6.2.3向量的数乘运算11种常考题型归类

6.2.3向量的数乘运算11种常考题型归类题型1对向量数乘运算的理解题型2向量的线性运算题型3向量的线性运算在几何中的应用题型4用已知向量表示其他向量题型5根据线性运算求参数题型6向量共线的判定题型7三点共线问题题型8已知向量共线（平行）求参数题型9平面向量共线定理证明线平行问题题型10平面向量共线定理的推论题型11三角形的“四心”问题1、向量线性运算的基本方法（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．2、用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3、向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．4、利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则A，B，C三点共线．注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．5、利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．题型1对向量数乘运算的理解1．（2023·高一课时练习）实数与向量的乘积还是向量．()【答案】正确【分析】由数乘向量的定义可判断正误.【详解】由数乘向量的定义知，实数与向量的乘积还是向量.故答案为：正确.2．（2023上·辽宁锦州·高一校联考期末）“实数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果.【详解】当时，显然成立，当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B4．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.故①②两个命题正确．故选：B5．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】运用向量定义、模、共线向量的定义及向量的数乘运算即可判断.【详解】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.因为，所以或.④错误.当λ＝μ＝0时，，此时，与可以是任意向量.所以错误命题有3个.故选：C.6．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反【答案】D【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.【详解】因为两个非零向量，满足，所以为共线反向向量，且模不相等，所以ABC错误，D正确.故选：D7．【多选】（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.【详解】由图可得两点把线段三等分，故，A，B正确；，故C，D，错误，故选：AB.8．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空)【答案】必要不充分【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合共线向量运算判断即可.【详解】当时，满足，显然不存在正数，使得成立，若存在，使得，则，所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分题型2向量的线性运算9．（2023·高一课时练习）下列计算正确的个数是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】对于①；故①正确，对于②；故②正确，对于③，故③错误，故选：C10．（2023下·高一课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；（2）按照向量的运算法则依次计算即可.【详解】（1）原式．（2）原式11．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，.故选：D12．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.题型3向量的线性运算在几何中的应用13．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为四边形为矩形，为中点，所以，所以.故选：B14．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，由求解.【详解】解：因为在平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，且，，所以，所以，故选：C15．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.16．（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则，．【答案】22【分析】先化简为，再利用向量的减法法则化简即得解.【详解】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：2，2.17．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）设是内部一点，且，则．【答案】【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.【详解】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，则，，即.故答案为：.题型4用已知向量表示其他向量18．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，点为边的中点．记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】

因为点D为边的中点，所以，.故选：D.19．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）在中，为的中点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】.故选：A.20．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，如图，，故选：A.21．（2023下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量．(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定的梯形，利用向量的加法求解作答.（2）根据给定的条件，利用向量的线性运算求解作答.【详解】（1）梯形ABCD中，且，即有，所以.（2）M，N分别是DC，AB的中点，所以.22．（2023下·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.【答案】，，【分析】根据向量加法､减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，.【详解】解：∵，∴；又，；∴.23．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．(1)试用，表示．(2)试用，，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可；（2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可.【详解】（1）．（2）．24．【多选】（2023上·黑龙江·高三统考期中）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.【详解】A选项：，A选项正确；B选项：，B选项错误；C选项：，C选项正确；D选项：，D选项错误；故选：AC.25．【多选】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.【详解】A选项，由题知，故，而，故A正确；B选项，由题知，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，因为，，，故，故D正确.故选：ACD．题型5根据线性运算求参数26．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，若点满足，，则.【答案】2【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】易知，又因为，所以.故答案为：2.27．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，D为AC上一点且满足若P为BD的中点，且满足则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】因为，所以，则，所以，，.故选：D.28．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】，所以，，.故答案为：.题型6向量共线的判定29．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当，时，满足，但不存在，使得；当时，可得；所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.故选：A30．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.【分析】用向量共线定理判断.【详解】（1），，所以，所以，共线.（2），,所以，所以，共线.（3）因为，，所以，所以.所以，共线.31．（2023·全国·高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)共线(2)共线(3)不共线【分析】根据向量共线定理即可判断.【详解】（1），则有，即共线；（2），则有，即共线；（3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使，即，所以，所以共线，这与已知条件不共线矛盾，不共线.题型7三点共线问题32．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：C.33．（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，.因为A，C，D三点共线，所以共线，则，使得，即，整理可得.因为，不共线，所以有，解得.故选：D.34．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）在中，若，则点（

）A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心【答案】A【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论.【详解】因为，所以，所以和共线，因为和有公共端点，所以三点共线，所以点在直线上，故选：A35．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.【详解】对A，,所以，则三点共线，A正确；对B，,则不存在任何，使得，所以不共线,B错误；对C，,则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；对D，,则不存在任何，使得，所以不共线，D错误；故选:A.36．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）已知，，三点共线，则（）A．4 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】根据题意，由条件可得重合，即可得到结果.【详解】因为三点共线，且，，，则重合，即.故选：B37．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.【详解】由题意知，三点共线，故,且共线，故不妨设，则，所以，解得，故选：D38．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．【答案】证明见解析【分析】分别用，表示和，根据和的关系即可证明.【详解】证明:因为，，所以，因此，A，B，C三点共线．39．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.求证：M，N，C三点共线.【答案】证明见解析【分析】利用向量证明三点共线.【详解】设，则所以，又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线.40．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．(1)分别用向量，表示向量，；(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；（2）利用向量共线定理即可证明.【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，所以，则，.（2）因为，所以，则，所以，即，所以，又因为有公共点，所以，，三点共线.题型8已知向量共线（平行）求参数41．（2023下·江苏南通·高一统考期中）已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（

）A．－2 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为，所以存在唯一实数，使，所以，因为，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：A42．（2023上·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则.【答案】4【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.【详解】由题意可知与共线，所以存在实数使，因为不共线，所以解得或，因为向量与的方向相同，所以，即，故答案为：443．（2024上·辽宁大连·高一期末）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则.【答案】【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求解.【详解】与共线，，，又，是两个不共线的向量，，解得.故答案为：.44．（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【分析】利用向量共线定理求解即可【详解】因为向量与方向相同，所以存在唯一实数，使，因为向量，不共线，所以，解得或（舍去），故选：A题型9平面向量共线定理证明线平行问题45．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求证：与共线.【答案】证明见解析【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明.【详解】因为，所以由共线向量定理知，与共线.46．（2023下·高一课时练习）已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对【答案】C【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断.【详解】由题意可得：，则，故与共线，且，∴四边形ABCD是梯形．故选：C.47．（2023下·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（）A．梯形 B．菱形C．平行四边形 D．矩形【答案】A【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案.【详解】因为，，，所以.所以.所以且，所以四边形为梯形..故选：A48．（2023·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且．【答案】证明见解析【分析】根据几何图形，转化向量，证明.【详解】证明：如图，因为O、E分别BD、BC的中点，故．所以且．49．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．(1)求的最小值．(2)若点满足，证明：．【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值.（2）根据向量的线性运算可得，故可证.【详解】（1）由题可知，因为点为的中点，所以，因为三点共线，所以，，当且仅当时，等号成立．所以的最小值为4.（2）

由，则，即，，所以，又三点不共线，所以．题型10平面向量共线定理的推论50．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定，得到，根据计算得到答案.【详解】，故，则，又是上一点，所以，解得.故选：A.51．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，所以，即，因为三点共线，可得，所以.故选：A．52．（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（

）A．8 B．12 C．32 D．16【答案】C【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.故选：C53．（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，由题设，又共线，所以，即，注意，由，当且仅当，即时等号成立，故目标式最小值为1.故选：A54．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【答案】(1)(2)，时，最小值为．【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果.（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.【详解】（1）如图所示，因为G为重心，所以，所以，因为M，G，N三点共线，所以，即．（2）由题意可知，且，所以当且仅当，即时取等号，又∵，∴，时，取得最小值为．题型11三角形的“四心”问题55．【多选】（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则【答案】ACD【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得M为BC的中点，所以A正确；对于B中，若M为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即，所以M，B，C三点共线，所以C正确；对于D中，如图所示，由，可得，所以D正确．故选：ACD56．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（

）．A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】设中点为D，根