数列求和与递推公式(纯手工-教育培训专用讲义)

数列求和1．数列求和的常用方法〔1〕倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法；〔2〕分组求和法：适用于等差与等比数列相加减；〔3〕裂项相消法：适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；局部无理数列、含阶乘的数列等；〔4〕错位相减法：适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。2．常用结论〔1〕〔2〕〔3〕；1、倒序相加主要思想和等差数列求和一样，首末配对！【例1】，那么＝______；【变式训练1】设f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,11)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,11)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))的值为()A．5B．10C．15D．202、分组求和【例2】数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn.【变式训练2】求数列3＋，6＋，……，3n＋的各项的和.3.裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；=3\*GB3③=4\*GB3④；=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦适当放缩：；.【例3】求和：〔1〕，求的前项和；〔2〕，求的前项和；〔3〕求的前项和；〔4〕，求证：的前项和；〔5〕，求的前项和；〔6〕求的前项和；〔7〕.〔8〕求4.错位相减法【例4】〔1〕数列，求数列的前项和。〔2〕求和.1、在数列中，，且，那么＝_____.2、设是公比为正数的等比数列，(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.3．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和4．等差数列的各项均为正数，，前项和为为等比数列，，且(1)求与；(2)求.5.数列的满足条件：,。(1)判断数列是否为等比数列；(2)假设，令,记，证明：①；②.数列递推求通项an与Sn的关系：Sn，那么，那么an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔n＝1〕，,〔n≥2〕.))n与Sn的关系求an。an＋1与an的关系求an。【例1】{an}Sn＝n2－10n，an＝______________．【变式训练1】以下数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求它的通项公式an＝______________.【例2】{an}的前n项和Sn＝2n＋1，那么此数列的通项公式为an＝______________．【变式训练2】数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，那么数列{an}的通项公式为________．〔2〕数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1 B．n2C.eq\f(〔n＋1〕2,n2) D.eq\f(n2,〔n－1〕2)【例3】写出下面各数列{an}的通项公式．a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；a1＝1，an＋1＝3an＋2(3)a1＝1，前n项和Sn＝eq\f(n＋2,3)an，求an求Sn【变式训练3】写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,n〔n＋1〕)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.【例4】无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式【变式训练4】数列的前项和为，，，求数列的通项.数列的前项和，求的通项公式．的前项和，求的通项公式如果数列的前项的和,那么这个数列的通项公式是？数列，，,求。假设数列中