5.3.35.3.45.3.55.4古典概型频率与概率随机事件的独立性统计与概率的应用（原卷版）

5.3.2&5.3.3&5.3.4古典概型、频率与概率、随机事件的独立性、统计与概率的应用一、古典概型的判断1、古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．2、古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．二、频率与概率1、频率的稳定性大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).2、频率的求法频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率．3、频率和概率区别和联系区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．（2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量（3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．三、相互独立事件1、定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2、判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的（2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.3、用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：（1）用恰当的字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；（4）利用乘法公式计算概率．四、相互独立事件的概率计算公式已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生ABA，B都不发生A，B恰有一个发生A，B中至少有一个发生A，B中至多有一个发生题型一古典概型的特征与判断【例1】（2023·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（）A．某人射击中靶或不中靶B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C．四名同学用抽签法选一人参加会议D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率【变式11】（2023·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1B．2C．3D．4【变式12】（2023·高一课时练习）下列试验不是古典概型的是（）A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止【变式13】（2022·高一课时练习）（多选）下列是古典概型的有（）A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率题型二古典概型的概率计算【例2】（2023·江西上饶·高一校考阶段练习）某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学参加这项活动，则他获奖的概率为（）A．B．C．D．【变式21】（2023·江西上饶·高一校考阶段练习）已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随机均分为组，同组人先进行一场比赛，组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为，则甲、乙在决赛中相遇的概率为（）A．B．C．D．【变式22】（2023·全国·高一专题练习）有一辆公交车，依次设了A，B，C，D，E，F，G共7个站，甲乙二人都从A站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的.（1）求这两个人在不同站点下车的概率；（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.【变式23】（2023·辽宁阜新·高一校考期末）先后抛掷两枚大小相同的骰子.求:（1）朝上的一面点数相同的概率；（2）朝上的一面点数之和小于5的概率.题型三有放回与无放回问题【例3】（2023·全国·高一专题练习）已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（）A．2B．4C．6或2D．8或4【变式31】（2023·全国·高一专题练习）杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A．B．C．D．【变式32】（2023·全国·高一专题练习）（多选）一个盒子装有标号的5张标签，则（）A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为【变式33】（2023·全国·高一随堂练习）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.（1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；（2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.题型四辨析频率与概率的关系【例4】（2023·新疆喀什·高一统考期末）下列说法正确的是（）①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率．A．0B．1C．2D．3【变式41】（2023·广东惠州·高二校考期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（）A．抛掷硬币次，事件必发生次B．抛掷硬币次，事件不可能发生次C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近【变式42】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．【变式43】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）下列说法正确的是（）A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水题型五用频率估计概率【例5】（2023·全国·高一课时练习）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C．D．【变式51】（2023·全国·高一课堂例题）某市1999~2002年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）的数据如表所示．时间/年1999200020012002出生婴儿数21840230702009419982出生男婴数11453120311029710242（1）试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；（2）该市男婴出生的概率约是多少？【变式52】（2023·全国·高一课时练习）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率；（2）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）ABCa401010b3243c226①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率；②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？【变式53】（2023·全国·高一课堂例题）一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的频数m5896116295484601摸到白球的频率0.5800.6400.5800.5900.6050.601（1）试估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少；（2）假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？题型六事件相互独立的判断【例6】（2023·全国·高一随堂练习）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．以上命题中，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【变式61】（2023·山东滨州·高一统考期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件“第一次向上一面的数字是2”，事件“第二次向上一面的数字是3”，事件“两次向上一面的数字之和是7”，事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（）A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立D．与相互独立【变式62】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列各对事件中，、是相互独立事件的有（）A．掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”B．袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”C．分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”【变式63】（2023·辽宁·高一校联考期末）（多选）A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）A．甲与乙互斥B．丙与丁互斥C．甲与乙相互独立D．乙与丁相互独立题型七求相互独立事件的概率【例7】（2023·辽宁锦州·高一统考期末）已知甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲､乙､丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至少有一人命中的概率为.【变式71】（2023·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是【变式72】（2023·高一课时练习）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．【变式73】（2023·全国·高一随堂练习）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（1）该同学得4分的概率；（2）该同学得分不超过3分的概率.题型八统计与概率的应用【例8】（2023·天津河东·高一统考期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则（1）若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率；（2）父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可）【变式81】（2023·高一课时练习）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于或小于时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为区间.组号分组频数（1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率