2023年山东省聊城市高二年级下册学期期末数学试题（含解析答案）

2023-2022学年度第二学期期末教学质量抽测

高二数学真题

一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一

项符合题目要求的.

1.设集合4={x|x21},5=,假设Nc8={x|lWxW4},则小的值为（）

A.1B.2C.4D.6

（答案）C

（解析）

（分析）依据集合交集的性质，结合一元二次方程的解法分类商量进行求解即可.

2

（详解）当〃2=0时，B=[x\x<0}={0}f显然/口5=0,不符合题意，

当相>0时，B=^x\x2=[0,7??],因为4cB={x|l4x«4},

所以必有机=4,

2

当机<0时，B^{x\x-fnx<0]=[m,0],显然4（"|6=0,不符合题意，

应选：C

2.第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送

给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（〕

A.6B,9C.12D.24

（答案）A

（解析）

（分析）因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分两种情况抽取即可.

（详解）因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：

第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有C；=3种.

第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有C；=3种.共计6种赠送方案.

应选：A.

3.已知/（x）的图像如下图，则/（x）的解析式可能为（）

BV72(ev-e-JC)

/、(ev+e-x)ln|x|

D-/W=-~7^

（答案）c

（解析）

（分析）首先推断函数的奇偶性，即可排解A、D,再利用特别值排解B.

（详解）解：由图可知函数的定义域为｛x|xw。｝,且函数图象关于原点对称，即为奇函数,

令g(x)=e*+eT,则g(-x)=e-*+e*=g(x),故g(x)为偶函数,

令阳(x)=e*-e--v,则加(-x)=eT-e“,故机(x)为奇函数,

令〃(x)=ln|x|,则/?(—x)=ln卜M=ln|x|=〃(x),故力(x)为偶函数,

ex+e-')ln|x|ln|x|

、/(x)=

所以/(x)=rr均为偶函数,故A、D错误;

22(e+e-)

故”加黑）、小）=7咽均为奇函数'

.InIxl/、ln|2|In2

对z于/⑴»/⑵=故B错误;

应选：C

4.某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第

34

2天去甲餐厅的概率为w；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为w，则小张第2天去乙餐

厅的概率为（）

1133

A.—B.-C.一D.—

105510

（答案）D

（解析）

（分析）依据题意结合全概率公式可直接求得.

（详解）设4="第1天去甲餐厅用餐"，4="第1天去乙餐厅用餐“，4=”第2天去乙餐厅用

餐”，

依据题意得尸（4）=/（4）=。5,P（⑷4）=0.4,。（川片）=0.2,

由全概率公式，得P（4）=P（4）P（，2l4）+尸（4）P（4l4）=0.5X0.4+0.5X0.2=0.3,

因此，小张第2天去乙餐厅用餐的概率为0.3.

应选：D.

5.1工+公2）（aeR）的展开式的常数项为?，则展开式中含d项的系数为（）

555-515-15

A.--B.—C.--或一D.---或一

222288

（答案）C

（解析）

（分析）首先写出展开式的通项，令3厂-6=0,求出乙即可求出展开式的常数项，从而求出口再代入

计算可得；

（详解）解：二项式（工+ax?）展开式的通项为*7=c（L）"J=C产$.优,

令3r-6=0,解得尸=2,所以展开式的常数项为4=C"°“2=^,解得。=土;，

令3-6=3,解得/・=3,所以展开式中/项为北=（3>31=2043工3,

当a=工时/项的系数为当。=一，时/项的系数为一9.

2222

应选：C

6.甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第

1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的全部可能情况共有（）

A.30种B.54种C.84种D.120种

（答案）B

（解析）

（分析）依据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可

（详解）依据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则全部排列的情况有A；A；A；=54

应选：B

7.已知随机变量X,y,x〜丫〜且z）（x）=£（y）,又

P（y<a-l）+P（y<3-2a）=l,则实数。=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

（答案）A

（解析）

（分析）利用二项分布的方差计算公式得出£（y）,即〃的值，依据正态分布的对称性，可得实数”.

(详解)由题意，Z)(^)=4x-x^l--^|=i=E(y),则〃=i,

又P(YWa—1)+0(y43-2a)=l,则0一1+3-2。=2,解得。=0

应选：A

.8b=---.7

8.已知a=log71，7,c=bg<则C的大小关系为()

758O1In—；

5

A.h<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<C

(答案)B

(解析)

(分析)设/(x)=lnx-(l—g(x)=ln:+l)j；5(x>]),利用导数可求得了(x)和g(x)在

(L+8)上的单调性，由单调性得/1|)>

/(1)=0,g(6)>g(7),由此可得生仇c的大小关系.

,8,5,7

8n738175

(详解)由题意知：=log—=——,1k5

7，=7=7'6

s5ln-8In-In-53ln-

5555

设/(x)=lnx-(l-J,则/(x)=g_5=^^,

当x>l时,/'(x)〉0,.•J(x)在(l,+oo)上单调递增,

f—=即In—〉1—,又Ln—〉0,-~~y>——,即b<a；

⑴585In-ln-

55

设g（上需展（

x〉1），则

lnx-ln5ln(x+l)-ln5

x+]一xxlnx_(x+l)ln(x+l)_ln5：

(lnx-ln5)12x(x+l)(lnx-ln5)'

令//(x)=xlnx(x>1),则//(x)=lnx+1,

・・・当x>l时,l(x)>0,./(x)在(l,+oo)上单调递增,

，当x>l时，xlnx<(x+l)ln(x+l),.,.g,(x)<0,

g（x）在（l,+oo）上单调递减，.•・g（6）>g（7）,

,78

In7-ln5In8-ln555

即n--------->---------,-7->—,即a<c；

in6-In5In7-in5jn6卜7

55

综上所述：b<a<c.

应选：B.

（点睛）关键点点睛：此题考查函数值大小关系的比拟问题，解题关键是将a,b,c变形后，转化为函数的

不同函数值大小关系比拟问题，通过构造函数的方法，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.

二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.

/、[l-2x,x<0,//八

9.已知/（x）=,假设/（/（。））=1，则实数〃的值可以为（）

inx,JC>u,

1—e1

A.——B.-C.1D.ee

22

（答案）ACD

（解析）

【分析）依据分段函数，分别以0<a<l,a>l商量，求解方程可得答案.

(详解)解：因为/(X)='；：；：：；°’，/(/(。))=1，所以

当.40时，〃a)=l-2a>0,所以/(/⑷)=/(l—2a)=ln(l—2a)=1,

[—e]—e

所以l-2a=e,解得a=——<0,所以a=——满足；

22

当0<aWl时，/(a)=lna<0,所以/(/(a))=/(lna)=l-21na=l,

所以Ina=0,解得a=l,满足题意；

当a>l时，/(a)=lna>0,所以/(/(a))=/(lna)=ln(lna)=l,

所以lna=e,解得a=ee,满足题意；

应选：ACD.

10.对具有相关关系的两个变量x和V进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据

(x,.，X)(/=1,2,•••,«),则以下说法正确的选项是()

A.假设两变量x、卜具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B.变量x、J的线性相关系数"的绝对值越接近1，则两个变量J与x的线性相关程度越强

C.用残差平方和来比拟两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

—n,)9

D.用火2=1—宁--------来刻画回归模型的拟合效果时，假设全部样本点都落在一条斜率为非零的直线

Z")

/=1

上，则尺2的值为1

(答案)BCD

(解析)

(分析)利用回归直线的相关知识可推断A选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可推断B选项；利

用残差平方和与模型的拟合效果的关系可推断C选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可推断

D选项.

(详解)对于A选项，假设两变量x、y具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不肯定过样本

点，A错；

对于B选项，假设变量X、夕的线性相关系数/•的绝对值越接近1,则两个变量夕与x的线性相关程度越

强，B对；

对于C选项，用残差平方和来比拟两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C

对；

2

£（z-；）

对于D选项，用/?2=1-々---------来刻画回归模型的拟合效果时，假设全部样本点都落在一条斜率为

Z（x,--x）2

;=1

非零的直线上，则心的值为1,D对•.

应选：BCD.

11.已知实数加，〃满足0<〃<团<1,则以下结论正确的选项是（）

n〃+111

A.—<----B.m+—>〃+—

m+1mn

crn">n"'D.logmn<lognm

（答案）AC

（解析）

（分析）利用作差法比拟大小，可推断A,B,利用指数函数和幕函数的单调性，可推断C;依据对数函数的单

调性，可推断D.

n72+1n-mnM+1

（详解）由0<〃<加<1知，n-m<0，故-------------;----—<----------7，A正确；

m加+1加（加+1）m+1

由0<〃<加<1得>0,1——<0,所以加H----—1=（m—1----<0,即

mnmynJymnJ

,故B错误；

mn

因为指数函数y=m、为单调减函数，故〃2〃>〃4，

由事函数^=工"为单调增函数知〃，故加〃>〃小，故C正确；

依据，0<〃<m<1对数函数^=108,“北歹=108〃%为单调减函数，

故10gzMn>log,”m=l=logwn>logMm，故D错误，

应选：AC

12.一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（）

13

A.假设从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为丁

25

Q

B.假设从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为不

Q1

C.假设从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为=

D.假设从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为:

（答案）ABD

（解析）

23

（分析）从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为分别求出其概率可推断A、C；

由古典概型的概率可推断B；由条件概率的公式可推断D.

23

（详解）从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为丁丁取到的球颜色相同的概率

223313

为一x—+—x—=—,所以A正确；

555525

从盒中随机不放回任取2个球，则有C；0=45种取法，取到的球颜色不同有C：C；=24种，所以，颜色不相

同的概率为丁,所以B正确；

4515

23

从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：所以其中有白球的概率为

1——=1----=---，所以C不正确；

[5）625625

从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件£,另一个也是白球为事件尸，则

0（咋”需=餐1R得j所以口正确

应选：ABD.

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.

13.某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币〃次，假设正面向上的次数为0或〃，则

获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%,则„的最小值为.

（答案）8

（解析）

（分析）先表示出顾客获得一等奖的概率，依据题意列出不等式即可求解.

（详解）由题，抛掷一枚硬币正面向上的概率为

所以抛掷一枚硬币〃次，正面向上的次数为0的概率为（1-；）,正面向上的次数为〃的概率为

3

所以顾客获得一等奖的概率为(g)+(g、1

产,

由题上=1%=击，则2"-七100,

因为〃eN*，则可解得〃—127,即〃28,

所以〃的最小值为8.

故答案为：8.

14.同时满足性质:①/(X)-/(一力=0；②/(刈)=/(x)/(y)；③当xe(O,+8)时，/(x)<0

的函数/(x)的一个解析式为.

(答案)f(x)=-x2(答案不唯一)

(解析)

(分析)依据性质依次得出结论可写出.

(详解)由①=BP/(%)=/(-%)»则/(x)是偶函数,

由②〃个)=〃x)/(，)，可得/(x)可以是幕的形式，

由③当xe(0,+oo)时，/'(x)<0可得/(x)在(O,+e)单调递减,

综上，可得/(x)的一个解析式可以为/(x)=—%2.

故答案为：/(力=一/(答案不唯一).

15.数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6,称这种正整数为“桔样数”.在全部

的三位正整数中，“桔样数”的个数为.

(答案)12

(解析)

(分析)商量百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“桔祥数”，即可得结果.

(详解)当百位为6,符合要求的“桔祥数”有600；

当百位为5,符合要求的“桔祥数”有510；

当百位为4,符合要求的“桔祥数”有420、402；

当百位为3,符合要求的“桔祥数”有330、312；

当百位为2,符合要求的“桔祥数”有240、204、222；

当百位为1,符合要求的“桔祥数”有150、114、132；

综上，共有12个“桔祥数”.

故答案为：12

“、f|logx|,x>0,/、“、

16.已知函数/(X=।29,,八假设函数g(x)=/(x)一机有四个零点，从小到大依次为a,b,

[%*■+4x+4,x<0,

c,d,则*-(a+b)c的取值范围为.

(答案)4,?

_4_

(解析)

(分析)画出图象，依据二次函数的对称性可得a+6=-4,结合对数的运算可得dc=l,进而化简原式

为y=』+4c,再依据图象分析得ce上,11,利用根本不等式结合单调性与最值求解即可

cL16)

(详解)如图，依据题意有a+b=2x(—2)=-4,-log2c=log?d,即log2"c=0,解得dc=l,故

又()当一时有=工，故

——(a+b)c=1+4c./0=4,log2c=4cce•故

cdc16

y=L+4cN2、L4c=4,当且仅当』=4c,即c时取等号.又当c=1>时，少=16+工=竺；当

cNcc21644

c=l时，丁=1+4=5<?，故」7-(。+6)。的取值范围为4,春

故答案为：4彳

四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3X

17.对于函数/（》）=]_3乂+1(67GR)，

（1）假设函数/（x）为奇函数，求a的值;

5

（2）假设（5一/17

|的展开式的各二项式系数的和为3a+2,试解不等式/（x）47•

（答案）ma

(2){x|x>l}

（解析）

（分析）（1）依据奇函数定义得解；（2）依据二项式的展开式的各二项式项系数和计算a,解不等式即

可.

（详解）解:⑴因为函数/（X）为奇函数，所以因（X）+/（T）=O.

V3T3*+1

则a—--=0,即。―匚1=0,所以a=l.

3A+13一、+13r+l

5

(2)由I的展开式的各二项式项系数和为3a+2,得3a+2=32,

所以a=10.

।17„3、、3

由/(刀)4二，得z----->—则3*23，所以xNL

-V743X+14

17

故/,（同W彳的解集为3》》1}.

18.网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，4PP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生

活方法，随之电信网络诈骗犯zui形势也非常严峻.自“国家反诈中心推出后，某地区采取多措并举

的推广方法，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时

间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.

X（个）1234567

N（件）891888351220200138112

[1]依据以上数据，推断》=以+6与尸?+“a,6eR）哪一个适宜作为回归方程模型？依据推断结果,

求出y关于x的回归方程；

[2〕分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

1777

参考数据（其中乙==，2X^=7212,Z4B=1586,7=0.37，^Z,2-7F2=0.55.

Xi/=1/=lZ=1

参考公式：对于一组数据（内,乂）,（》2/2），（工3，%）,…,（X“,州），其回归直线/=R+A的斜率和截距的最

〃__

Zx，»-〃xy_

小二乘估量公式分别为：/；=—---------,a^y-bx.

V12TJ

Z^xi~nx

z=l

（答案）（1）9=12”+30

x

12）两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下

（解析）

a-

（分析）（1）对于非线性回归方程先通过换元法将y=-+/>变化为线性回归方程夕=4+3

X

再代入参考数据得到5=1000,a=30

（2）将x=24代入回归方程£=—+30得到夕a71.7,

x

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

（小问1详解）

由表中数据可得夕=巴+6更适宜.

X

歹=；（891+888+351+220+200+138+112）=400,

1八

令/=一，设y关于f的线性回归方程为/=4+&,

X

77y

1586-7x0.37x400

贝向T---------=1000,

少.7尸0.55

；=1

则疗=400—1000x0.37=30,

故y关于x的回归方程为力=幽+30

X

（小问2详解）

由回归方程/=幽+30可知，随x的增大，y逐渐减少,

X

当x=24时，j）=1^2+30«71.7<75,

'24

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

19.已知函数一ax+MaeR),在x=0处切线的斜率为-2.

(1)求“的值及/(x)的极小值：

(2)商量方程/(》)=加(加€对的实数解的个数.

(答案)(1)a=2,极小值为-'；(2)答案见解析.

(解析)

(分析)(1)由函数在X=0处切线的斜率为-2,可得/'(0)=-2,解方程得出。的值；对函数求导，列

表格推断出单调性，进而可得函数的极小值；

(2)由(1)的单调性以及极限趋势，分类商量用的范围，可得实数解的个数.

(详解)解：(1)f'(x)=x2+x-a,

因为在x=0处切线的斜率为-2,所以/'(0)=-2,则a=2.

/,(x)=x2+x-2=(x+2)(x-l),令/'(x)=0,解得x=-2或x=l,

当x变化时，/'(x),/(x)变化情况如下：

X(-8,-2)-2(-2,1)1(L+8)

/'(X)+0—0—

13

/(X)

单调递增T单调递减~6单调递增

故/(x)的极小值为/(1)=一，.

6

(2)由⑴知，/(X)在(—8,—2)上单调递增，上单调递减，(1,+8)上单调递增.当》3+8

时，f(x)->+00；当x->-00时，/(x)->-00.

当用>工■或加<一;时，方程/(x)=加有1个实数解；

36

131

当加=K或〃?=一工时，方程=有2个实数解

36

I13

当一：<〃?〈二时，方程/(X)有3个实数解.

20.某农发企业方案开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让

人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，全部收获归认领者全

部.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，局部统计数据如下表：

参与意愿

性别不情愿参合计

情愿参叮

与

男性4860

女性18

合计100

山请将上述2x2列联表补充完整，试依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析男性是否比女性更情愿

参与活动；

[2]为了更详细的了解情况，在100份有效问卷中抽取不情愿参与活动的人员假设千人组成观摩小组，观摩

小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X,求X

的分布列及数学期望.

附”=国洋焉”

n-a+b+c+d.

下表给出了％2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a().10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

（答案）（1）列联表答案见解析，认为男性比女性更情愿参与活动

（2）分布列答案见解析，数学期望：y

（解析）

（分析）（1）依据数据完善列联表，再计算卡方进行独立性检验即可：

（2）依据超儿何分布的分布列求解概率与分布列，再依据数学期望公式求解即可

（小问1详解）

列联表补充完整如下

性别参与意愿合计

不情愿参

情愿参与

与

男性481260

女性221840

合计7030100

零假设为“0：参与意愿与性别无关联，

依据列联表的数据可得，％2=100（48x18-22x12）-=史=7.143>6.635=/oi

60x40x70x307001

对比附表，依据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断“。不成立，所以认为参与意愿与性别有关

联，此推断犯错的概率不大于0.01.

（小问2详解）

X的可能取值为0,1,2,3,

1一C；c；12

p(x=o)=Cc1P(X=」)=

c3-351C-35

C2cl18C/4

P(X=2)=二=3)=

3=35,P（X=35

JcC；

所以X的分布列为:

X0123

112184

p

35353535

412

依据超几何分步的数学期望有E（X）=,X3=3.

21.某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢犍子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定

点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得

分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金伙伴甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为四，乙每次

投中的概率为02,假设甲，乙两人是否投中互不影响.

21

[1]假设Pi=§,。2=万，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率;

[2]假设P|+P2=l,求甲，乙在一轮游戏中为“黄金伙伴”的概率的最大值.

（答案）（1）—

36

⑵