山东数学中考汇编-有关四边形的综合证明题

四边形的综合证明题：

1.(2019年滨州)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将48CE沿BE折叠，点C落

在A。边上的点F处，过点F作FG〃C。交BE于点G,连接CG.

(1)求证：四边形CEFG是菱形；

2.(2020年滨州)如图，过回ABeo对角线AC与80的交点E作两条互相垂直的直线，分

别交边AB、BC、CD、D4于点尸、M、Q、N.

(1)求证：APBEWAQDE；

(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证：四边形PMQN是菱形.

3.(2021年滨州)如图，矩形ABC。的对角线AC、8。相交于点O,BE//AC,AE//BD.

(1)求证：四边形AoBE是菱形；

(2)若∕AO8=60°,AC=4,求菱形AOBE的面积.

4.(2022年滨州)如图，菱形A8C。的边长为10,NABC=

60°,对角线AC、BO相交于点。，点E在对角线BO上，

连接4E,作NAE/=120°且边E尸与直线OC相交于点F.

(1)求菱形ABCQ的面积；

(2)求证：AE=EF.

5.（2017年滨州）如图，在团ABCD中，以点A为圆心，48长为半径画弧交AO于点尸，再

分别以点B、尸为圆心，大于工8尸的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延

2

长交8C于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABE尸的周长为16,ΛE=4√3,求Ne的大小.

6.（2017德州）如图1,在矩形纸片ABC。中，AB=3cm,AD^5cm,折叠纸片使B点落在

边AD上的E处，折痕为PQ,过点E作E尸〃AB交PQ于R连接8只

（I）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当点E在AO边上移动时，折痕的端点RQ也随之移动；

①当点。与点C重合时（如图2）,求菱形BFEP的边长；

②若限定P、。分别在边8A、BC上移动，求出点E在边A£）上移动的最大距离.

7.（2018德州）再读教材：

宽与长的比是叵工（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，

下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：MN=2）

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.

第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的A。处.

第四步，展平纸片，按照所得的点。折出。£,使DELND,则图④中就会出现黄金矩

形.

问题解决:

(1)图③中AB=（保留根号）;

（2）如图③，判断四边形BAoQ的形状，并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.

实际操作

（3）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表

示出来，并写出它的长和宽.

8.（2019德州）（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABC。的边上，且NBA。=60°,

请直接写出GC：EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2,求小）：GC：EB-.

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且A。：AB=AH-.AE=I:2,此时〃£＞：GC-

EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不

必写计算过程）；若无变化，请说明理由.

9∙（2018年东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在aABC中，点O在线段BC上，NBAo=30°,NOAC=75°,AO=3√3.

BO；CO=L3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD//AC,交AO的延长线于点D,通过构造aABO

就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=o,AB=.

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABC。中，对角线AC与B/）相交于点。，AC±AD,AO=3√3,Z

ABC=NACB=75°,B0：00=1：3,求OC的长.

10.（2019年东营）如图1,在RtA4BC中,ZB=90o,4B=4,BC=2,点。、E分别是

边BC、AC的中点，连接OE.将E绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当a=0°时，—=；

BD

②当a=180°时，—=.

BD

（2）拓展探究

试判断：当0。≤a<360o时，坐的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

（3）问题解决

△CCE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BO的长.

图1图2

11.(2020年东营)如图1,在等腰三角形ABC中，NA=I20°,AB=AC,点。、E分别

在边AB、AC上，AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为£>E、BE、BC的中点.

(1)观察猜想.

图1中，线段NM、NP的数量关系是,NMNP的大小为.

(2)探究证明

把aAQE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断AMNP

的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把AAOE绕点A在平面内自由旋转，若A£)=1,AB=3,请求出AMNP面积的最大值.

12.(2022年东营)和AAD/均为等边三角形，点E、。分别从点A,B同时出发,

以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点8、C停止.

(1)如图1,当点E、。分别与点A.B重合时,请判断:线段CD、EF的数量关系是一，

位置关系是;

(2)如图2,当点E、。不与点A,B重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，

请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点。运动到什么位置时，四边形CEFZ)的面积是AABC面积的一半，请直接写

出答案；此时，四边形BoEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

图1图2备用图

13.（2021∙荷泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在A8、CB上，且NAOM=NCOM

求证：BM=BN.

14.（2019•莉泽）如图，四边形ABCZ）是矩形.

（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交48于点E,交CD于点尸（不写作法，保留作

图痕迹）；

（2）若BC=4,ZfiAC=30°，求BE的长.

15.（2018•荷泽）如图，E是团ABCC的边AO的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F,

若C0=6,求BP的长.

16.（2021•荷泽）在矩形ABC。中，BC=«CD,点、E、尸分别是边A。、BC上的动点，

且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处.

（1）如图1,当EH与线段BC交于点P时，求证：PE=PF-,

（2）如图2,当点尸在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M,求证：点M在线段

EF的垂直平分线上；

（3）当AB=5时，在点E由点A移动到A。中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

HG

图1图2备用图

17.（2018•荷泽）问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以"矩形纸片的剪拼"为主题开展数学活动.如

图1,将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得至IJ4ABC和AACD.并且量得

AB=2cm,AC=4cm.

操作发现：

（1）将图1中的aACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转Na,使Na=N

BAC,得到如图2所示的AAUD,过点C作AC的平行线，与DC,的延长线交

于点E,则四边形ACEe的形状是.

（2）创新小组将图1中的aACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、

A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的AAUD,连接CC,取CU的中

点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG、CG,得到四边形ACGC,,

发现它是正方形，请你证明这个结论.

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将aABC沿着BD

方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A1点，A1C与BC相交于点H,

如图4所示，连接CC,,试求tanZCCH的值.

18.（2017•荷泽）正方形ABCr）的边长为6cm,点E、M分别是线段B。、AO上的动点，连

接AE并延长，交边BC于凡过M作MN垂足为“，交边AB于点、N.

图1图2

（1）如图1,若点M与点。重合，求证：AF=MN;

(2)如图2,若点M从点。出发，以lc"/S的速度沿D4向点A运动，同时点E从点B

出发，以√]cm∕s的速度沿BO向点。运动，运动时间为∕s.

①设BF=""?,求)，关于f的函数表达式；

②当BN=2AN时，连接汽M求尸N的长

19.(2020•荷泽)如图1,四边形ABCD的对角线AC,B。相交于点O,OA=OC,OB=

OD+CD.

(1)过点A作AE〃£>C交BO于点E,求证：AE=BE;

(2)如图2,将ZVtfiD沿AB翻折得到aABA

证：BD,//CD-,

AD,//BC,求证：CD2^2OD∙

20.(2019•荷泽)如图，AABC和AAOE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=∕DAE

=90°.

(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点尸，求证：BP±CD；

(2)如图2,把E绕点A顺时针旋转，当点。落在AB上时，连接BE,CD,CD

BCB

图1图2

21.（2020济南）

如图，在团ABCQ中，对角线AC,B。相交于点O,过点O的直线分别交AO,BC于点E,

F.求证：AE=CF.

22.（2019济南）

如图，在回ABC。中，E、尸分别是4。和BC上的点，NDAF=NBCE.求证：BF=DE.

23.（2018济南）

如图，在回ABCD中，连接BD,E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点,

且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证：OB=OD.

24.（2020济南）

如图，在国ABCD中，对角线AC,8。相交于点O,过点O的直线分别交AO,BC于点E,

F.求证：AE=CF.

BC

25.（2019济南）

如图，在回ABCQ中，E、F分别是AO和Be上的点，ZDAF=ZBCE.求证：BF=DE.

26.（2018济南）

如图，在团ABCD中，连接BD,E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点,

且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证：OB=OD.

27.（11分）如图1,在矩形4交9中，四=8,JZ?=10,£是W边上一点，连接4反将矩形

ABeD沿折叠，顶点〃恰好落在8C边上点F处,延长AE交a'的延长线于点G.

（1）求线段位的长；

（2）如图2,M,N分别是线段4G,加上的动点（与端点不重合），且/〃蛆三/的M,设

AM=x,DN=y.

①写出y关于X的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M使△加邠是等腰三角形？若存在，请求出X的值；若不存在，请

说明理由.

28.如图，在菱形ABCD中，AB=AC,点E、F、G分别在边BC、CD±,BE=CG,AF平

分/EAG,点H是线段AF上一动点（与点A不重合）.

⑴求证:△AEH^∆AGH;

（2）当AB=12,BE=4时：

①求△DGH周长的最小值；

②若点。是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三

角形的面积与四边形的面积比为1:3.若存在，请求出篝的值；若不存在，请说明理由.

AF

29.（2019年聊城）在菱形ABC。中，点尸是BC边上一点，连接AP,点E,F是AP上的

两点，连接DE,BF,使得NAEZ）=NABC,NABF=NBPF.

求证：（1）

(2)DE=BF+EF.

30.（2020年聊城）如图，在回48CD中，E为BC的中点，连接4E并延长交。C的延长线

于点F,连接B凡AC,若AD=AF,求证：四边形ABFC是矩形.

31.（2021年聊城）如图，在四边形ABCf）中，AC与BO相交于点O,且AO=Co,点E

在BD上,满足NEAo=NOCO.

（1）求证：四边形4EC。是平行四边形；

(2)AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECZ)的面积.

32.（2022年聊城）如图，二ABC中，点。是AB上一点，点E是AC的中点,过点C作CR〃A3,

交OE的延长线于点凡

（2）连接4F,CO.如果点。是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，ADCF

是菱形，证明你的结论.

33.（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（OyaV360。）,得到矩形

AEFG.

（1）如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD;

（2）当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

34.（2020年临沂）如图，菱形ABCO的边长为1,NABC=60。，点E是边AB上任意一

点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F,G,AE，族的中点分别

为M,N.

(1)求证：AF=EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）当点E在AB上运动时，NCEF的大小是否变化？为什么？

35.（2022年临沂）已知比'是等边三角形，点反。关于直线4C对称，连接力〃，CD.

（1）求证：四边形力腼是菱形；

（2）在线段/C上任取一点一（端点除外），连接Λ9.将线段如绕点P逆时针旋转，使

点〃落在胡延长线上的点0处.请探究：当点户在线段〃'上的位置发生变化时，ZDPQ

的大小是否发生变化？说明理由.

（3）在满足（2）的条件下，探究线段/0与"之间的数量关系，并加以证明.

36.（2021年临沂）如图，已知正方形ABCf）,点E是BC边上一点，将AABE沿直线AE

折叠，点B落在尸处，连接B尸并延长，与ND4F的

平分线相交于点H,与AE,Cz）分别相交于点G,M,

连接HC.

（1）求证：AG=GH;

（2）若AB=3,BE=I,求点。到直线8”的距离;

（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时,

NBHC的大小是否变化？为什么？

37..（临沂2019）如图，在正方形ABC。中，E是OC边上一点，（与。、C不重合），连接

AE,将AADE沿AE所在的直线折叠得到AAFE,延长E尸交BC于G,连接AG,作G”

LAG,与AE的延长线交于点H,连接C”.显然AE是NDAF的平分线，EA是NDEF

的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180。的角平分线），

并说明理由.

38.（2022♦青岛）如图，在四边形ABeQ中，AB〃CD,点E,F在对角线Bn上，BE=EF

=FD,ZBAF^ZDCE=90°.

（1）求证：ZVlB尸岭Z∖Cf>E;

（2）连接AE,CF,已知①（从以下两个条件中选择

一个作为已知，填写序号），

请判断四边形4EC尸的形状，并证明你的结论.

条件①：/ABD=30°；

条件②：AB=BC.

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答,

按第一个解答计分）

39.（2017年青岛市）（本小题满分8分）

已知：如图，在菱形ABCD.中，点E,0,F分

别是边AB,AC,AD的中点，连接CEsCF.0F.

（1）求证：△BCE^ΔDCF;

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由.

40.（2019年青岛市）（12分）已知：如图，在四边形ABCz）中，AB//CD,NACB=90°,

AB=IOcm,BC=Scm,0。垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速

度为IaRs；同时，点Q从点。出发，沿DC方向匀速运动，速度为Ic/n/s；当一个点停

止运动，另一个点也停止运动.过点P作PEVAB,交BC于点E,过点Q作QF〃AC,

分别交AD,于点F,G.连接0尸，EG.设运动时间为f（s）（0<fV5）,解答下列

问题：

（1）当f为何值时，点E在NBAC的平分线上？

（2）设四边形尸EGO的面积为S（Cm2）,求S与f的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻K使四边形PEGo的面积最大？若存在，求出

f的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接。E,OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻3使OELOQ?若存在，求出

r的值；若不存在，请说明理由.

41.（2021∙青岛）如图，在团ABCo中，E为C。边的中点，连接BE并延长，交A。的延长

线于点尸，延长EQ至点G,使。G=OE,分别连接AE,AG,FG.

（1）求证：ABCEWAFDE;

（2）当BF平分NABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由.

D

G1

42.（2020•青岛）如图，在ElABCO中，对角线4C与B力相交于点。，点E,尸分别在BO

和。8的延长线上，且DE=BF,连接CF.

(1)求证：ΔADE^∆CβFi

（2）连接4F,CE.当BD平分/ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理

43.（2018年青岛市）（8分）己知：如图，平行四边形A8CZ）,对角线AC与80相交于点

E,点G为AO的中点，连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接BD

(I)求证：AB=AF-,

（2）若AG=A8,ZBCD=120°,判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.

44.（2022•日照）如图1,Z∖4BC是等腰直角三角形，AC=8C=4,NC=90°,M,N分

别是边AC,BC上的点，以CM,CV为邻边作矩形PMc7V,交AB于E,F.设CM=α,

CN=b,若ab=8.

(1)判断由线段AE,EF,8尸组成的三角形的形状，并说明理由;

(2)①当”=匕时，求NECF的度数；

②当αW人时，①中的结论是否成立？并说明理由.

A

Sl备用图

45.(2

021•日照)问题背景:

如图1,在矩形ABCC中，Aβ=2√3,/480=30°,点E是边AB的中点，过点E作

EFJLAB交BD于点F.

实验探究:

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的48EF绕点3按逆时针方向旋转90°,

如图2所示,得到结论:①坐=;②直线AE与DF所夹锐角的度数为

DF

(2)小王同学继续将48EF绕点8按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探

究S)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸:

在以上探究中，当A