新疆伊犁州2022-2023学年高一年级下册期末考试数学试题

新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”2022-2023学年高一下学期

期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数Z=在复平面内对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量)=(0,6),6=(4,3),则卜斗()

A.5B.3亚C.5正D.10x/2

3.目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，

以甲型H1N1亚型病毒为主，假如该市某小区共有120名感染者，其中有20名年轻人,

60名老年人，40名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取30人进行检测，则做检测

的老年人人数为()

A.5B.15C.10D.20

4.已知：4是两条直线，a是一个平面，下列关于直线与平面位置关系描述正确的是

()

A.///a,l2Ha,则/J4B.A-L«,l2la,则

C.l2Ha,则/KD.la9l2Ha,则4〃/2

5.某校高三年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第70百分位

数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为()

A.420B.350C450D.400

15兀)2

6.sin那么cos(兀+a)=()

3322

A.B.-C一D.——

55

7.设一ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,若0=石，sinB=且，C=y,

26

则边c=()

A.GB.&或也C.;或6D.B

222

8.如图，在四边形A8C£>中，A8_LAO,C£>_LC8,/A8C=60,45=2,4£>=6,£；为线

段C力的中点，F为线段A3上一动点(包括端点)，S.EF=ADA+^iCB,则下列说法

错误的是（）

A.BC=-

2

B.若F为线段A8的中点，则义+〃=1

C.尸C•尸。的最小值为?

4

Q

D.〃的最大值比最小值大］

二、多选题

9.光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加

且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少

于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（）

人数上

250-........................

200................胃.....

150.........................

100................■.......

50-iq.............I.....

IIII11IIII____►

演讲舞蹈航模合唱机器人社团

A.选取的这部分学生的总人数为500人

B.合唱社团的人数占样本总量的40%

C.选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人

D.选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125

10.函数八幻=4411（0'+9）（4>0,0>0,倒<5）的部分图象如图所示，下列结论中正

确的是（）

试卷第2页，共6页

A.〃x)的最小正周期为2兀

B.直线x=-半47r是函数/")图象的一条对称轴

5兀71

C.函数〃x)的单调递增区间为一逐+E，五+E，kwZ

D.将函数/(x)的图象向右平移已个单位得到函数g(x)=sin(2x+"的图象

11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面

为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称

为“鳖席”，如图在堑堵ABC-AAG中，AC1BC,且AA=AB=2.下列说法正确的是

A.四棱锥8-AAC£为“阳马”

B.四面体AAC8的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为及兀

C.四棱锥8-AACC体积最大值为:

D.四面体A£C8为“鳖腌，，

12.如图，在正方体A8CD-AMG。中，点P在线段8(上运动，则下列结论正确的

是()

A.直线平面AG。

B.三棱锥尸-AG。的体积为定值

7F7T

C.异面直线4P与A。所成角的取值范围是---

D.当尸为8c的中点时，直线GP与平面4G。所成角的正弦值为且

3

三、填空题

13.设i是虚数单位，若复数z满足z+2i=6-4i,则目=.

14.已知4BC=45，NEF70的两边EF、分别平行于/AfiC的两边AB与BC.则

NEFM=.

15.某校教师男女人数之比为5:4,该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛.现记录了

每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17,方差为16,女教师命

中次数的平均数为8,方差为16,那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为.

16.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABC。内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP

方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截

机器人甲，两机器人停止运动.若点“在矩形区域A8CO内（包含边界），则挑战成功，

否则挑战失败.已知AB=8米，E为A8中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行

TT

进，记EP与EB的夹角为e（o<0<n）,AQ与AB的夹角为a（0<a<-）.若两机

器人运动方向的夹角为足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的

最大值_________.

----------------------\C

------/---------'B

试卷第4页，共6页

四、解答题

17.设xywR,向量〃=(x,l),b=(l,y),c=(2,-2),且〃〃c，blc-

⑴求|2a+36+c|；

⑵求向量方+”与c+”夹角的大小.

18.在二ABC中，A,B,C的对边分别为a,"c,若满足c=3,cosB=1.

(1)若。=1,求/?的大小；

(2)若满足S.c=2拉，求。及sinA的值.

19.如图：已知直三棱柱ABC-中，AG交AC于点O,AB=AC=AAt=2,

ZBAC=90°.

(1)求证：ACL8G；

(2)求二面角0—BC-A的正切值.

20.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌天

宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中

国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展.2022

年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲.学校针对这次直播课，

举办了“天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的

成绩(满分100分)进行统计，将数据分为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

这4组，画出如图所示的频率分布直方图.

频率

(1)求频率分布直方图中机的值；

(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代

表)；

(3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的

分数不低于多少？

21.已知四棱锥P-底面A8CQ为正方形，且边长为2,PAYAD,NE4N=45°,

/》=2屈，F、M、N分别为P。、A。、8c的中点，E点在FM直线上运动.

⑴求证：NE〃平面R1B；

(2)当E为PM的中点时，求证：NE_L平面PAO.

22.在中，角A8,C所对的边分别为且a+c=»cosC.

(1)求证：B=2C；

Z7+4c

⑵求的最小值.

CCOSC

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】应用复数除法化简复数，写出对应坐标判断所在象限即可.

-6+3i-3(2-i)(l-i)-3(1-3i)39.

【详解】z=---F—1

l+i-(l+i)(l-i)-T~22

39

其对应点坐标为（-在第二象限.

故选：B

2.A

【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.

【详解】由题意知，W（-4,3）,所以卜4=，（-4y+32=5.

故选：A.

3.B

【分析】根据分层抽样的性质运算求解即可.

【详解】由题意可得：做检测的老年人人数为30x卷=15.

故选：B.

4.C

【分析】根据直线与平面的位置关系，作图找反例可排除选项.

（详解】如图所示正方体ABCD-EFGH中,

对于A项，假设4，/2分别对应防,明，底面48CD对应符合A条件但两直线不平行,

故A错误;

对于B项，假设44分别对应,底面ABC。对应。，符合B条件，但两直线不垂直,

故B错误；

对于D项，假设//分别对应,底面ABC。对应a,符合D条件，但两直线不平行,

答案第1页，共14页

故D错误：

对于C项，如图所示,

设《，。垂足为6,在平面a内过G存在///；,,则所以

故选：C

5.C

【分析】设X表示学生数学成绩，根据百分位数定义知P(X<92)470%,进而求数学成绩

不小于92分的人数最小值.

【详解】若X表示学生数学成绩，则X<92的人数占比P470%,

故XN92的人数占比〃21-70%=30%,

所以数学成绩不小于92分的人数至少为1500x30%=450人.

故选：C

6.D

【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.

【详解】因为sin(苧+asin信+a]=cosa=2,

U）5

2

所以cos（兀+a）=-cosa

5

故选：D.

7.B

【分析】由正弦定理可得c=4—,结合已知求得B=f或多，注意验证是否满足构成三

2sin433

角形，进而求J

【详解】由正弦定理知：二=三，则°=竺电£=空_,

sinAsinCsinA2sin/I

又sinA=sin(7t-8-C)=sin(3+C),而sinB=^,

2

所以cos8=±"-sin28=±1,故B=9或=，又C=2故均满足题设，

2336

答案第2页，共14页

当8=:，贝lJsinA=l,此时c=g;当8=与，则sinA=g,此时c=6.

故选：B

8.C

【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用

向量解决四个选项.

【详解】以4为坐标原点，48所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，

过点C作CGJ_x轴于点G,作轴于点H,过点B作交HC的延长线于点M,

则一8"BCM,

0AB1AD,CD1CB,ZABC=60,

所以/CDH=60。，设HD=x,则CH=6X,则BM=AH=G+X,CM=2-瓜,

则需嚼，即&r焉户¥或户°（舍去）,

解得:

则4（0,0）,8（2,0）,Z）（0,G）,C

BC=y/BM2+CM2=.-+—=A说法正确;

V16162

若F为线段A8的中点，则F（LO）,

所以所=倡,-挛］,D4=

koo,

55

­=一〃A=-

84

则厂广，解得：则2+〃=1,B说法正确;

96/T-56

-----=-73九-----u

84"=3

设F（/n,0）,0</n<2,

则FC.㈤=（《一机,乎＞1见6）=机2一?5+?=（"一+*,

故当机=93时，尸。。取得最小值，故最小值为231券，C选项说法错误;

864

答案第3页，共14页

35

m——=一〃

84

则

5G

一券=3一丁

33135313

因为04〃742,则机一三£，所以

8|_88」4188

解~得:〃F十3而13七1而13十/历3「、片8

Q

所以〃的最大值比最小值大］,D说法正确.

故选：C

9.ABD

【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判

断即可.

【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50,占选取的学生的总数的10%

所以选取的总人数为50+10%=500人，故选项A正确.

2002

合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的薪=《=40%,故选B正确.

则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的1-40%-20%-10%-15%=15%

所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为500xl5%=75人，故选项C不正确.

选取的学生中参加合唱社团的人数为200,参加机器人社团人数为75人，

所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125,选项D正确.

故选：ABD.

10.CD

【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可.

7TE(ifA3327r

【详解】由图象可得A=l,---=7^=7.一n0=2,

12I76J44co

答案第4页，共14页

=One=E+](%£Z),又|夕|<5，故9=]

所以/(x)=sin

显然A错误;

4兀4兀1])=-等，不是对称轴，故B错误;

对于B项，f

对于C项，令2x+q£——+2Z^r,—+2kn=>xG—+kit,—+kit,(AwZ),故C正确；

对于D项，将函数/(x)的图象向右平移、个单位得y=sin(21-曰+T=sin(2x+M),

故D正确.

故选：CD.

11.AD

【分析】根据“阳马”和"鳖席”的定义，可判断A,D的正误；当且仅当AC=3C时，四棱锥

8-AACG体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意找到四面体4ACB的外接球的

球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

二在堑堵48C-A8G中，ACJ.BC,侧棱面A8C,

A：8Cu面ABC,贝iJA41_LBC,又AC上BC,且4AAC=A,则8c1面AACC一

...四棱锥B-A4CC为“阳马”，对；

C：在底面有4=AC2+BC2\2AC8C，即AC8C42,当且仅当AC=8。=应时取等号，

11?4

K=~S..xBC=-AA.xACxBC=-ACxBC<-,错；

o-AACC3zuC.iC-13।33'，

D：由AC18C,即AC|_L8C,又4和_L£C且BCcgC=C,8C，GCu面

AG，面BB©C,8Gu面BB£C,

:.4G-LBG，则VAg为直角三角形，

由8cl面A4,CC，ACu面A4CC，则.ABC为直角三角形，

由“堑堵”的定义得AGC为直角三角形，CG8为直角三角形.

答案第5页，共14页

，四面体AG。？为“鳖脯”，对;

B：由C知.A3C为直角三角形，侧棱例，面ABC,易知△AA8QAAC为直角三角形，

而,ABC为直角三角形，则外接球球心。位于4乃的中点，则外接球半径

R=-AB=-x>j22+22=42,

22

则球的表面积为《兀代=4TTX(及)=8兀，错.

故选：AD.

12.AB

【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根

据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可;对于C：

根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可：对于D：利用等体积法求点B到平面4G。的

距离，结合线面夹角的定义运算求解.

【详解】对于选项A：因为为正方形，则AG_L8Q,

又因为8乌1平面44GQ,4GU平面AB£R,则AG,网,

且8QcBB、=4，BR,BB«平面BB、D、,

所以AG，平面8BQ,

且8QU平面,可得AG，町,

同理可得：,

且AGc£)C1=c,AG，£)Gu平面AGO,

所以直线8口_L平面AG。，故A正确；

对于选项B：因为A4〃c。，且44=8,则ABC。为平行四边形，可得AQ〃BC，

且AOu平面AG。，B|C<z平面AG。，所以BQ〃平面4G。，

又因为点尸在线段BC上运动，则p到平面AC.D的距离为定值，

且「4G。的面积是定值，所以三棱锥P-AG。的体积为定值，故B正确；

对在选项C：由选项B可知：AQ〃BC，

答案第6页，共14页

所以异面直线4尸与4。所成角为直线4P与直线AC的夹角.

又因为481=4C=BC，则VA8C为等边三角形，

当P为的中点时，直线AP与直线BC的夹角最大，

可得API8。，即直线AP与直线BC的夹角为曰；

当尸与点4或C重合时，直线4P与直线80的夹角最小，

可得直线4P与直线BC的夹角为2；

所以异面直线AP与A。所成角的取值范围是，故C错误；

对于选项D：当尸为BC的中点时，直线Cf即为直线G8,

所以直线GP与平面AG。所成角即为直线GB与平面ACQ所成角,

设点B到平面的距离为d,正方体的棱长为2,

11Q

因为%"Q=2X2X2-4X§X2X5><2X2=§,

由等体积法可得』xdxLx2及x2夜x立=§,解得“=越，

32233

46

所以直线GB与平面所成角的正弦值为d=丁=瓜,

BC、2近3

即直线CP与平面4G。所成角的正弦值为业，故D错误；

3

故选：AB.

【点睛】关键点睛：1.利用平行关系可知异面直线AP与所成角为直线4P与直线8。的

夹角，进行分析求解；

答案第7页，共14页

2.利用等体积法求点8到平面AG。的距离，可知直线。出与平面4G。所成角的正弦值为

d

13.y/39

【分析】根据题意可得Z=G-6i,进而结合模长公式运算求解.

【详解】因为z+2i=JJ—4i,贝ljz=(J5—4i)—2i=—6i,

所以|z|二，(6)~+(-6)“=>/39.

故答案为：屈.

冗t3兀

14.一或——

44

【分析】根据等角定理判定即可.

【详解】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所

以ZJEFM=5或个.

44

故答案为：；或半.

44

15.36

【分析】设男女人数分别为5。,4a,求出全体教师平均命中次数，利用方差公式求全体教师

1分钟限时投篮次数的方差.

【详解】设男女人数分别为5。,4。，则男女教师总命中次数分别为85。、32”，

所以全体教师平均命中次数为学卓=13,

若男教师命中次数为西,犬2,机=5")，女教师命中次数为小必，…,y"(〃=4a),

所以Z(%T7)2=80〃，Z(y—8)2=64a,

7=11=1

全体教师1分钟限时投篮次数的方差为S',则

2222222

(/n+n)s=(xl-13)+(x2-13)+...+(xra-13)+(y1-13)+(y2-13)+...+(y„-13)

=(x,—17+4)-+…+(x“,—17+4)-+(y—8—5厂+...+(y“—8—5厂

=Z(x,-17)2+82(玉一17)+16〃?+Z(%-8)27()Z(y-8)+25〃

i=l/=11=1f=l

=E(七-17)2+16/n+E(%-8)2+25M

/=1i=\

答案第8页，共14页

=80。+80。+64。+100。

=324。，

故答案为：36

【点睛】关键点点睛：用男女教师命中次数的方差表示出全体教师1分钟限时投篮次数的方

差为关键.

16.8

【分析】根据题设在AAA拒应用余弦定理得+=结合基本不等式

求AM+EM的范围，即可确定最大路程和，注意取值条件.

【详解】如下图，/XAME'中AMZ+EMJZAMZMCOS/IMBMAE2,

所以AM2+EM2-AM-EM=（AM+£M）2-3AM-EM=16,

则（AM+EM¥-3AM•E仞=162•（匚,当且仅当AM=EM=4时等号成立，满足

4

题设要求，

所以AM+EMM8,故两机器人运动路程和的最大值8.

⑵手

4

x=-lIII,、

【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得।，进而可得2a+3〃+c=（3,3）,结

y=1''

合向量的模长公式运算求解；

⑵根据题意可得力+：=（0,2）,c+a=（l,-l）,进而可求［+那+彳，（力+：）•（"）,代

入夹角公式运算求解即可.

答案第9页，共14页

-2x=2.

【详解】(1)因为a〃c，blc9则j2_2y=0'解得［

即4=^=(1,1),

可知c=-2a，即c+2a=0，可得2。+3Z?+c=3Z?=(3,3),

所以|23+31+'="+3)=3亚.

(2)由(1)可知：a=(-l,l),。=(1,1),

可得8+4=(0,2),C+Q=

则=2,卜+4二｛12=>/2,(〃+〃)•(<?+〃)=0x1+2x(—1)=—2,

可得避+%+和黑胃L急=q,

；rrrrrrrr3冗

且(/?+a,c+ax)£［0,兀］,贝“z\+a,c+〃v)=w

所以向量i与小夹角为彳.

18.⑴6=20

(2)a=2,sinA=«近

9

【分析】（1）利用余弦定理运算求解即可;

（2）先根据面积公式可得a=2,在利用余弦定理可得6=3,进而结合正弦定理运算求解.

【详解】⑴若。=1,由余弦定理/=a2+c.2-2«ccos3,

可得〃=l+9-2xlx3xg=8,即匕=20.

(2)因为cos8=:>0,可知角8为锐角，则sinB=Jl-COS28=^^,

又因为5Azic=：acsin8,即Lax3x述=2夜，解得a=2,

223

由余弦定理〃-a2+C1-2accos8=4+9-2x2x3x,=9,即。=3,

3

272

由正弦定理焉0

，可得sinA=2x~T=4日

sinA

b39

19.（1）证明见解析

答案第10页，共14页

⑵0

【分析】(1)根据题意可证平面ACGA,进而可得AC,AB,结合AC,AG证明

AC_L平面48G，即可得结果；

(2)可知二面角。-8C-A即为二面角A-BC-4,根据题意结合三垂线法可得二面角

A-8C-A的平面角为NAQ4,运算求解即可.

【详解】(1)因为AAJ.平面ABC,AB,ACu平面ABC,可得，AB,A4_LAC,

由题意可知：ZBAC=90°,即ACLAB,

且AAIAC=4,4八4(71=平面4。。14，

所以ABI平面4CGA，且ACu平面ACGA，所以AC_LAB,

又因为4B=A4,=2,则AC4G是正方形，可得ACLAG，

且AGAB=A,AG，ABu平面48C_所以AC_L平面ABC一

且BC|U平面ABC一所以ACLBG.

(2)连接\B,可知平面08c即为平面AtBC,则二面角0—5C—A即为二面角A.-BC-A,

取BC的中点。，连接，

因为AB=AC,且。为BC的中点，则人8C,

又因为平面ABC,8Cu平面ABC,可得AAL8C,

ADiAA=A,AD，AAu平面AA。，所以8c1平面AAQ,

且AQu平面AAQ,则AOL8C,

所以二面角A-sc-A的平面角为NAOA，

A,A2

在中，可得=6,

RtAOAX,A=2,AD=-s/2,tanNA%=而一双

所以二面角0-BC-A的正切值为应.

答案第11页，共14页

20.(1)0.005

(2)84.5

(3)87.5

【分析】(1)利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为1进行计算；

(2)根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；

(3)根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为0.4时即可.

【详解】(1)由图可得(加+5，〃+0.03+0.04)x10=1,解得,”=0.005

(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数

x=65x0.005x10+75x0.025x10+85x0.04x10+95x0.03x10=84.5.

(3)设被嘉奖的学生的分数不低于x,

因为第四组的频率为0.03x10=0.3,第三组的频率为0.04x10=0.4,

所以xe[80,90),所以0.04x(90—x)+0.3=0.4,得x=87.5.

21.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意先证平面FMN〃平面以8,结合面面平行的性质可得N