比：数列为，an+k,an+2k,期+3«，…为等比数列，公比为欧

(3)“和项”等比：数列S”S2n-Sn,S3,,一S2“仍成等比数列，其公比为.

【变式训练】

2

1.已知正项等比数列｛4｝的公比为3,且q%a20=3°,则。4/4必6%0=()

2550_25X

25

A.3τB.3亍C.3TD.3

【答案】A

【分加】根据等比数列的通项公式计算.

44

【详解】ala2a3a4=才学■<寸4=方SlWs=号号号4=竽'…'

4444

CCnn一一“20所四见4a20.q20

aaaa3

∖i↑S∖920-33323〜―于^，所以于^∙gr∙^Γ-,

则(W8.“BH故W$,0=3表

故选：A.

2.已知数列｛4｝是等比数列，Kan>0,2+若+羽+4+%3+4)=2那么4+%+。4的值等于()

A.2B.1C.√2D.3

［答案］C

【分加】利用完全平方和公式和等比中项的性质，即可得到答案；

【详解】(q+〃2+=4；+a；+d+2axa2+2q/+24〃4

=2-2。；-2α1a2-2axa4r+2a1α2+2α1a4+2a1a4=2

ʌ01+02+α4=V2,故选：C.

,55

3.已知数列｛%｝的前"项和为S,,,且若-+*++¾+10=2-2,则正整数L=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】由5“=2q,-g先求得％,再得到S,-=2.,--g("≥2),和已知式子相减，可求得见，根据已知利

用等比数列的前〃项和公式即可求得答案.

【详解】由5.=24,,-3,可得q=(又S,-=2.,--g("42),所以两式相减得：¾=2α,,-2⅛-l,

%=2α,ι("≥2)

故数列｛%｝是以T为首项，2为公比的等比数列，所以%=2"-2,故

2i-'(l-2'°)„S

¾!+4+2++¾ιoɪ—ʌ----=2•-2∙，

++1—2

解得k=6,

【题型七】等比数列“不定方程型”计算

【典例分析】

设数列(¾),｛⅛J都是正项等比数列，S“,T„分别为数列｛Ig4)与｛lg%｝的前〃项和,且今=吟，则loga,b3=

()

【答案】D

【分加】根据等差数列前〃项和性质计算.

【详解】设正项等比数列｛%｝的公比为g,正项等比数列也」的公比为P，

数列｛lg4｝为等差数列，公差为lgq,Ug差｝为等差数列,公差为IgP,

Cn(n-↑],〃(〃一

λ,1)

S“=Mgq+-2Λgq,τn=n∖gbl+`QAgp.

,〃一II

S,J+1Ig4+-lg⅛

故选D.

T2”1.〃—11-S=⅞≡≡=⅜=⅛=l­

11

^bl+-∖gp

【提分秘籍】

基本规律

设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。

求解时，涉及到前n项和时，要注意讨论公比是否为1特殊情况。

【变式训练】

1.设等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,若几：$5=1:2,则兀："=()

ɔɪo%

A.-B.--C.-D.--

2222

【答案】B

【分析】根据题意，可知小=；55,设等比数列｛q｝的首项为4,公比9，可知qxl,由S”)：5$=1：2并根

V13Sc+5,∩+5.c

据等比数列的前〃项和公式得出“5=-彳，进而得出S∣5==S5,从而可求出’”的结果.

24SK)T5

【详解】解：由题可知，51O:S5=1:2,则

∖0∖

-q)

设等比数列也｝的首项为％,公比q，可知g≠ι,因为亲FT=I+q5=J,所以[5=一;,

,5]_qzZ

1一夕

4(1-d')

SJ"qJ-2)33

则,所以几=(S5,

5l-5zIP

SSal(l-⅛)√

"q

++

S5+Sl0+Si5⅝2^49

故5∙故选:B.

SiO—S5

-SoECaj,t,5∕n÷l

2.已知S”是等比数列｛%｝的前〃项和，若存在m∈N*，满足瞪=9,3=-f,则巾的值为()

S,,,amm-∖

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【分析】利用等比数列前〃和公式以及等比数列的性质分别求出,进而得到答案.

【详解】设等比数列｛叫的公比为4.

当q=l时，妥=阴%=2与*=9矛盾，不合乎题意；

Smm%Sm

q(1-产)

SI12m

当4*1时，VL=-Λς⅛=-⅛=1÷^'=9-则夕"'=8，

Sm矶1-4)ι-q

i-q

，

又qa?“=/"=5-∕τt+l-,即5吧∕π÷±l1=8,解得〃?=3.故选：D.

amm-∖∣n-i

3.已知等比数列｛q｝中，各项都是正数，且4,→3,2%成等差数列，则”他=()

/C/7•Cto

A.l+√2B.l-√2C.3+2√2D.3-2√2

【答案】C

【分析】根据外,→3,生成等差数列，可得%=q+2%,从而可求出公比4,进而可求得答案.

【详解】设等比数列的公比为q(q>0),

因为4，.2%成等差数列，所以％=q+2%,所以442=4+244,所以T-2q-1=0,

所以%+4o=%/+常=/(%+火)=q?

解得4=1+&或q=1-拒(舍去),

'%+4⅞«7+¾07+t⅛

=(l+√2)2=3+2√2,故选：C

【题型八】Sn,S2n,SM应用

【典例分析】

设S〃是等比数列｛〃〃｝的前〃项和，⅞-=∣,则*等于()

%Jɔl?

D.ɪ

9

【答案】B

【分析】由题意，用基本量q闯表示白，化简可得g'=2,再表示化简可得率=IT,代入即得解

%)12d121+4

q(l-g3)

【详解】设公比为q，⅜=∣,9≠1.∙∙⅛=-⅛7I-g3_ɪ_1.∕-

1-√^N√^3^f^2

S63邑4(l-g)

1-9

4(7)

.&=1-4l-⅜6_1⅛⅛H

B

“Sjqa-L)l-√2~∖+qb

1-4

【提分秘籍】

基本规律

等比数列前n项和满足：S„,S2ll-Sn,S3“一S2”仍成等比数列，其公比为

【变式训练】

1.一个等比数列共有3初项,若前2〃?项之和为15,后2加项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()

A.63B.72C.75D.87

［答案］A

【3加】根据等比数列前n项和的等片段和性质可求解.

【详解】由题意知"=15,S3m-Sm=60,

又(S?,“一S“Y=S,,,⑸,“一与G=SJS,,,+60-"),解得S,“=3,

所以4=60+3=63.

故选：A.

2.设等比数列｛q｝的前,项和为5“，若S6：S3=1：2,贝l］S9d3=()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

【答案】C

【分析】利用等比数列前〃项和的性质臬，S2k-Sk,SM-S2k,S4t-Sik,L成等比数列求解.

【详解】解：因为数列｛《,｝为等比数列，则S3，S6-S3,邑-56成等比数列，

777/77

设53=根，则$6=三，则S(i-S3=-^,

SA—S-,S~S,1jγι3Sq3

故」L=iiU=所以Sg-Se=;,得到Sg=；m,所以寸=7∙

故选：C.

3.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，且SK)=2,S30=i4,则/。=()

A.20B.30C.40D.50

【答案】B

【分加】利用等比数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】设等比数列｛α,,｝的首项为q,公比为q(q>0,4≠l),则

q(T)=2①

i-q

由①得l+^l0+√2°=7,即∕°+d°-6=0,解得/°=2或/°=一3(舍),

=14②

i-q

4"，二S=(-2)x(l-16)=30∙故选：B.

且代入得言=-2,贝S0=16,所以S40=

【题型九】插入数构成等比数列

【典例分析】

若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以

不断构造出新的数列.现将数列1,3进行构造，第1次得到数列1,4,3；第2次得到数列1,5,4,7,3；

依次构造，第"("eN")次得到数列1,占,与,£，,々,3.记4,=1+占+当++々+3,若>4378成立，则”

的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据规律确定。川，&的关系式，进而可得%+「2=3(4-2),即有4的通项公式，求解4>4378即

可得结果.

【详解】由题意知：⅛+l=3⅛-4,则α向一2=3(%-2),

则4-2=6X3"Tna“=2+2x3”,

当〃=7时，%=2+2χ37=4376.

当〃=8时，4=2+2X38>4378.

故选：C.

【变式训练】

1.将等比数列｛2｝按顺序分成1项，2项，4项，…，2'i项的各组，再将公差为2的等差数列｛《,｝的各项

依次插入各组之间，得到数列｛%｝：伉，at,b2,仄，a2,b4,&,b6,b1,a,,数列｛c,,｝的前“项

和为S“.若q=l,c2=2,S3=?,贝IISIoo=()

B33

ʌ-ɪɜθ-r∙⅜°-⅛Γ]c-⅛3θ-⅛r]ŋ-⅛°-⅛Γ^

【答案】D

【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列｛ς,｝的前100项中含有数列

｛%｝的前6项，含有数列｛d｝的前94项，运用分组求和的方法可求得答案.

【详解】解：山己知得4=1,4=2,⅛2=c3=S3-cl-c2=i,等比数列也｝的公比q=:∙

令7；=1+2+2?++2"τ=2"-1,则(=63,7；=127,

所以数列｛5｝的前100项中含有数列｛«„)的前6项，含有数列也｝的前94项，

故SK)O=q+a++∕⅞4)+(4+%++%)

=―^-+6×2+^^×2=ilɜθ-fɪ).故选:D.

1-l23[｛2｝j

4

2.在1和10之间插入"个实数，使得这(〃+2)个数构成递增的等比数列，将这(〃+2)个数的乘积记作7；,

则ig]+ig∕++ιgηl=()

13

A.—B.11C.44D.52

2

【答案】C

【分析】由条件结合等比数列通项公式求出/+I再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出