新版高中数学人教A版选修2-2习题第二章推理与证明2.2.2

2.2.2反证法课时过关·能力提升基础巩固1实数a,b,c不全为0是指()A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至少有一个为0C.a,b,c中至多有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0解析“不全为0”并不是“全不为0”,而是“至少有一个不为0”.答案D2当用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设()A.三角形的三个内角都不大于60°B.三角形的三个内角都大于60°C.三角形的三个内角至多有一个大于60°D.三角形的三个内角至多有两个大于60°解析因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角没有一个不大于60°”,即“三角形三个内角都大于60°”,故选B.答案B3当用反证法证明命题“若系数为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多有一个偶数D.a,b,c中至多有两个偶数解析“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不是偶数”.选B.答案B4当用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A5当用反证法证明命题“在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”时,应假设.

答案a≤b6命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是.

答案关于x的方程ax=b(a≠0)无解或至少有两个解7当用反证法证明命题“若x2(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”时,应当假设.

答案x=a或x=b8当用反证法证明“已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12”时的假设应为.

解析“至少有一个”的反设词为“一个也没有”.答案|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于19已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:1a,1分析本题题设条件较少,且求证的结论中有“不可能”这个词,故考虑选用反证法证明.证明假设1a,则2b=1a+1c因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.②把②代入①,得2ac=b(a+c)=b·2b.所以b2=ac.③由②平方,得4b2=(a+c)2.④把③代入④,得4ac=(a+c)2,所以(ac)2=0.所以a=c.代入②,得b=a,故a=b=c,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾,故1a,能力提升1当用反证法证明“已知a,b,c均为实数,且a=x22y+π2,b=y22z+π3,c=z22x+π6,求证:a,b,c中至少有一个大于0”时,正确的假设是(A.a,b,c均小于0B.a,b,c均不大于0C.a,b,c中至多有一个不大于0D.a,b,c中至多有一个小于0答案B2已知两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲:l和m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙⇒甲.若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以点A必在α与β的交线上,即甲⇒乙.故选C.答案C3已知实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于1解析假设a,b,c均小于12,则a+2b+c<12+1+12=2,与已知矛盾,答案D★4如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析因为三角形内角的正弦值是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形.假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,则cosA1=cos(90°∠A2),所以∠A1=90°∠A2.同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,则有∠B1=90°∠B2,∠C1=90°∠C2.又∠A1+∠B1+∠C1=180°,所以(90°∠A2)+(90°∠B2)+(90°∠C2)=180°,即∠A2+∠B2+∠C2=90°.这与三角形内角和等于180°矛盾,所以原假设不成立.故选D.答案D5用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为.(只填序号)

解析根据反证法知,上述步骤的正确顺序应为③①②.答案③①②6如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明如图,连接AB,假设AC⊥平面SOB.因为直线SO⊂平面SOB,所以AC⊥SO.因为SO⊥底面圆O,所以SO⊥AB.又因为AB∩AC=A,所以SO⊥平面ABC.所以平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,所以假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.7已知直线axy=1与曲线x22y2=1相交于P,Q两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解不存在.理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O,则OP⊥OQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程组ax-y=1,x2-