2023年高考数学三轮复习练02三角函数与解三角形大题压轴练（解析版）

【一专三练】

专题02三角函数与解三角形大题压轴练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

1.（2022秋•广东汕头•高三统考期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分

别为4、b、C9已知4=Z?COSA-48S8.

⑴求证：8=2A；

（2）求"的取值范围.

a

【答案】（1）证明过程见解析.

（2）^V2+l,ʌ/ɜ+2）

【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到SinA=Sin（B-A）,结合角的范围，得到

B=2A;

（2）利用正弦定理得至IJ"£=4（COSA+」1—3,根据三角形为锐角三角形，得到

Ql4）4

e

A（MI,M母野从而求出取值范围.

【详解】(1)a=bcosA-acosBf

山正弦定理得：sinA=sinBcosΛ-sinAcosB,

由积化和差公式可得:

SinA=gsin(8+A)+；Sin(B-A)-gsin(A+B)-∙∣sin(A-B)=Jsin(B-A)-Jsin(A-B)

因为gsin(A-B)=-gsin(B-A),

所以SinA=Sin(B-A),

因为三角形48C为锐角三角形，故ABe（Ow

所以B-Ae

故A=8—A,即5=2A；

(2)ill(1)知：8=2A,

由正弦定理得:

⅛+c_sinβ+sinC_sin2A÷sin(B+A)_sin2Λ+sin3A

=~=,

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(2A+Λ)=sin2ΛcosA+cos2AsinΛ=2sinΛcos2Λ+cos2AsinΛ,

因为SinAW0,

b+c2sinAcosΛ+2sinAcos2A+cos2AsinA-4-

所ιrr以κl----=-----------------------------------=2cosA+2cos-2A4+cos2A

asinA

=2COSA+2COS2A+2COS2A-I=4COS2A+2COSA-I=4∣COSA+ɪ∣--,

I4j4

由B=2Ae(θ,])得：Ae(O

由C=Tr-A-8=τt-34e(θ,5),解得：

故"+c=«cosA+；)在c°sAe(日上单调递增，

所以也£=4CoS2A+2cosA-lj4xL√Σ-l,4χ3+√J-l),

a<24J

B|J—∈(√2+l,^+2).

2.(2022•浙江•模拟预测)记；ABC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,已知

cosΛ.

-------=lt+sιnAa.

tanB

(1)若A=B,求C；

6fsinB+⅛sinA

⑵求的取值范围.

2。COSB

【答案】（I）C=T

⑵(o,ι)

Tl2元

【分析】（1）先由题给条件求得A=B=J,进而求得C=4;

O3

TTTT

（2）先利用正弦定理和题给条件求得A=<-2B和0<8<:，再构造函数

24

1J2,,,≈,,⅛,>,«sinB+hsinΛ_,⅛→-,÷ι

y=2t--,——</<1,求得此函数li值域uιπ即n为..---------的取值氾围

t226COSB

【详解】（1）由A=B,警=l+sinA

tanB

可得<°sA=1+sin4,则8S2Λ=(l+sinA)sinΛ

tanA''

整理得2sir?A+sinA-I=O,解之得SinA=；或SinA=T

又O<A<[,则4=g则B=]则C=M

(2)4,B为ABC的内角，则l+sinA>0

则由岩=l+sinA,可得当>0,则AB均为锐角

tanBtanB

2A.2A1A

ΛcVoOsΛ~----Sl∏~——1-tan

nCoSA22πA

tanB=----------=-------亍------=---------T=tan

I+sinAz.AAA2

(sin2+cos-)21l÷tan

2

,ʌ_71ʌItΛTt-,_7Γ土0<B<工

又0<B<彳,0<7-<;;,则r1lB=:

247274424

π

则A=∙∣一28,则SinA=Sin—28]=cos28

2

fzsinB+⅛sinA_2。SinA_2bcos2B_2cos2B-I

则=2CoSB---------

2。COSB2bcosB2bcosBcosBCoSB

令t=cosBf0<β<πj,则<f<1

42

1

又=在单调递增,=0,/(D=1

可得0<2r-<l,则2cos8-f1的取值范围为（0,1）,

6zsinB+⅛sinA

则的取值范围为（（U）

2。COS5

3（2023•浙江•统考一模）记AABC的内角4,B,C的对边分别为m3c,已知

C-A

sin

a+b2

a+cC+A,

2

(1)若A=J,求3；

4

(2)求£+£的取值范围.

ab

【答案】(1)8=已

(2)[2√3,-KO]

【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式马倍角公式推得

SinA=-2CoSCSinA,从而得到C=7,由此得解;

（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.

【详解】(1)由正弦定理得"=SUi:+s∣n,

a-∖-csinΛ+sinC

.C-A.C-A

sin-------sin-------

又色lW1=_2_LL-sinA+sinB

；所以;2

乂α+c.C+A,C+A

sin-------sin——

22

y。Sj

因为SinA+sinC=2sin

22

.C-A

sin-------

C+AC-A2=2cos^sin^

所以SinA+sin8=2sin-----------COS------------=sin(C-A),

,C+A

22sin—22

2

因为sin8=sin(π-B)=Sin(C+A),

月f以SinA=Sin(C-A)—Sin(C+A)=-2cosCsinA,

因为0vAv7i,所以SinA>0,故COSC=-g,

2兀

又0<C<兀，所以C=7

TrTt

因为所以B=兀一A-C=五.

9yr

(2)由(1)得C=?

所以由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

22

记T，+£=£^c(tz+Z?)_abYabQ

,∖)∖∖∖τ2=-—+—+1—+—+2，

ababababba){baJ

因为α>O,b>O,所以2+益2化b£a=2,

abXab

当且仅当沁，即一时，等号成立，即泊≥2,

⅛T2≥3×4=12.则T≥2√L

所以f+f≥2G,即E+fe[2√j,+∞).

ababl,

4∙(2023∙浙江金华•浙江金华第一中学校考模拟预测)记ABC的内角48,C的对边分

别为α,"c.已知si∏A=CoSB=tanC.

⑴求2A+C；

2

(2)证明：c>b>-a.

【答案】⑴申；

(2)证明见解析.

【分析】(I)根据SinA=COS3,由诱导公式逆推可得A=彳TT±B,再由A+B≠TT],可得

JT

A=→B,再代入2A+C计算即可；

(3冗∖CC)q2A

(2)根据(1)可得SinA=tanC=tan-2A=-,再通过二倍角公式化简计算

Iτ2r)sin2A7

可得2cos3A+2cos"-2cosA-1=0,换元后构造新函数

/(X)=2X3+2X2-2X-1(-1<X<0),求解导函数从而判断函数单调性，从而可得

--<cosA<再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正

弦定理边角互化即可证明.

TT

【详解】(1)由SinA=COS3,得A=耳±3,由题意可知，tanC存在，

所以即4+3*5,所以A=]+8,

所以2A+C=2A+(n-A-3)=2A+兀-A-(A-∙∣

/..Λ厂(3πCA)cos2A

(2)∣∣jSinA=ta∏C=tan-----2A=---------,

I2)sin2A

L.sin2A2sin2AcosA2∩-cos^A)cosA

cos2Λ2COS2A-I2COS~A-∖

故2cos'Λ÷2COS2A-2COSΛ-1=O，

⅜cosA=x(-l<%<0),则f(%)=2X3+2X2-2X-1(-1<X<0),

∕,(X)=6X2+4X-2=2(3X-1)(X+1),

当xv—1时，/^x)>0;当T<χ<0时，Γ(x)<0ζ

所以函数/(x)在(F,T)上单调递增，在(T,0)上单调递减,

又力升OJ212

<0,所以一2<cosA<g,

进而—<sinA=cosB=tanC<避ɪ,-ɪ<sinB<-∣,

2525

TT

可得B<d<C'所以—

ɪ-bsinBsinB_2Λ∕212匹入、2

而一=----=-----=tan>-------->一，^b>-a.

asi∏AcosB2155

2

所以

【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得

2COS'Z+2COS2A-2coSAT=O,然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性,

从而得COSA的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合

正弦定理边角互化证明边的关系.

5.（2022秋•江苏泰州•高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）ABC的内角A,B,C的

对边分别为4,b,c.已知（b-c）sinB=Ain（A-C）

⑴求角A；

⑵若A3C为锐角三角形，且ABC的面积为S,求二+“+^的取值范围.

S

【答案】（I）A=?

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到CoSA=再结合

Ae（Oz）,即可得到A；

⑵根据A咤和三角形面积公式将正手整理为竽序）竽，再根据锐

角三角形和正弦定理得到2的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.

C

【详解】(1)(〃一C)SinB=Z?Sin(A—C),所以(b—c)SinB=3(SinACOSe-COSCSinC),

uri∖∣[271C6("+⅛^^-C2b2+C222

Wrvλb~-be=abcosC-b1ccosAλ=---------------------------------a-C,

22

22

又/=⅛-I-C-2⅛CCOSA,所以COSA=1,

因为A∈(0,4),所以A=?.

(2)由(I)可知S=JbCSinA=,a2=h2+c2-be.

24

22222Λ

则。2+〃+。2_4且a+b+c-4√32⅛+2C-⅛c_8√3<⅛+C∣4√3

+

~~S―"ʒbe—ʒbe~~∣kc⅛J—^7

o<c<-

2TTTT

因为ABC锐角三角形，所以《整理得9<c<g∙

八24「乃62

0<C<—

32

因'为b_SinB_sin(A+C)_SinACoSC+cosASinC_ʌ/ɜ+1所以<2

csinCsinCsinC2tanC22c

令g=f,则函数一+：在团上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以>∈2,1

即

故丑’+Cz的取值范围为

S

6.（2022•江苏盐城•盐城市第一中学校考模拟预测）如图，在锐角，ABC中，角A,B,

C的对边分别为4,b,C,已知C=3,C=6（）。.

（1）求ABC面积的最大值；

（2）若AB边上的点。满足AD=2D8,求线段CO长的最大值.

【答案】（1）%

4

⑵

【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出必≤9.从而得到面积的最大值；

1r）241r）

（2）根据AD=208得到CO=WCA+qCB,平方后得到CZy=+・。方，结合

4+f*Y+2∙-

第一问片+〃一α∕7=9,求出ICDF=4*+：+=---2-------------,令2=［，［+1=机,

a→b--abb∖_ba

23

故卬="上3q,结合AABC为锐角三角形，得到机=r+l=2+le住31，从而

tn+-----3Cl）

m

利用基本不等式，求出线段CO长的最大值.

【详解】（1）由余弦定理得：COS60。=竺士工=」，

2ab2

所以a2+b2-flab∙-=9≡=>9=a1+b2-ab≥2ab-ah=ab,

2

.∙∙"≤9,当且仅当o=b=3时取“=”

SZSABC=—QbsinC=——ab<——-

244

.∙∙MC面积的最大值为空.

2

(2)由Ar>=203,可得：AD=-AB1

ɔ1ɔ

B∣JCD-CA=-(CJ5-CΛ),^CD=-CA^-CB

：.CD"={-CA-V-CB∖=-b2^-a2+-ab∙cosC

(33J999

1)4,414.1,2

=-b~+-a~+-ab∙-=-a~+—b~+—ab,

9992999

而。2+匕2—出?=9，

4a2+⅛2+2ab

ICDI2=

a2+b2-ab

3

ʌh4+厂+2，i3(/+1)ʌ1+—=-------

令一=，，------5-----=ɪ+ʒ---------，令/+11=m，m2-3ιn÷33^^?

al+r-tr-r+1mA------3

tn

而：ABC为锐角三角形,

a2+b2>C2a2,+b2>a1+b2-ab

a2+c2>h2=><a2+a2+h2-ah>h2=>-<-<2

b1+cΓΛ-b1-ab>ar?"

⅛2÷c2>CT

.β./n=r+1=—+1∈

a

∙.∙∣CQ∣2≤1+云高W=4+2G,当且仅当

m=√3时取

Λ∣COLX=√4+2√3=√3+1∙

7.（2023秋•山西太原•高三统考期末）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，

b,c,且满足从+〃C=

（1）求证：A=2B；

（2）求学N的取值范围.

DCOSB

【答案】（1）证明见解析

（2）［8√2,12）.

【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得仅1+2CoSA）=c∙,再利用正弦定理化边

4

为角，即可证明⑵消元，将要求取值范围的代数式转化为8COS5+二,利用第-

问得出的结论求出角B的取值范围，从而得到CoSB的取值范围，最后应用对勾函数的

单调性即可求解

【详解】(1)由余弦定理得4=从+C?-2⅛ccosA,

a2-b2=c2-2bccosA

*∙*⅛2+⅛c=«2,

∙>∙a2-b2=bc

∙*∙C2-2bccosA=be

/.⅛(l+2cosA)=c,

由正弦定理得々

sinBsinC

.*.sinB(l+2cosA)=sinC=sin(A÷B),

/.SinB=Sin(A-B),

VO<A,B<πf,∖O<B<A<πfΛB=A-B>ʌA=2B

(2)由(1)得A=23,c=l(l+2cosA),

.6b+2c6+2（4COS2B-1）4

OCoSBcosBcosB

Tr1

VA=2B,又0<A+B<180,ΛO<β<-,Λ-<cosB<1,

32

函数〃x）=8x+±在卜,当上单调递减，在侔,1］上单调递增

X122JV2）

吗卜"1）=∣2,/（用=80

.,.8√2≤8cosβ+-^-<12,

cosB

••・黑高的取值范围为［8夜,12）.

8.（2022秋•江苏苏州•高三校考阶段练习）在ABC中，角A,B,C成等差数列，角A,

B,C所对的边分别为a,b,c.

（若£=上自，判断"c的形状；

ba+b+c

（2）若ΛBC不是钝角三角形，求区的取值范围.

C

【答案】（DaΛBC为直角三角形.

⑵r2

【分析】（1）由已知得B=：,再利用余弦定理及正弦定理可求得A=g,C=g,进而

jo2

判断三角形形状;

（2）先求出B≤C≤[,再利用正弦定理边化角，结合三角函数性质求最值即可.

62

【详解】（1）因为角A,B,C成等差数列，.∙.28=A+C

又A+8+C=π,.*.3B=π,即3=]

a+b22

γ=~l-'-a(a+b+c)=b(a+b),.∙.a+ac^b

ba+b+c

由余弦定理得：b1=〃+c2-2ac×-=a2+c2-ac

2

cr+cic—cr+c~—cic，.,∙c—2。

由正弦定理得：sinC=2sinA,即SinA+]=2SinA

.∙.ɪsinA+^-cosA=2sinA,.,.cosA=ʌ/ɜsinA,即tanA=—

223

τrπ

又A—产万

所以ABC为直角:角形.

2TT2兀

(2).A+C=y,贝IJA=胃-。

0<—-C≤-

32

由cABC不是钝角三角形，知•..-≤C<-

62

0<C<-

2

.(π)1

由正弦定理知JSinA二即6+，|二^sinC+N-CoSCJl/COSC

csinCsinCsinC22sinC

当C4时，90,.

色苦，当熹

当2≤y时,C.∙.tanC≥∙∙.0<46

o2

1,3IJr

/.0<---≤-,2

tanC22c

综上可知，色的取值范围时：,2

c2

9.（2022秋•黑龙江绥化•高三海伦市第一中学校考期中）在°ΛBC中，内角A,B,C的

对边分别为mb,c,-=-一旦h,点。是边BC上的一点，且

cosC2⅛+√3c

sinZBADsinZCAD3

-------------------1--------------------—------.

bc2a

(1)求证：AD=^；

Q)若CD=2BD,求cos/ApC.

【答案】(1)详见解析；

【分析】（I）先利用余弦定理由W=-一虫%得到A=学，再利用正弦定理山

cosC2⅛÷√3c6

sinZBADsinZCAD3Ur-.小.„a

——;----+---------=丁即n可求AS得A。二；；

bc2a3

c=y∣3b13

（2）先利用余弦定理求得｛L,进而利用余弦定理求得COSNAoC=77

Ci=Jjb14

【详解】（1）在4?C中，ɪɪ

CosC

.∣b~+c2-a22ab∖∣3a

贝mIJ------------XF----；——T

2bca2+b~-C22b+y∣3c

整理得b?+c2-β2=-∖[3bc，则COSA="+°———

2hc2

又OVAV兀，则A=2—

6

*ɪV,.sinZCADsinC.._CD∙sinC

在JAa）中，由止弦定rπ埋zm得———,πMsinZCAD=——--

CDADAD

,......,sinZBADsinB,.八一八BDSinB

在二84。中，由止rς弦1定τ理11z得n———=——»则πlSlnN84。=———

BDADAD

.sinZBADsinZCADBD∙sinBCDsinC

贝nI----------÷------------=-----------÷-----------=

bcADhADc

BDsinAjCDsinA_（即+⑺）*；_旧_j_ɪ

AD-aAD-aAD∙aADa2AD2a

由cosZADC+cosZADB=0

2C2

∖a1-b1=Ic2

222

a=b+c+Λ∕3⅛C

(∣α]一82-×lb2-b2

13

则cosZADC=I,)尸J-------=9^-----------

14

2×-a×-a-×7b2

339

10.(2023•云南•高三云南师大附中校考阶段练习)在..ABC中，设角A,B,C所对的

边分别为。，b,c,BC边上的高为∕z,且。+c=α+力.

2

(1)若人=§。，且左SinA—8SA=1,求实数Z的值；

(2)求tanA的最小值.

4

【答案】⑴2

4

【分析】(1)利用面积公式及余弦定理解得女=§.

C2tanA-ɔ

.22

(2)利用余弦定理得出函数一1A_1meA,利用单调性解决问题。

I-tαIanI2i——--------.----ιɑ∏—

【详解】⑴由三角形面积公式可得泊榜=也,

则be==*,X⅛+C=Λ+A=-«,

SinA3sinA3

3sinA

4.4

••——SirLA-cosA=1k=—

313

(2)山b+c=α+∕z,可得

b1+c2-a2(⅛+c)2-a1-2bc(Λ+A)2-er(1+3)sinΛ-1

2bc--2bc-2ah

sinΛ

A

2cos^7,---1÷1.

.,hcosA+12二1

Λ1+——=-------

2。sinAc.AΛA

2sιn—cos—tan一

222

如图，过点A作A。IBC于。，过点C作CELBC,使得CE=2h,连接BE,AE,

则AC=A£,

在RtBCE中,BE=>Ja2+4h2-

贝IJa+h=b+c=AC÷AB=AE+AB≥BE,

_______h9

B∣ja+h≥∖]a2+4h2»解得。<"沼,

则ι+五=^3*工，∙'∙tanie[i1)'

2l

A13ʌ

令t=tan；,贝IJy=--f在fe时为减函数，

2tL4)

.♦.当t=,时，ymax=g此时tanA取得最小值小

11.(2022秋•安徽宿州•高三扬山中学校考阶段练习)在，"C中,

sinC-sinBsinA+sinB

=,

sinAsinB÷sinC

(1)求角C的大小；

sin2B+2

⑵求Sin(B+：的取值范围.

【答案】⑴2?兀;

⑵(2&,31

【分析】（I）由正弦定理得到/+〃-c2=-",再由余弦定理得到CoSC=-g,从而

求出C=/：

(2)先得到8e(θ,",β+7e(5,⅞/令"sinB+cosBe(l,√Γ∣,应用三角恒等

sin2B+2ʃʧ1］

=V+

变换及换元得到.nfβiπAC7J,山导函数得至∣Jy=f+1在(l,√∑］上单调递增，

SIn(B+利t

求出g(t)=

【详解】（1）设内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

SinC-sin3sinA+sinB,c-ba+b

由正弦定理及而百靛’得zι丁=温

SinA

整理得/+b2-c2=-"b,

由余弦定理得8SC=g∕ab1

2ab~~2

又0<C<兀，

.r2π

-c=T∙

(2)由(I)知，B∈(θ,^

π7π

4,TI

令，=SinB+cosB,

.*.r=si∏B+cosB=亚Sin

sin23+2夜(Sin28+2)√Σ(2SinBCoSB+2)上(sinB+cosB)2+1

.(R兀'sinB+cosBsinB÷cosBsinB+cosβ

sinB+一

I4,

B+cosB+

sinB+cosB

iif2_ι

令y=r+：,贝叮'=1-尸=-^>0在(1,0］上恒成立,

故函数y=f+：在（1,√∑]上单调递增,

sin2B+2

即Sin（B+艺）的取值范围为（20，3].

12.（2022春•重庆沙坪坝∙高三重庆八中校考阶段练习）已知在,ABC中，内角A,B,

C所对的边分别是。，b,C9且满足ACOSC+C8SA=2^COSA.

⑴求角4

（2）若。点在线段BC上，且45平分4C,若BD=2CD,且AO=G,求45C的

面积.

【答案】（1）?

⑵地

8

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中SinA=Sin（8+C）即可求解.

（2）可设DC=X.则BZ>=2x,利用余弦定理及正弦定理求解"c,X三者的值，再利用三

角形面积公式即可求解.

【详解】（I）解：VbcosC+ccosB=2acosA,由正弦定理得:

sinBcosC+sinCcos3=2SinAcosA,ERsin(B+C)=2sinAcosAt

则SinA=2sinAcosA，

又在ABC中，OVAV乃SinAH0,故cosA=-,

2

故A=?.

(2)由题可知NB4O=NC4Z)=J,设3C=x,则如=2x,AB=c,AC=b

6

ʌ/ɜ_%ʌ/ɜ_2%

ADDCADBD

由正弦定理得:即sinCJjSin8ɪ»

SinCSinNCAZ)'sin8-SinNBAD

22

解得当=:=2,

sinBb

由余弦定理得cosB='+(2—3=∙+(3x)-*,解得¢2_6/+力2_9=0：

2c∙2x2c∙3x

3

又C=2》，r⅛X2=⅛2.

2

,ʌ÷-→-∣∕B∕n∙=⅛2÷C2-(3x)21h2+4⅛2-9⅛2+一

由余π弦z定s理cff得cosZBAC=-------=-,即___π_ι1_______________2_1

2bc22b-2b—2

解得/3，则c=3,x=∖3.

ABC的面积为S=^⅛csinA=LXaX3x@=

22228

13.（2022•辽宁沈阳•东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC中角A,B,。所对

的边分别为a,。,C,4。为BC边上的中线，已知C=Iɪ2csinAcosB=tzsinΛ-Z?sinB+-bsinC,

cosZBAD=—

7

⑴求/2边的长度；

(2)求ABC的面积；

(3)设点E尸分别为边AB,AC上的动点(含端点)，线段EE交AQ于G,且AAM的

面积为ABC面积的J,求AG.EF的取值范围.

6

【答案】⑴4

⑵G

⑶0,2

【分析】(1)根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理

得出6和C的关系式，进而求出分的长度即可；

(2)根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出CoSNfi4C,进而求出SinZa4C,

再根据三角形面积公式求出面积即可；

(3)首先设AZ)=AAG，AB=λAE,AC=μAF(办/∕∈[1,÷∞)),根据三点共线公

式得至股+〃=2々，

再根据面积的倍数关系求出〃，=6,因此求出AG∙EF的表达式后，可以根据函数值域

的求解方法解决取值范围即可.

(1)

由己知条件可知：2c∙sinACOS3=a∙sinA-8∙sin3+'b∙sinC

4

在由正弦定理急=^=^⅛=2R

得2QC∙COSB=Q2—匕2+；8C

在MBC中，由余弦定理-SB=

^a2+c2-b2=a2-b2+-bc

4

.∙.0=4c,Xvc=L.,.⅛=4

(2)

设ABAC=Θ

AD为BC边上中线,AD^^AB+^AC

则AB.AD=AB∙∣(AB+AC)=ɪIAB∣2+ɪIAβ∖∣AC∣cos6»=2cos(9+ɪ

22

M=何=业AB÷ΛC+2ΛB.ΛC

1∣217+8cos6)

ABl+∣ACΓ+1ABlIAClcos<9≈v

22

cos"。=节华=警丝L=叵

①

AB.AD√17+8cos07

.,.28cos2，+8COSe-II=O

.∙.(2cos6一l)(14cos6+Il)=Ocos，=；或一日

由①，得4cos6+l>0,cos。〉-,••,cos。，.Sine=正

422

1.iu∏,.UL1Γ一

=∣∣AB∣∙∣AC∣1∙sin∕9=√3

:.S'△ABC~

(3)

设AO=ZAG，AB=λAE^AC=μAF(%^∈[l,+∞))

∙∙∙M=Pnɪʌ

I12

AD=~AB+-AC=>2kAG=λAE+uAF^AG=-AE+-^-AF

222k2k

根据三点共线公式，得2+〃=2%

AG∙EF=j-AD«AF-AEj

=-(AB+AC)[-AC--AB

2八人〃2)

W]!网2-1网+(W网网珂(cos*,

6为NBAC)

1(屿」2二]

2Z1〃λμλJ

362-〃

λμ2+χ∕

C1-∣AB∣∣AC∣∙sin(9

SMc2IUl

=6.,.λμ=6

SMEF^.∣AE∣∣AF∣sin6)

.62--

.∙.AG-EF=----ɪ

2岸

Λ

3∙1-

//=—≥1≡^Λ≤6=>Λ∈[1,6]=/V+6∈[7,42]

λ,

nL工≤1=AG∙EF∈0±

6^Γ+62

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域

问题，需要一定的分析和解决问题的能力.

14.（2023春•辽宁大连•高三瓦房店市高级中学校考开学考试）ABC的内角A8,C的

SinA-Sin8a-c

对边分别是α,b,c,且

SinCa+b'

⑴求角B的大小;

（2）若）=3,。为AC边上一点,BD=2,且8。为/8的平分线，求ABC的面积.

【答案】（I）B=5；

⑵也.

2

【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角B即可；

（2）利用等面积法SABC=S.+Sc即结合余弦定理，求出"的值即可求得ABC的面

积.

【详解】（1）因为SinA-FB=γ,由正弦定理得j=y,

SinCa+bca+b

化简得〃=∕+c2-4c,

所以由余弦定理得CoSB=""c2=J.,又因为8e（0,万），

ac2

所以8=

（2）如图所示

D

因为S"C=SABD+SCW)即:BAxBCxsin8=；BAX8。XSin?+；BCxBOxsin,,

化简得BA+BC=立8AXBC①，

2

乂由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA×BCxcosB即(BA+BC)2-3BA×BC=9@,

①②联立解得3AχBC=-2（舍去）或6,

所以Sw」BAxBCxsin8=£^.

abc22

15.（2023秋•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知ABC的外心为0,M,N

为线段A8,AC上的两点，且。恰为MN中点.

（1）证明：4V∣∙∣NC∣

（2）若IA。=√LIOM∣=1,求学里的最大值.

ɔVAfiC

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1