2023北京高三一模物理汇编：压轴计算题（第20题）

2023北京高三一模物理汇编

压轴计算题（第20题）

1.（2023•北京海淀♦统考一模）电容是物理学中重要的物理量。如图1所示，空气中水平放置的平行板电

容器A充满电后，仅改变电容器A两极板间的距离d。电容器A的电容C也随之变化。多次实验后，作

出一条斜率为。的直线，如图2所示。不考虑边缘效应。

（1）回答下列问题。

a.若开关保持断开状态，分析当板间距d变化时，两极板间电场强度的大小E如何变化。

b.根据电场强度的定义、电场强度可叠加的性质，证明当电容器A所带电荷量为《时，下极板对上极板

2

电场力的大小F=W。

2。

（2）用电容器A制成静电天平，其原理如图3所示：空气中，平行板电容器的下极板固定不动，上极板

接到等臂天平的左端。当电容器不带电时，天平恰好保持水平平衡，两极板间的距离为d。当天平右端放

一个质量为机的祛码时，需要在电容器的两极板间加上电压U,使天平重新水平平衡。

某同学提出若用电压表（可视为理想表）读出上述电压，则可推知所加祛码的质量。因此，他准备将图4

中该电压表表盘（示意图）上的电压值改换为相应的质量值。他已经完成了部分测量，请在图4的表盘上

标上2V和3V对应的质量值，并给出一种扩大该静电天平量程的方法。

（3）如图5所示，将电容器A的下极板同定不动，上极板由一劲度系数为4的轻质绝缘弹簧悬挂住。当

两极板均不带电时，极板间的距离为4）。保持两极板始终水平正对且不发生转动，当两极板间所加电压为

U时，讨论上极板平衡位置的个数N的情况。

2.（2023•北京东城•统考一模）应用恰当的方法可以对一些问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运

动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲

线在该点的曲率半径P，用来描述这一点的弯曲程度，如图甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置

的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，

位于平面直角坐标系X。），的第二象限内，末端恰好位于坐标原点O,且切线沿水平方向，质量为的小滑

块从轨道上的A点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大小为%,轨道对其支持力大小为2，"g,之后小

滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛运动的轨迹关于坐标原点。对称，重力加速度为

g。

（1）求轨道末端的曲率半径为；

（2）小滑块做平抛运动时经过B点（图中未出），若由A点运动到。点与由。点运动到B点经过相同路

程，用AA表示小滑块由A点运动到。点过程的动量变化量，用表示小滑块由O点运动到B点过程的

动量变化量，通过分析比较W∣与Ap?的大小；

（3）轨道上的C点距X轴的距离为生,求小滑块经过C点时受到的支持力大小及。

3.（2023•北京西城・统考一模）流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量

流量来解决实际问题。环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水，如图所示。他测出

水平管口距落点的竖直高度为力，管口的直径为d,污水落点距管口的水平距离为/,重力加速度为g。请

根据这些测量量估算：

a.污水离开管口时的速度大小也

b.排出污水的流量。。

4.（2023•北京西城・统考一模）电磁流量计可以快速、方便地测量导电流体（如污水、自来水等）的流

量，其简化示意图如图所示，它是一段横截面为长方形的管道，其中空部分的长、宽、高分别为氏

c,流量计的左右两端与输送流体的管道相连接（如虚线所示），其上下两面是金属材料，前后两面是绝缘

材料.流量计处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于前后两面.流量计的上、下两表面分别

与电压表的两端相连接（图中未画），当污水满管通过流量计时，电压表就会显示读数.

a.求电压表示数为U时管道中的污水流量Q.

b.某同学想利用电磁流量计设计一个便于调节的浇花装置.如图3所示，花坛中紧密摆放着相同的花

盆，它们由内向外以。为圆心摆放在半径不同的圆周上.在圆心。处安装一个竖直的输水管，管的末端安

装一个可以水平360。自动匀速旋转的喷水龙头，其旋转周期T可调.该同学把图2中的电磁流量计安装在

龙头的末端，作为水平喷口，并且通过改进使电磁流量计的边长人大小可调（其他参数不变）.如果龙头

喷出水的流量。是恒定的，为了使龙头旋转每周每个花盆的浇水量相同，当浇灌半径由凡增大到与时，

需要调节b和7.不计水喷出时旋转方向的速度，求调节前后的电压表的示数之比务及龙头旋转的周期之

U2

5.（2023•北京朝阳•统考一模）中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关

键环节。

（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，

如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半

径为，•，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角

速度大小ω<.

（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启

动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。

a、已知返回舱的质量为M,其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S,喷射气体的密

度为P，返回舱距地面高度为”时速度为%,若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直

线运动，到达地面时速度恰好为零.不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。

求气体被喷射出时相对地面的速度大小V;

b,图是返回舱底部Y射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射Y射线。为简化问题，我们假定：

γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个Y光子，地面对光子的

吸收率为η,紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为Ao当接收器单位时间内接收到n个Y光子时就

会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度从

发射器DP接收器

y射线

工以地面

/ZZ//ZZZ//ZZZZ

6.（2023•北京延庆♦统考一模）加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的

一种.如图1为回旋加速器的工作原理图。Di和D?是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两

极相连.两盒处于磁感应强度为8的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于Dl盒圆心附近的A处有一

个粒子源，产生质量为机、电荷量为+夕的带电粒子.不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙

的时间，加速过程中不考虑相对论效应。

（1）若已知半圆金属盒的半径为R,请计算粒子离开加速器时获得的最大动能Ek

（2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为/,求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率

（3）某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前

后相邻轨迹间距M是相等的。请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会

图1图2

7.（2023•北京丰台•统考一模）能量守恒定律是普遍、和谐、可靠的自然规律之一。根据能量守恒定律，

物理学发现和解释了很多科学现象。

（1）经典力学中的势阱是指物体在场中运动，势能函数曲线在空间某一有限范围内势能最小，当物体处

于势能最小值时，就好像处在井里，很难跑出来。如图所示，设井深为H,若质量为〃］的物体要从井底至

井口，已知重力加速度为g,求外力做功的最小值卬。

（2）金属内部的电子处于比其在外部时更低的能级，电势能变化也存在势阱，势阱内的电子处于不同能

级，最高能级的电子离开金属所需外力做功最小，该最小值称为金属的逸出功。如图所示，温度相同的

A、B两种不同金属逸出功存在差异，处于最高能级的电子电势能不同，A、B金属接触后电子转移，导致

界面处积累正负电荷，稳定后形成接触电势差。已知A金属逸出功为町，B金属逸出功为WB,且

WA<%,电子电荷量为一e。

”.请判断界面处A、B金属电性正负；

、求接触电势差UAZi.

（3）同种金属两端由于温度差异也会产生电势差，可认为金属内部电子在高温处动能大，等效成电子受

到非静电力作用往低温处扩散。如图有一椭球形金属，M端温度为不，N端温度为石（7；>与），沿虚线方

向到M端距离为L的金属内部单个电子所受非静电力大小尸满足：尸="当，非静电力F沿虚线方向，

△L

比例系数〃为常数，与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小有关，电子电荷量为一e,求金属两端的电

势差UMN.

8.（2023•北京平谷•统考一模）在原子反应堆中抽动液态金属或在医疗器械中抽动血液等导电液体时，由

于不允许传动机械部分与这些液体相接触，常使用一种电磁泵。如图所示是一种液态金属电磁泵的简化结

构示意图，将装有液态金属、截面为矩形的导管的一部分水平置于匀强磁场中，当电流穿过液态金属时，

液态金属即被驱动。若输送液态金属的管道（用特殊陶瓷材料制成）截面长为“，宽为〃（不计管道壁的

厚度），正、负电极板镶嵌在管道两侧（两极板正对且与管内液态金属良好接触），电极板长为C,宽为

b-,正、负电极板间的液态金属恰好处在磁场区域内，该磁场的磁感应强度为B,方向与导管上、下表面垂

直；通过两电极板间液态金属的电流为/;液态金属在磁场驱动力的作用下，在导管中以恒定的速率n流

动。已知液态金属的电阻率为夕。

（I）导管截面上由磁场驱动力所形成的附加压强是多大？

（2）在加时间内，电流通过两电极板间液态金属所消耗的电能是多少？

（3）推动液态金属的驱动力实际上是通电金属液柱在磁场中受到的安培力，安培力推动液态金属做功，

使电能转化为机械能。我们知道，导体中的运动电荷受到的洛仑兹力在宏观上表现为安培力，而洛伦兹力

对运动电荷是不做功的，但是推动液态金属的安培力却做功了，这是为什么？请你对此做出合理的解释

（为了方便，可假设液态金属中的自由电荷为正电荷）。

9.（2023•北京石景山•统考一模）汤姆孙用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如

图所示，真空管内的阴极K发出的电子经加速电压UO加速后，穿过A'中心的小孔沿中心线的方向进

入到两块水平正对放置的平行极板P和D，间的区域，极板间距为4当P和PD极板间不加偏转电压时，

电子束打在荧光屏的中心O点处，形成一个亮点。不计电子从阴极K发出的初速度、所受重力和电子间的

相互作用，不考虑相对论效应。

（1）若测得电子穿过A'中心的小孔沿中心线。。方向匀速运动的速度%,求电子的比荷；

（2）己知P和D'极板水平方向的长度为乙，它们的右端到荧光屏中心。点的水平距离为右,当P和D，极

板间加上偏转电压U后，亮点偏离到。'点（0'与O点水平距离可忽略不计）。

①小明同学认为若测出。与。点的竖直距离/7,就可以求出电子的比荷。请通过分析和推理判断小明的观

点是否正确。

②在两极板P和D'间的区域再加上磁场，调节磁场的强弱和方向，通过分析电子在P和D'间的运动情况

可求出电子的速度。请说明确定电子速度的方法。

+

<~~A<----------------

VΛ

参考答案

1.（I）a.电场强度的大小E保持不变，b.见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】（1）a.由图2可得

c=4

又

联立可得

E=2=q=z

CdPLdP

d

若开关保持断开状态，可知电容器电荷量保持不变，当板间距"变化时，两极板间电场强度的大小E保持

不变；

b.当电容器A所带电荷量为夕时，可得每个极板产生的电场强度大小为

E,=—E=---

'22p

下极板对上极板电场力的大小为

q2

F=qE∖=τ

2p

（2）根据题意有

mg=F

又

2[

F=^-,q=cυ,C=PL

2pd

联立可得

可知2V对应的质量值机2满足

2

W2_2

2

miI

解得

m2=4，4=4×5g=20g

3V对应的质量值g满足

2

ZM3_3

2

mlI

解得

m3=9W1=9×5g=45g

如图所示

2gd

为了扩大该静电天平量程，可减小天平平衡时板间距离d。

（3）当两极板间所加电压为U时•，设上极板所受弹簧弹力的变化量为所受下极板的电场力为；稳

定时，根据受力平衡可得

AK=F2

根据胡克定律可得

∖Fi=k{da-d）

根据（1）b结论可得

F,=JQ

22p2d2

联立可得

k（d「d）=^~

可知该方程是关于d的三次方程，可通过图像法确定其解的个数，如图所示

在尸-〃坐标中分别作出方程左端AE=%3°-d）的图像（图中直线伉、打和伉）和右端K=尊的图像

（图中曲线。），两个图像的交点的个数反映了方程解的个数，即上极板平衡位置的个数N。

直线人与曲线”相交，有2个交点，表明方程有2个解，即上极板平衡位置的个数N=2；

直线与与曲线〃相切，有1个交点，表明方程有1个解，即上极板平衡位置的个数N=I;

直线电与曲线”相离，没有交点，表明方程没有实数解，即上极板平衡位置的个数N=0；

综上所述，上极板平衡位置的个数N=0、1、2。

2〃名耳

【详解】(1)小滑块运动到O点时，根据牛顿第二定律

F-mg=

(2)设A点距X轴的距离为儿，小滑块由A点运动到。点的过程中

M=机%

根据动能定理

小滑块由。点运动到达8点过程中，下落距离也为么，则

h^=2gt

根据动量定理

△%=mSt

∆p2=niv()

因此，Ap∣与Ap2的大小相等。

(3)如图所示，小滑块经过C点时受到重力、支持力作用，C点处的曲率半径为。

片

根据牛顿第二定律有

Fc-mgcosθ=m

从C点运动到。点过程中根据动能定理有

mghcΛmvl-^mvl

由于轨道曲线与平抛轨迹关于坐标原点。对称，所以在平抛轨迹上有对称点。，其曲率半径为夕，距X轴

的距离为％。小滑块运动到。点时速度为力,在。点时

mgcosθ=W-,cos^--

PVD

从。点运动到。点过程中根据动能定理有

联立可得

2〃?g£

3

(4+2g%c)2

3.a.

【详解】a.污水由管口流出后可近似认为做平抛运动，有

I-Vt

,12

h=2gr

得

b.排出污水的流量

Q=Sv

其中

S=-πd2

4

得

Q=-πld1

4

4.a∙Q=容bɪ-ɪ

B1Iκ2

【详解】a.流量计上下表面的电势差

U=Bcv

流量

Q=Sv

其中

S=be

得

b.要使浇灌半径由凡增大到&，则水由龙头喷出的速度

IL=旦

V2%

又因为

BL=IL

U2V2

所以

如=见

U2R2

浇灌半径为Rl和与的两个圆周上花盆的数量

马_4_

若要使每个花盆的浇水量相同，则

0L=Z1

QT2%

所以

ZL=Λ

τ24

(1-")NA

b、h=

2πn

【详解】（1）设航天员质量为机，所受侧壁对他的支持力N提供向心力，有

N=tnrar

同时

N—mg

解得

（2）a、设Ar时间内每台发动机喷射出的气体质量为气体相对地面速度为气体受到返回舱的作

用力为F,则有

Am-PSVAt

又

FΔ∕=Δ∕77V-O

解得

F=pSv1

由牛顿第三定律可知，气体对返回舱的作用力大小

返回舱在匀减速下落的过程中，根据牛顿第二定律有

AF,-Mg=Ma

根据运动学公式有

诏=IaH

解得

b、接收器单位时间单位面积接收的光子个数为

(IF)N

2πh2

故接收器单位时间接收光子的个数

(IF)Nδ

H=----⅛­∙A

2πh2

解得

V2πn

6.(1)迤K；(2)A=以”工；(3)不合理，见解析

2m2m

【详解】(1)当粒子在磁场中的轨道半径等于半圆金属盒半径R时,粒子具有最大速度，最大动能；由洛

伦兹力提供向心力可得

qvmB=m^

K

可得

_qBR

Vm-

m

粒子离开加速器时获得的最大动能为

、q2B2R2

Ekm=2加%二F—

2m

(2)设在f时间内离开加速器的带电粒子数为N,则粒子从回旋加速器输出时形成的等效电流为

1=3L

t

解得

2It

N=-

q

带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率为

Itq2B-R2

.二W=NEkmq2mq/N

ttt2m

(3)第〃次加速获得的速度为匕，根据动能定理可得

〃ɪ2

nqU=—mvn

第”+1次加速获得的速度为匕*1,根据动能定理可得

("+i)W=g∕⅛

根据

mv

r=——

qB

△”=2(小|-「)

联立可得

Ad=Z陋(G-C)

BNq

所以相邻轨迹间距M是不相等的，故该轨迹不合理。合理的轨迹，其间距会越来越小，示意图如图所示

引

导

器

μ

7.(1)mg"；(2)“.A金属侧带正电B金属侧带负电，AUAB=L(%-%)；(3)UMN=m

ee

【详解】(1)根据能量守恒定律可知，质量为，”的物体要从井底至井口，外力做功最小值为帆gH。

(2)界面处A金属电子处于比B金属电子更高的能级，电子从A侧向B侧转移，A金属侧带正电，B

金属侧带负电。

A金属两侧正负电荷在界面处激发的电场阻碍电子继续从A向B侧移动，最终达到平衡。设无穷远处电子

电势能为0,则初状态A侧电子能量为-叼，B侧为-WB，末状态A侧界面电势为外，B侧界面电势为

<PB,界面两侧A、B电子能量相等，有

一心+(―6念)=一网+(-6稣)

Ug=(PZ-(PB

联立可得A、B间电势差为

UAB=UWB-WA)

（3）由于胃与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小相关，在沿虚线方向取极短距离△£,则非静电

∆L

力做功为AW=FΔΔ,累加后可得

喉W）

根据电动势的定义式，可得

E=丝

-e

WF为非静电力做功。断路状态下MN两端电势差大小数值上等于电动势。联立以上两式，可得金属两端电

势差UMN为

UMN

8.(1)—；(2)∕αΔrf^+Bv∣;(3)见解析

b∖bc)

【详解】（1）通电液体在磁场中受到的安培力

F=BIa

则导管截面上由磁场驱动力所形成的附加压强