2023年全国初中数学竞赛模拟卷（一）（学生版+解析版）

专题51全国初中数学竞赛模拟卷（一）

a-b+Vab

1.设〃>o,/?>o,且6（历+VF）=3VF（G+5VK）,则的值是（）

2a+3b+>fab

1131

A.2B.C.D.

4258

2.如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M,AF交BD于点N,若AF平

分NBAC,DE±AF,记）'=孺，z=器，则有（）

D

RFC

A.x>y>zB.x=y=zC.x=y>zD.x>y=z

（x-y=v*+y

3.关于x、y的方X程组有一组解.

4.若关于x的方程（x-4）（x2-6x+/n）=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值

为.

5.如图正方形ABCD的顶点A在第二象限>=［图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在

第一象限直线产x的图象上，若S阴影=|,则％的值为.

6.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=12,M为AB中点，N为BC边上一动点，将ANINB沿MN折

叠，得到△MNB',则CB'的最小值为

7.如图，AABC中，ZACB=90°,s山A=/,AC=12,将aABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,

P为线段A'B'上的动点，以点P为圆心，PA'长为半径作。P,当。P与AABC的边相切时，0P的

半径为.

8.设互不相等的非零实数a,b,c满足a+,=b+^=c+3,求J(a+吊尸+喋+|尸+”+》2的值.

9.如图，在AABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E,交AB的延长线于F,AB=»7AF,AC

=〃AE.求：

(1)m^n的值；

n

(2)—7的取值范围.

m+1

E

5

D

10.如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0,3）,B（-4,0）.

（1）求过点C的反比例函数表达式；

（2）设直线/与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，），轴的交点分别为M,N,O为坐标原点.求证:

△OMN的面积为定值.

11.如图，已知抛物线y=f+26x+2c（b,c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A,B（点A位于点B的

左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）.

（1）点B的坐标为（结果用含c的代数式表示）；

（2）连接BC,过点A作直线AE〃BC,与抛物线），=f+2bx+2c交于点E,点D是x轴上的一点，其坐

标为（2,0）.当C,D,E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P是BC下方的抛物线上的一个动点，连接PB,PC,设所得APBC的面积为S.求

S的取值范围.

12.如图1,P为第一象限内一点，过P、0两点的。M交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,ZOPA

=45。.

（1）求证：P0平分NAPB；

(2)作OH_LPA交弦PA于H：

①若AH=2,0H+PB=8,求BP的长;

②若BP=，w,0H=〃，把APOB沿），轴翻折，得到aP'OR（如图2）,求AP'的长.

图1图2

专题51全国初中数学竞赛模拟卷（一）

a-b+Vab

1.设〃>o,/?>o,且6(历+VF)=3VF(G+5VK),则的值是（)

2a+3b+>fab

1131

A.2B.C.D.

4258

【解答】解：由题意得：a-V\[ab=3\fab+15/?,

:.(Va-5VF)(Va+3V6)=0,

故可得：y/a=5VF,a=25b,

.a-b+Vab1

2a+3b+VHK2

故选：C.

2.如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M,AF交BD于点N,若AF平

黑，则有（

分NBAC,DE_LAF,记尸荏z=)

A.x>y>zB.x=y=zC.x=y>zD.x>y=z

【解答】解：,四边形ABCD是正方形,

AAB=AD,NBAD=NABC=90°，ZBAC=45°,

・・・NBAF+NAFB=90°,

VDE±AF,

，NBAF+NDEA=90°，

・・・NAFB=NDEA,

在AAFB^IIADEA,

ZABF=ZDAE

Z.AFB=Z-DEA9

AB=AD

AAAFB^ADEA(AAS),

AZBAF=ZADE,BF=AE,

VAF平分NBAC,

AZBAF=ZCAF=22.5°,

・・・NADE=NBDE=22.5°,

VZABF=ZAON=90°，NBAF=NNAO,

/.△ABF^AAON,

VZBAN=ZCAF,NABN=NACF=45

.,.△BAN^ACAF,

CF

y=AE

CF

=BF

AC

=AB

=V2,

BN

Z=ON

AB

=AO

=V2»

；.y=z,

VBF=AE,AB=BC,

，BE=CF,

BECFr~

.・・一=—=V2,

AEAE

VZADE=22.5°,ZEAD=90°,

AZAEM=67.5°,NAME=NADE+NMAD=67.5°,

・・・NAEM=NAME,

AAE=AM,

过点M作MH1_AD于点H,如图：

VZADE=22.5°,NEDB=45°,

AZMDO=ZMDH=22.5°,

VMH±AD,MO1AC,

AOM=HM,

VZMAH=45°,ZMHA=90°,

AAM=V2HM=V2OM,

・・・AE=V2OM,

ABE=V2AE=2OM,

：'X=OM=2,

,'.x>y=z.

解法二：作OP〃AB交DE于P.

AD

BFC

AN平分/BAO,

BNABACCF「

----=—=v2r=—=—，即y=z=y/2.

ONAOABBF'

△AEM的角平分线与高重合.

△AEM的等腰三角形，AM=AE,

OP//AB,OB=OD,

EP=DP,

△OMP^AAME,

AEAM

OP~OM

OP=OM,

BEBE

X=OM=OP二2,

故选：D.

xyx+y

3.关于x、y的方程组(x厂"=Jv有2组解.

(yVx=1

【解答】解：把,4=1两边平方得到『“I,贝ijx=y

把X=y-2代入方程/.丫得y-2(厂)，＞=y+y,

当y=l时，x=L

当y#L则-2(x-y)=x+y,所以y=3x,x=

v1

=6，解得产V3,

.料

..x=于

经检验方程组的解为：二;或X=T.

ly=(y=V3

故答案为2.

4.若关于x的方程(x-4)(？-6x+m)=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为

65

F

【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为队b、c,

依题意可得

x-4=0或『-6x+m=0,

2

・・.x=4,A-6x+m=0f

设x2-6x+/n=0的两根为a、b,

(-6)2-4/w20,mW9,

根据根与系数关系，得〃+b=6,ab=m,则c=4,

①c为斜边时，『+庐=「2,(q+b)2-2ab=(r

A62-2m=42,w=10(不符合题意，舍去)；

②。为斜边时，。2+/=〃2,

42+(6-〃)2=〃2,

13L/5

a=百，。=6-a=

,,13565

..m=ab=与-X可=不，

65

故答案为

5.如图正方形ABCD的顶点A在第二象限)=［图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在

第一象限直线产x的图象上，若S阴影=|,则上的值为-j.

【解答】解：•••四边形ABCD为正方形，

.../BAD=NABC=NBCD=/CDA=90°,AB=BC=CD=AD,

过点D作DMJ_y轴于M,DN_Lx轴于N,

•.•点D在直线y=x上，

；.DM=DN,

：DM_Ly轴，DN_Lx轴，

AZDMO=ZDNO=ZMON=90°,

・•・四边形DMON为正方形，

・・・NMDN=NADC=90°,

，NGDM=NHDN,

在aDNIG与△DNH中，

(ZGDM=/HDN

、DM=DN，

("MG=乙DNH=90°

.,.△DMG^ADNH(ASA),

**.SADMG=SADNH,

・,・S正方形DMON=S阴影=耳，

：.DM2=1,

/Tn

：.DM=OM=詈，

过A作AQ_LOB于Q,

VZBCO+ZDCM=ZDCM+ZCDM=90°,

AZBCO=ZCDM,

在△BOC与ACMD中，

(ZB0C=NCMD=90°

]Z.BCO=4CDM，

(BC=CD

AABOC^ACMD(AAS),

同理，△ABQgaBCO,

；.OC=DM=孚，

.".OB=MC=OM+OC=铝&

VAABQ^ABCO,

••AQ—OB=―g—,BQ—OC=5，

/in

AOQ=OB-BQ=詈，

.•.点A的坐标为(一驾，等)，

将点A的坐标代入到反比例函数解析式中得,

J5,

故答案为:-

Nx

6.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=12,M为AB中点，N为BC边上一动点，将△MNB沿MN折

叠，得到△MNB',则CB'的最小值为8.

.4D

工----------斗--------乂？

N

【解答】解：由折叠可知，BM=B'M,

；M是AB的中点，AB=10,

；.BM=B'M=5,

...B'在以M为圆心，BM为半径的圆上运动，

连接CM,

当M、B'、C三点共线时，CB'有最小值MC-BM,

BC=12,

在R/ABCM中，MC=y/BM2+BC2=V52+122=13,

；.CB'的最小值为13-5=8,

故答案为8.

7.如图，ZXABC中，NACB=90°,si〃A=/,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,

P为线段A'B'上的动点，以点P为圆心，PA'长为半径作。P,当（DP与AABC的边相切时，（DP的

9

BA

当。P与直线AC相切于点、时\连接PQ.

图1

设PQ=PA'=r,

・.・PQ〃CA'，

.PQPBf

CAfA，B，’

r13-r

1213

,_156

・"=芯.

如图2中，当。P与AB相切于点T时，易证A'、B'、T共线,

图2

VAA/BT^AABC,

ArT_AfB_

AC~AB

ArT_17

12-13’

204

:.NT=

/*=]A'T=]3.

工,156102

综上所述，OP的半径为一二或—.

2513

8.设互不相等的非零实数a,6,c满足a+1b+^=c+],求J(a+吊述+(匕+32+“+务2的值.

QQQ

【解答】解：令=。+工=c+&=%,

贝！Jab+3=bk,b/3=ck,ac+3=ak,

由ab+3=bk,可得ahc+3c=khc=k(M-3),

即。儿+3&=(F-3)C,

同理可得：abc+3k=(k2-3)a,ahc^3k=(Ar2-3)b,

：.ahc+3k=(F-3)=ahc+3k=(F-3)b,

・・・mb,c为互不相等的非零实数，

.'.^2-3=0,即/=3,

则(a4-款+(b+^)2+(c+款=3k2=9.

.•.J(a+1)2+(6+|)2+(c+|)2=V9=3.

9.如图，在AABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E,交AB的延长线于F,AB=mAF,AC

=nAE.求：

(1)m+n的值；

n

(2)——的取值范围.

m+1

【解答】解：(1)过点B作BG〃AC交EF于G,

A

n2-m3

(2)------=--------=---------1,

m+1m+lm+1

•・♦点F在AB的延长线上,

AAF>AB,

11

AO<w<l,l<7n+l<2,-<<1得,

2m+1

13

一<-1V2,

2m+1

1n

—V---<2.

2m+1

10.如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A(0,3),B(-4,0).

（1）求过点C的反比例函数表达式；

（2）设直线/与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，），轴的交点分别为M,N,0为坐标原点.求证:

△OMN的面积为定值.

【解答】（1）解：..•点A的坐标为（0,3）,点B的坐标为（-4,0),

.,.OA=3,OB=4.

在R£AOB中，OA=3,OB=4,

AAB=>IOA2+OB2=5.

•.•四边形ABCD为菱形，

；.BC〃y轴，且BC=AB=5,

.♦.点C的坐标为（-4,-5）.

•.•点C在反比例函数产1的图象上，

:.k=（-4）X（-5）=20,

过点C的反比例函数表达式为尸多.

（2）证明：设直线/的解析式为丁=小+〃（mHO）,

将y=nvc+n代入v=卫得：小+〃=—»

•Jxx

整理得："M+MX-20=0.

•••直线/与反比例函数y=多的图象相切，

2

.,.△=n-4X/MX（-20）=0,

・•・/?=-80/72.

当无=0时，y=，〃X0+〃=〃，

，点N的坐标为（0,〃）；

当y=0时，mx+n=01解得：x=一去

...点M的坐标为0）.

2

/.SA0MN=12ln|X|-^|=|-n1=40.

.,.△OMN的面积为定值.

11.如图，己知抛物线y=/+2fer+2c（b,c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A,B（点A位于点B的

左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）.

（1）点B的坐标为（-2c,0）（结果用含c的代数式表示）；

（2）连接BC,过点A作直线AE〃BC,与抛物线），=/+2bx+2c交于点E,点D是x轴上的一点，其坐

标为（2,0）.当C,D,E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P是BC下方的抛物线上的一个动点，连接PB,PC,设所得aPBC的面积为S.求

【解答】解：（1）将点A的坐标为（-1,0）代入），=/+2为c+2c,

1-2b+2c=0,

.'.y=>r+2bx+2b-1

令y=0,则x1+2bx+2h-1=0,

解得x--1或x—1-2b,

♦.•点A位于点B的左侧，

AB（-2c,0）,

故答案为：（-2c,0）；

（2）令x=0,贝ijy=2c,

：.C(0,2Z?-1),

VB(1-2/?,0),

设直线BC的解析式为

.(』=2b—1

**(0=/c(l-26)+/i，

.(k=1

F=2b-1'

Ay=x+2/?-1,

VAE/7BC,

・・・AE的直线解析式为y=x+l,

联立方程组,="7?〃1,

整理得？+(2b-1)x+2b-2=0,

解得x=-1或x=2-2b,

：.E(2-2b,3-2b),

设DC的直线解析式为y=k，x+h，,

.(2kf+%'=0,

"^h'=2b-l

解得卜'=H,

=26-1

1

・,・直线DC的解析式为产(--ft)x+2〃-1,

VC,D,E三点在同一直线上，

1

A3-2b=(一一b)(2-26)+2b-1,

2

解得匕=1或人=一|,

；.c=2或c--2>

Vc<0,

3

：.b=一热c=-2,

抛物线的解析式为尸f-3尤-4；

(3)由(2)可得直线BC的解析式为y=x-4,B(4,0),

过点P作PQ//y轴交直线BC于点Q,

设P(?,?-3r-4),贝ijQ(f,f-4),

：.PQ=t-4-»+3。4=-?+4t,

，S=1X4X(-？+4/)=-2?+8r=-2Ct-2)2+8,

:点P是BC下方，

.\0<f<4,

...当f=2时，S有最大值8,

；.0<SW8.

12.如图1,P为第一象限内一点，过P、0两点的。M交x轴正半轴于点A