7.1.2弧度制及其与角度制的换算（3知识点6题型强化训练）（原卷版）

弧度制及其与角度制的换算课程标准学习目标（1）理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用；（2）掌握弧度与角度的换算关系；（3）能运用弧度制进行简单的计算和推理；（3）了解弧度制在解决实际问题中的应用。（1）了解弧度制的概念、表示方法及其优点；（2）掌握弧度与角度的换算公式；（3）会进行弧度制下的简单计算。知识点01弧度制1、角度制的定义：把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制规定1度等于60分，1份等于60秒。2、弧度制的定义：我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度制，长度等于半径长的圆弧所对的圆心为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。3、弧度制与角度制的区别与联系区别(1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；(2)定义不同.联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.【即学即练1】（2023·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关知识点02角度制与弧度制的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即学即练2】（2023·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选）下列弧度与角度的转化正确的是（）A．B．C．D．知识点03扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积【即学即练3】（2023·天津和平·高一统考期末）已知扇形的弧长，面积为，则扇形所对的圆心角的弧度数是（）A．B．4C．D．2【即学即练4】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考阶段练习）（多选）若扇形周长为36，当这个扇形面积最大时，下列结论正确的是（）A．扇形的圆心角为2radB．扇形的弧长为18C．扇形的半径为9D．扇形圆心角所对弦长为【题型一：对弧度制概念的理解】例1．（2023·全国·高一专题练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（）A．B．C．D．变式11．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为．变式12．（2023·高一课时练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度变式13．（2023·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期中）（多选）下列说法中正确的是（）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【方法技巧与总结】辨析弧度制与角度制（1）以弧度、度为单位的角，都是一个与半径无关的量；（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小，所以1弧度≠1度；（3）同一个式子中，角度、弧度不可以混用。【题型二：角度制与弧度制的互化】例2．（2023·新疆喀什·高一统考期末）的角化成弧度制为．变式21．（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）将化为弧度为（）A．B．C．D．变式22．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）把化成角度是（）A．B．C．D．变式23．（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）下列转化结果正确的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【方法技巧与总结】角度与弧度互化的注意点（1）角度与弧度的互化关系为，则，；（2）将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将他们统一转化为“度”表示，再利用化为弧度即可。【题型三：弧长公式的应用】例3．（2023·河北保定·高一保定一中校联考期中）在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（）A．B．C．D．2变式31．（2023·浙江·高一校联考阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．2变式32．（2023·四川成都·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．B．3C．D．6变式33．（2023·江西上饶·高一校考期末）若半径为2的扇形的弧长为，则该扇形的圆心角所对的弦长为（）A．B．2C．D．【方法技巧与总结】在计算扇形弧长时要注意圆心角表示的形式，即圆心角需要使用弧度制表示。【题型四：扇形面积的计算】例4．（2023·上海·高一行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为．变式41．（2023·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（）A．B．C．D．变式42．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角是（）A．2B．4C．2或2D．4或4变式43．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则，，AB围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【方法技巧与总结】在计算中要确保单位的一致性，特别是当涉及不同单位的数值时（如弧度与度）。【题型五：弧长与扇形面积的实际应用】例5．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A．9B．8C．4D．3变式51．（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为（）A．B．C．D．变式52．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：）如图所示，则该扇面的面积为（）A．B．C．D．变式53．（2023·全国·高一期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（）A．B．C．D．【方法技巧与总结】在解题过程中，明确题目给出的已知量（如圆心角、半径、弧长或面积等）是至关重要的。这有助于建立方程或直接使用公式进行计算。【题型六：弧长与扇形面积的最值问题】例6．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（）A．2B．4C．D．变式61．（2023·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习）若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r为.变式62．（2023·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．（1）若，，求扇形的弧长l；（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．变式63．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为．（1）若，求扇形的弧长：（2）若扇形的周长为12，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．【方法技巧与总结】解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点：1、熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）；2、最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。一、单选题1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）将化为弧度制，正确的是（）A．B．C．D．2．（2023·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（）A．B．C．D．3．（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度为（）A．B．C．2D．44．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为3，则扇形的面积为（）A．60B．120C．D．5．（2023·重庆·高一统考期末）已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A．B．C．D．6．（2023·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（）A．B．C．D．27．（2023·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）已知圆与直线相切于点，若点，同时从点出发，沿直线匀速向右、沿圆周按顺时针方向以相同的速率运动，当点运动到如图所示的位置时，点也停止运动，连接，，则曲边三角形的面积与扇形的面积的大小关系是（）A．B．C．D．先，再，最后8．（2023·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（）A．B．C．D．二、多选题9．（2023·高一课时练习）下列各说法中，正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关10．（2023·云南楚雄·高一统考期末）已知某扇形的弧长为，圆心角为，则（）A．该扇形的半径为B．该扇形的周长为C．该扇形的面积为D．该扇形的面积为11．（2022·陕西商洛·高一校考阶段练习）下列转化结果正确的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是12．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（）A．时针转过的角为B．分针转过的角为C．分针扫过的扇形的弧长为D．分针扫过的扇形的面积为三、填空题13．（2023·河北张家口·高一统考期末）扇形的圆心角为弧度，周长为7米，则扇形的面积为平方米.14．（2023·上海·高一曹杨二中校考期末）已知扇形的弧长为4cm，面积为，则该扇形的圆心角的大小为.15．（2023·云南保山·高一校考开学考试）如图，正六边形的边长为1，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和）.16．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为